Travaux pratiques de mathématique élémentaire 3, Exercices de Mathématiques Appliquées. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

Travaux pratiques de mathématique élémentaire 3, Exercices de Mathématiques Appliquées. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de mathématique élémentaire 3 sur le polynôme. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les nombres complexes, le module, es cercles circonscrits aux triangles.
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Cambodge math elem septembre 1963.dvi

[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Cambodge juin 1963

EXERCICE 1

Démontrer que le polynôme

x 3−5x2−7x +26

est divisible par x −2. Déterminer le quotient,

EXERCICE 2

1. Calculer le module et l’argument de chacun des nombres complexes

z1 =

p 6− i

p 2

2 , z2 = 1− i.

En déduire le module et l’argument de z = z1

z2 .

2. Utiliser les résultats précédents pour déterminer

cos π

12 et sin

π

12 .

.

3. Résoudre l’équation

z 4 =

1− i p 3

2 .

(On achèvera la résolution en utilisant les résultats du 2.)

EXERCICE 3

-

On- donne deux droites perpendiculaires, Ox et Oy , et, sur Ox, deux points fixes, P

et P′, de part et d’autre de O et non symétriques par rapport à O.

Un point I variable du plan xOy est équidistant de P et P′. La droite IP coupe Oy en

A et la droite IP′ coupe Oy en A′.

1. On considère les cercles circonscrits aux triangles POA et P′OA′, de centres C

et C′. Nature du quadrilatère OCIC′.

Montrer que l’un des centres d’homothétie des deux cercles est fixe. Trouver

le lieu géométrique de l’autre.

2. Ces deux cercles se coupent en O et M. Lieu géométrique deM?

3. Montrer que les quatre points l, A, A′, M sont sur un cercle qui reste tangent à

une droite fixe et à un cercle fixe déjà mis en évidence.

4. Montrer que la droite IM passe par un point fixe.

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