Travaux pratiques de géométrie 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

Travaux pratiques de géométrie 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Travaux pratiques de géométrie 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le triangle équilatéral, l’ensemble des suites.
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TelAvivCjuin1976*.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Tel Aviv juin 1976 \

EXERCICE 1

F désigne l’ensemble Z/7Z= {0̇, 1̇, 2̇, 3̇, 4̇, 5̇, 6̇}. Déterminer (α ; β) ∈ F 2 de façon qu’il existe (a, b, c) ∈ F 3 tel que

x F, 1̇x4+ 3̇x3+ 5̇x2+αx+β= (

ax2+bx+c )2 .

EXERCICE 2

Dans un plan affine euclidien, on donne une droite D et deux points distincts F et A, symétriques par rapport à D. On désigne par H l’hyperbole d’excentricité 2 qui admet F pour foyer et D pour directrice associée à F.

1. Montrer que A est un sommet deH . Déterminer l’autre sommet A′ et le centre

Ω, en calculant AA′

AF et

AΩ

AF . Construire H .

2. Soit C un cercle centré en un point O de D, et passant par F.

On se propose de montrer que : C H = {A, M1, M2, M3} où M1, M2, M3 sont les sommets d’un triangle équilatéral.

On rapporte le plan à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, choisi de façon que (

O ; −→ ı

)

soit un repère deD. À chaquepoint duplan correspond ainsi son affixe

z = x+ iy ; on désigne par a l’affixe de F.

Montrer que C et H sont les ensembles des points du plan dont les affixes vérifient respectivement

(C ) zz = aa, (H) (za) (

za )

+ (

zz )2

= 0.

En déduire que C H est l’ensemble des points du plan dont les affixes véri- fient une équation de la forme :

(

za )(

z3−k )

= 0

k est un nombre complexe dont on exprimera le module et l’argument en fonction dumodule r et de l’argument ϕ de a. Conclure.

PROBLÈME

On note N⋆ l’ensemble des entiers naturels non nuls et P l’ensemble des nombres premiers. À tout n ∈ N⋆ on associe l’ensemble Dn des d ∈ N⋆ qui divisent n, l’en- semble Cn des (d1, d2) ∈ (N⋆)2 tels que d1d2 =n, et l’ensemble Γn des (d1, d2, d3) ∈ (N⋆)3 tels que d1d2d3 =n. Le p.g.c.d. des entiersm et n est notémn.

Partie A

Dans tout le problème, on appelle suite une application de N⋆ dans R et on note U l’ensemble des suites. On admet que l’on dispose du groupe (U , +), la loi (+) étant définie par :

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

∀(u ; v) ∈U 2, ∀n ∈N⋆, (u+ v)(n)=u(n)+ v(n).

On définit une seconde loi interne (T) sur U par :

∀(u ; v) ∈U 2, ∀n ∈N⋆, (u T v)(n)= ∑

dDn

u(d) · v (n

d

)

.

C’est ainsi que : (u T v)(4)= u(1)v(4)+u(2)v(2)+u(4)v(1).

1. Vérifier que, pour tout (u,v,w) ∈U 3 et tout n ∈N⋆

(u T v)(n)= ∑

(d1 , d2)∈Cn

u (d1) · v (d2) .

((u T v) T w)(n)= ∑

(d1, d2, d3)∈Γn

u (d1) · v (d2) ·w (d3) .

Quelles propriétés de la loi (T) découlent de ce résultat (que l’on pourra ad- mettre, à défaut de démonstration) ?

2. La loi (T) admet-elle un élément neutre ? Le triplet (,U, +-, T) est-il un anneau ?

Partie B

Une suite u ∈U est dite régulière si et seulement si elle vérifie :

u(1)= 1, u(qq ′)=u(q)u(q ′)pour tout (q,q ′) ∈ (

N⋆ )2

tel queqq ′ = 1.

1. Montrer que sont régulières les suites θ, ψ et fm définies par

n ∈N⋆, θ(n)= 1, ψ(n)=n, fm (n)=mn

(oùm ∈N⋆ est donné).

2. Soit u une suite régulière. Vérifier que u (

q1 · · ·qn )

=

n

i=1 u

(

qi )

pour tout

(

q1, · · · , qk )

∈ (

N ⋆ )k tel que q1, · · · , qk soient premiers entre eux deux à deux.

Exprimer u(n) pour n = n

i=1 p αi i , avec

(

1, · · · , pk )

∈ (P)k et (α1, · · · ; αl ) ∈ (

N ⋆ )k .

Partie C

1. Montrer que si les suites u et v sont régulières, alors la suite u T v est régulière.

2. À n ∈N⋆, on associe le nombre v(n) des diviseurs de n dans N⋆ et la somme σ(n) de ces diviseurs. Montrer qu’il existe deux suites régulières u1, et u2 telles que v = e T u1, et σ= e T u2. En déduire que les suites v et cr sont régulières.

Les notations étant celles de B 2., donner des expressions de v(n) et σ(n). En particulier, calculer v(700) et σ(700).

3. Montrer qu’est régulière la suite lambda définie par : „(1) = 1 ; À (n) = 0 si n est divisible par le carré d’un nombre premier ; i, (n) = (- 1)k si n est le produit de k nombres premiers deux à deux distincts. Déterminer l’image de n E N* pàr chacune des suites "T ! :) "Tv "Tcr "1’„. j

Tel Aviv 2 juin 1976

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