Travaux pratiques de géométrie 6, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Travaux pratiques de géométrie 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la droite vectorielle engendrée par le vecteur, la construction géométrique de M.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Toulouse juin 1976 \

EXERCICE 1

Soit la fonction f de R dans R :

x 7−→ f (x)= 1

x (

1+Log x )

La notation Log désigne le logarithme népérien.

1. Étudier les variations de f et construire son graphique dans un plan P rap-

porté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

2. Soit g la restriction de f à I=] 1

e ; +∞[.

a. Démontrer que g est une bijection de I sur g (I)=]0 ; +∞[.

b. On désigne par g−1 la bijection réciproque de g ; calculer g (e) et la déri-

vée de g−1 au point 1

2e .

EXERCICE 2

Soit V un espace vectoriel de dimension trois et (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

une base de V . On consi-

dère l’application linéaireϕde V dans V qui à tout vecteur −→ u de coordonnées (x ; y ; z)

associe le vecteur −→ u′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ ; z ′ )

telles que

x′ = 3x+ y z y ′ = 2x+2y z z ′ = 4x+2y z

1. Déterminer l’ensemble P des vecteurs invariants par ϕ et indiquer une base (

−→ e1 ,

−→ e2

)

de P .

2. Soit D la droite vectorielle engendrée par le vecteur −→ e3 =

−→ ı +

−→ +2

−→ k .

a. Démontrer que la restriction de ϕ à D est une homothétie vectorielle de D.

b. Démontrer que tout vecteur −→ u de V peut être décomposé d’unemanière

unique en −→ u =

−→ u′ +

−→ u′′ ,

−→ u′ ∈P ,

−→ u′′ ∈D.

c. Établir que :

∀ −→ u ∈ V , ϕ

(

−→ u )

= −→ u′ +2

−→ u′′ =

−→ u +

−→ u′′ .

3. Soit E un espace affine associé à V et (

O, −→ e1 ,

−→ e2 ,

−→ e3

)

un repère cartésien de

E , −→ e1 ,

−→ e2 et

−→ e3 étant les vecteurs définis précédemment.

On considère l’application affine f qui laisse le point O invariant et dont l’en- domorphisme associé est ϕ. Si M ′ est l’image par f du point M de E , en utili- sant ce qui précède, exprimer dans le repère choisi les coordonnées de M ′ en fonction de celles de M .

Indiquer une construction géométrique deM ′.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

PROBLÈME

Une suite réelle f application deN dans R donne de n l’image f (n) notée fn?n . Soit a et α deux réels fixés vérifiant : a 6= 0 et 06α<π. On considère l’ensemble F des suites f qui vérifient :

n ∈N, fn+2 = (2a cosα) fn+1−a 2 fn .

1. On suppose dans cette question que α 6= 0

Démontrer que les suites u et v définies par :

n ∈N, un = a n coset vn = a

n sin.

sont deux éléments de F . Démontrer que les vecteurs de R2, (u0, u1) ; (v0, v1) sont indépendants.

2. On suppose dans cette question que α= 0

Démontrer que les suites r et s définies par :

n ∈N, rn = a n et sn = na

n

sont deux éléments de F . Démontrer que les vecteurs de R2, (r0, r1) ; (s0, s1) sont indépendants.

3. a. Etablir que F est un sous-espace vectoriel de F (N, R), espace vectoriel des suites réelles.

b. Démontrer que f est déterminée par la donnée du couple (

f0, f1 )

et en déduire que l’application ϕ de F dans R2 définie par ϕ( f ) = ( f0, f1) est bijective.

c. Démontrer queϕ est une application linéaire. Quelle est la dimension de F ? On rappelle que, compte-tenu de la notation f nn

( f + g )(n)= fn + gn et (k f )(n)= k fn , k ∈R.

4. Soit ϕ−1 l’application réciproque de ϕ définie dans R2 et à valeurs dans F . Montrer que siW1 etW2 sont deux vecteurs indépendants deR2 , alorsϕ−1 (W1) et ϕ−1 (W2) sont deux vecteurs de F independants.

En déduire que si α 6= 0, (u, v) est une base de F et que si α = 0, (r, s) est une base de F . Indiquer dans les deux cas une forme générale des éléments de F .

5. Soit b un réel fixé non nul. On considère l’ensembleC des suites réelles c telles que :

n ∈N, cn+2− (2a cosα)cn+1+a 2cn = b

n .

a. Si α= 0 et b = a, démontrer qu’il existe un réel λ tel que la suite t définie par

n ∈N, tn =λn 2an

appartient àC .

b. Siα 6= 0 et b 6= a, démontrer qu’il existe un réel µ tel que la suite t ′ définie par

n ∈N, t n = µb n

appartient àC .

c. L’ensemble C est-il un sous-espace vectoriel de F (N, R) ?

Toulouse 2 juin 1976

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

6. Si α = 0 et b = a, c appartenant à C , démontrer que la suite de terme général (cn tn) est un élément de F ; inversement si f appartient à F , montrer que la suite de terme général

(

fn + tn )

appartient àC . En déduire une forme générale des éléments deC .

7. Déterminer de même une forme générale des éléments de C lorsque : α 6= 0 ou b 6= a.

Toulouse 3 juin 1976

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