Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 8, Exercices de Géométrie analytique et calcul
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 8, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Travaux pratiques de géométrie analytique et calcul - 8 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Nombres complexes (non spécialistes), Équation différentielle, Résolution d’une équation différentielle, Calcul d’...
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[ Baccalauréat blanc S no 2 – 4 heures \ Frédéric Laroche - Montpellier 5 mars 2007

L’utilisation de la calculatrice est autorisée

Exercice 1 : Nombres complexes (non spécialistes) 5 points Vrai ou Faux ? Justifiez votre réponse brièvement . . .Les deux parties sont indépen-

dantes.

Partie A Soit T la transformationduplan complexe de repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

qui

au point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′.

1. Si z ′ = z+ i−2 alors T est une translation de vecteur 2 −→ u

−→ v ;

2. Si z ′ = 2z − i alors T est une homothétie de centre le point A d’affixe i et de rapport 2 ;

3. Si z ′ =ℑm(z) alors T est la projection orthogonale sur l’axe (

O ; −→ v

)

;

4. Si z ′ =−iz+2 alors T est la rotation de centre B d’affixe 1− i et d’angle − π

2 .

Partie B Dans le plan complexe de repère orthonormé direct

(

O, −→ u ,

−→ v

)

, soit A, B et C les

points d’affixes respectives 2− i, 2+2i et 2. Soit E l’équation : z−2−2i= 2i(z−2+ i). 1. Si l’affixe z du point M vérifie l’équation E alorsM est sur la perpendiculaire à

la droite (AB) passant par le point C.

2. Si l’affixe z du point M vérifie l’équation E alors : arg(z−2−2i)= arg(z−2+ i).

3. Si l’affixe z du point M vérifie l’équation E alors : −−→ AM ·

−−−→ <BA = 0.

4. Si l’affixe z dupointM vérifie l’équation E alorsM est sur le cercle de diamètre le segment [AB].

Exercice 2 : Équation différentielle 5 points

1. Restitution organisée des connaissances Prérequis : on sait que les solutions de l’équation différentielle y ′ = ay sont les fonctions de la forme f (x)=Ceax C est une constante réelle.

a. Déterminer les solutions de l’équation différentielle y ′ = ay +b. b. En faisant un changement de variable de la forme y =ϕ(Y ) dans l’équa-

tion précédente on obtient l’équation Y ′ = 2aY + 2b p Y . Quelle est la

fonction ϕ à votre avis ?

2. Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle (1) : y ′+ y = 2ê−x , dans laquelle y dé- signe une fonction inconnue de la variable réelle x, dérivable sur l’ensemble

R des nombres réels.

a. Résoudre l’équation différentielle (2) : y ′+ y = 0. On considère l’équation différentielle (1) : y ′ + y = 2ê−x , dans laquelle y désigne une fonction inconnue de la variable réelle x, dérivable sur

l’ensemble R des nombres réels.

b. Soit la fonction h définie sur R par h(x)= (αx+β)e−x . Trouver les valeurs de α et β telles que h soit solution de l’équation (1).

c. On admet que toute solution de (1) s’écrit sous la forme g +h, où g dé- signe une solution de l’équation (2).

1

i. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (1).

ii. Déterminer la solution f de l’équation (1) vérifiant la condition ini-

tiale f (0)=−1. iii. Quelle est la limite de f lorsque x tend vers +∞ ? Vers −∞ ? Dresser

le tableau de variations de f .

Exercice 3 : Centre de gravité 4 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A : Calcul d’une primitive

On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 2] par g (x)= x

x+1 .

1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout x appartenant à l’intervalle

[0 ; 2], g (x)= a+ b

x+1 .

2. En déduire une primitive de g sur l’intervalle [0 ; 2].

Partie B : Détermination du centre de gravité d’une plaque homogène

On note f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 2] par : f (x)= 1

x+1 .

On considère une plaque homogène formée par l’ensemble des points M(x ; y) du

plan dont les coordonnées vérifient les relations : 0 6 x 6 2 et 0 6 y 6 f (x). (Voir

schéma ci-dessous).

0 1 2

0

1

1. Soit S l’aire de la plaque exprimée en unité d’aire. Calculer S.

2. Soit G le centre de gravité de la plaque. On admettra que les coordonnées (X ; Y ) de G sont données par les formules suivantes :

X = 1

2S

∫2

0 x f (x)dx et Y =

1

2S

∫2

0 [ f (x)]2 dx.

a. Calculer la valeur exacte de X , puis une valeur approchée arrondie au centième.

b. Calculer la valeur exacte de Y , puis une valeur approchée arrondie au centième.

Exercice 4 : Calcul de la racine carrée 6 points On considère les suites (un ) et (vn) définies sur N par u0 = 3 et les relations : un+1 = un + vn

2 et vn =

7

un .

1. Calculer v0, u1, v1, u2, v2, u3 et v3. Donner l’approximation de u3 et v3 lue sur la calculatrice.

2

2. Justifier par récurrence que pour tout n deN, un > 0 et vn > 0. 3. a. Démontrer que quel que soit n deN, (un + vn)2−28= (un vn)2.

b. En déduire que un+1− vn+1 = 1

4un+1 (un vn)2.

c. Conclure que quel que soit n, on a un vn > 0. 4. En s’aidant de la question 3. c., prouver que la suite (un) est décroissante et

que la suite (vn) est croissante.

5. a. Démontrer que quel que soit n deN∗, un > 21

8 .

b. Utiliser le résultat précédent pour démontrer queun+1−vn+1 6 1

10 (un vn )2.

c. En déduire, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que un vn 6 1

102 n−1 .

d. Déterminer la limite de un vn lorsque n tend vers +∞. 6. Conclure que les suites (un ) et (vn) sont adjacentes et déterminer leur limite

commune.

7. Justifier que u3 est une approximation de p 7 à 10−7 près.

8. Proposez uneméthode générale pour trouver une valeur approchée de p a

a est un réel quelconque positif.

Cette méthode est celle utilisée par le mathématicien grec Héron (1er siècle)

pour déterminer une approximation des racines carrées.

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