Travaux pratiques de géométrie 4, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Travaux pratiques de géométrie 4, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie 4 sur les couples. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: laméthode d’intégration, les nombres réels donnés.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Asie 1 juin 1972 \

EXERCICE 1

Trouver le PGCD des nombres 1683 et 969. En déduire tous les couples (x ; y) d’entiers relatifs, solutions des équations sui- vantes :

1. 969x−1683y = 51 [on vérifiera que le couple (7 ; 4) est une solution] ;

2. 969x−1683y = 102 ;

3. 969x−1683y = 84.

EXERCICE 2

Calculer, par la méthode d’intégration par parties, l’intégrale

x

0 t2 sin t dt .

PROBLÈME

On considère un espace vectoriel, V2, de dimension 2, de base orthonormée (

−→

ı , −→

)

et un espace affine associé (E2) dont (

O, −→

ı , −→

)

est un repère.

1. Soit fa, c l’application affine de (E2) vers (E2), qui, au point M de coordonnées (x ; y), fait correspondre le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

, telles que

{

x′ = xy +c, y ′ = axy +2c,

a et c sont des nombres réels donnés.

a. Pour quelles valeurs de a l’application fa c est-elle une bijection ? ’

b. Déterminer, suivant les valeurs de a et de c, l’ensemble des points inva- riants par fa, c .

c. Expliciter l’application composée fa, cfa, c et reconnaître sa nature géo- métrique suivant les valeurs de a et de c.

2. On étudie l’application f = f0, −2 c’est-à-dire l’application de (E2) vers (E2) définie par

{

x′ = xy −2, y ′ = −y −4.

a. Démontrer que f est involutive et la caractériser géométriquement.

b. Quelle est la figure transformée d’une droite de (E2) ? Quelles sont les droites globalement invariantes ?

c. Trouver l’équation cartésienne de la figure (C’) transformée du cercle (C) de centre (ù (- 2, - 4) et de rayon 212.

3. a. Étudier les variations de la fonction, g, de la variable réelle x, telle que

g (x)= 1

2

(

x+ √

16− x2 )

.

1. Cambodge, Laos et Japon

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Tracer sa courbe représentative, (Γ), dans (E2) rapporté au repère (

O, −→

ı , −→

)

.

c. Montrer que (Γ) est une partie de (C ′). Par quelle transformation simple la partie complémentaire de (Γ) dans (C ′) se déduit-elle de (Γ) ?

Cambodge, Laos et Japon 2 juin 1972

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