Travaux pratiques de géométrie 6, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Travaux pratiques de géométrie 6, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie 6 sur l’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des points, la formule d’intégration par parties, a formule.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1972 \

EXERCICE 1

Résoudre

1. dans Z/13Z, l’équation

x2+ x +6= 0,

2. dans (Z/6Z)× (Z/6Z) le système

{

2̇x − 4̇y = 2̇

x + 5̇y = 2̇.

EXERCICE 2

Soit un carré (ABCD) ; déterminer un ensemble de trois nombres réels a, b et c pour

que le point O, milieu du côté [AD], soit barycentre de A, B et C affectés des coeffi-

cients a, b et c. (On pourra choisir un système d’axes.)

Déterminer l’ensemble des points, M , du plan du carré tels que

2 −−−→ MO ·

−−→ MA −

−−−→ MD ·

−−→ MB +

−−−→ MD ·

−−→ MC = 0.

PROBLÈME

Dans tout l’énoncé le symbole e désigne la base du logarithme népérien.

Partie A

Dans tout ce paragraphe, x désigne un nombre réel et t une variable réelle .

1. En utilisant la formule d’intégration par parties, démontrer que l’on a

x

0 tet dt = xex

x

0 et dt .

En déduire, par un calcul de l’intégrale

x

0 (x t)et dt , que

ex = 1+ x +

x

0 (x t)et dt .

2. On considère l’intégrale ∫x

0

(x t)n

n! et dt , où n ∈N⋆.

Démontrer l’égalité

x

0

(x t)n

n! et dt =

xn+1

(n+1)! +

x

0

(x t)n+1

(n+1)! et dt

3. Démontrer par récurrence sur n la formule

ex = 1+ x + . . .+ xn

n! +

x

0

(x t)n

n! et dt .

Partie B

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

On pose

Pn(x)= 1+ x + x2

2! + . . .+

xn

n! ,

In =

∫1

0 (1− t)net dt .

et Jn =

∫1

0 (1+ t)net dt .

1. Pour (a, b, c) ∈Z3, on considère H = ae+b +ce−1.

Dans les deux premières questions, on suppose |a|+ |c| 6= 0.

a. Démontrer que l’on a

n!H = n! [aPn(1)+b +cPn (−1)]+aIn + (−1) n c Jn .

b. Démontrer que l’on a

06 In 6 e

n+1 et 06 Jn 6

1

n+1

En déduire la limite de h(n)= aIn +(−1) n+1c Jn quand n augmente indé-

finiment.

c. Démontrer que

Qn = n! [aPn(1)+b +cPn (−1)]

est un nombre entier relatif.

Démontrer que, pour tout entier n, avec n > 1, on a

Qn a + (−1) nc (modn).

2. Si l’on a |a| 6= |c|, démontrer que l’on peut trouver un entier n0 tel que, pour tout entier n vérifiant n > n0, Qn n’est pas nul.

En déduire qu’il existe une infinité d’entiers n pour lesquels Qn 6= 0.

3. a. Démontrer, en utilisant en particulier la question B 1. b., que H ne peut être nul que si a = b = c = 0.

b. Qdésignant l’ensemble des nombres rationnels, démontrer que e nepeut pas être racine d’une équation du second degré à coefficients dansQ.

Bordeaux 2 juin 1972

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