Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 5, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 5, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 5 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les relations, Les suites, l'approche.
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[ Baccalauréat blanc TS spécialité\ Lycée Maupassant Rouen

Le sujet comporte 4 pages et une annexe , à rendre avec la copie.

EXERCICE 1 : Q. C. M. 4 points Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes (bien que les deux dernières

fassent référence aumême nombre) et sont notées sur un point chacune. Pour chaque

question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur

sa copie les deux propositions vraies. Aucune justification n’est demandée. Chaque ré-

ponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point.

Donner trois propositions ou plus d’une question, ou bien n’en donner aucune ne rap-

porte aucun point.

Si, par l’application de ce barème, le total des points de l’exercice est négatif, il est

ramené à zéro.

1. On considère trois suites (un ) , (vn) et (wn) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes : un 6 vn 6wn , lim

n→+∞ un =−1, et lim

n→+∞ wn = 1.

Alors

a. lim n→+∞

vn = 0 ;

b. La suite (un ) est minorée ;

c. Pour tout n de N, on a −16 vn 6 1. d. On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

2. Deux suites (xn ) et (

yn )

sont définies pour n > 0 par les relations :

xn = 1

n +

1

n+1 +·· ·+

1

2n et yn =

1

n+1 +

1

n+2 +·· ·+

1

2n .

a. Les suites (xn) et (

yn )

sont toutes deux croissantes.

b. x3 = 19

20 et y3 =

37

60 .

c. Les suites (xn) et (

yn )

ne sont pas majorées.

d. Les suites (xn) et (

yn )

sont adjacentes.

3. Si z =−5 (

1+ i p 3− i

)

, alors l’argument de z est :

a. −5×arg (

1+ i p 3− i

)

b. π+arg(1+ i)−arg (p

3− i )

c. 4π

3

d. − 7π

12

4. Si z =−5 (

1+ i p 3− i

)

, alors le module de z est :

a. |1+ i| | p 3− i|

b. 5 p 2

c. −5× |1+ i| | p 3− i|

1

d. 5

5− i p 3+ i

EXERCICE 2 7 points Le but de l’exercice est démontrer que l’équation (E) :

ex = 1

x ,

admet une unique solution dans l’ensemble R des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution. I. Existence et unicité de la solution On note f la fonction définie sur R par :

f (x)= x−e−x .

1. Démontrer que x est solution de l’équation (E) si et seulement si f (x)= 0. 2. Étude du signe de la fonction f .

a. Étudier le sens de variations de la fonction f sur R.

b. En déduire que l’équation (E) possède une unique solution sur R, notée α.

c. Démontrer que appartient α à l’intervalle

[

1

2 ; 1

]

.

d. Étudier le signe de f sur l’intervalle [0 ; α].

II. Deuxième approche On note g la fonction définie sur l’intervalle [0;1] par :

g (x)= 1+ x 1+ex

.

1. Démontrer que l’équation f (x)= 0 est équivalente à l’équation g (x)= x. 2. En déduire que α est l’unique réel vérifiant : g (α)=α. 3. Calculer g ′(x) et en déduire que la fonction g est croissante sur l’intervalle

[0 ; α].

III. Construction d’une suite de réels ayant pour limite On considérera la suite (un ) définie par : u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, par : un+1 = g (un ).

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 06 un 6 un+1.

2. En déduire que la suite (un ) est convergente. On note sa limite.

3. Justifier l’égalité : g ()= . En déduire la valeur de . 4. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u4 arrondie à

la sixième décimale.

EXERCICE 3 (SPÉCIALITÉ) 4 points

Partie A Soit N un entier naturel, impair non premier. On suppose que N = a2−b2 où a et b sont deux entiers naturels.

1. Montrer que a et b n’ont pas la même parité.

2. Montrer que N peut s’écrire comme produit de deux entiers naturels p et q .

2

3. Quelle est la parité de p et de q ?

Partie B On admet que 250 507 n’est pas premier. On se propose de chercher des couples d’entiers naturels (a ; b) vérifiant la relation :

(E) a2−250507 = b2.

1. Soit X un entier naturel.

a. Donner dans un tableau, les restes possibles de X modulo 9 ; puis ceux de X 2 modulo 9.

b. Sachant que a2−250507 = b2, déterminer les restes possibles modulo 9 de a2−250507 ; en déduire les restes possibles modulo 9 de a2.

c. Montrer que les restes possibles modulo 9 de a sont 1 et 8.

2. Justifier que si le couple (a ; b) vérifie la relation (E), alors a > 501. Montrer qu’il n’existe pas de solution du type (501 ; b).

3. On suppose que le couple (a ; b) vérifie la relation (E).

a. Démontrer que a est congru à 503 ou à 505 modulo 9.

b. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que le couple (505+9k ; b) soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.

4. Déduire des questions précédentes une écriture de 250 507 en unproduit deux facteurs.

EXERCICE 4 5 points

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. A, B, C dé-

signent les points d’affixes respectives

a =−2 p 3, b =

p 3−3i et c = 2i.

1. a. Écrire b sous forme exponentielle.

b. Les points A et C sont représentés sur la figure jointe en annexe 1. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).

2. On désigne par E le barycentre du système {(A ; 1); (C ; 3)} et par F le bary- centre du système {(A ; 2); (B ; 1)}.

a. Établir que l’affixe e du point E est égale à − p 3

2 + 3

2 i.

b. Déterminer l’affixe f du point F.

3. a. Démontrer que le quotient ec eb

peut s’écrire ki où k est un nombre réel

à déterminer. En déduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer le point E sur le dessin.

b. Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Placer F sur le dessin.

4. On désigne par H le barycentre du système {(A;2); (B ;1); (C ;6)}. Démontrer que le point H est le point d’intersection des droites (BE) et (CF). Qu’en déduit-on pour le point H ?

3

1 2−1−2−3−4

1

2

−1

−2

−3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

4

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