Travaux pratiques de mathématique élémentaire 5, Exercices de Mathématiques Appliquées

Travaux pratiques de mathématique élémentaire 5, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de mathématique élémentaire 5 sur l'équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des nombres, les deux axes rectangulaires, le nombre des tangentes.
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Espagne–Portugal juin 1963

EXERCICE 1

Résoudre l’équation

cos2x − p 3sin2x −2cosx +1= 0.

(On fera apparaître, au premier membre, le facteur cosx.)

EXERCICE 2

1. Démontrer que l’égalité a2 = db2, où a,b,d sont des entiers positifs et où a et b sont premiers entre eux, entraîne b = 1 (onmontrera que b divise a). En déduire que, si d n’est pas un carré parfait, il n’existe aucune fraction égale à p

d .

2. Ondésigne par A (p

d )

l’ensemble des nombres qui sont de la forme m+n p

d ,

m et n sont des entiers relatifs quelconques et où l’entier d n’est pas un carré parfait. Déterminer l’intersection des deux ensembles A

(p 2 )

et A (p

3 )

. (On pourra commencer par démontrer que toute égalité de la forme

m +n p 2+p

p 3= 0,

m,n,p sont des entiers relatifs, entraîne m = n = p = 0.)

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à deux axes rectangulaires, x′Ox et y ′Oy ; les unités sont les mêmes sur les deux axes.

1. Étudier le sens de variation et construire le graphe (C ) (c’est-à-dire la courbe représentative) de la fonction

y = x +a

x

a2− x2,

a représente une longueur donnée.

2. Soient A le point de coordonnées (−a ; 0) et t ′At un axe tel que (−→ Ax ,

−→ At

)

= θ (avec 06 θ6π).

Si θ 6= π

2 , t ′At coupe y ′Oy en I et la courbe (C) en un point M autre que A.

Calculer en fonction de θ l’abscisse deM. Montrer que IM est indépendant de a et en déduire une définition géomé- trique simple de (C ).

3. Soient M un point de (C ), autre que A, et M1 un point de (C ) dont l’abscisse est de même signe que celle de M. La droite AM1 coupe y ′Oy en I1.

Construire le centre, Γ, de la rotation qui transforme −−→ IM en

−−→ IM1 .

Quelle est la position limite, ω, deΩ quand le point M1 tend vers le point M? En déduire une construction géométrique de la tangente enM à la courbe (C ).

4. Calculer, en fonction de l’abscisse x de M, l’abscisse du point d’intersection de la tangente en M à la courbe (C ) avec x′Ox. Soit P un point quelconque de x′Ox, d’abscisse x0 ; discuter, selon la position de P, le nombre des tangentes que l’on peut mener de P à la courbe (C ).

N. B. - Le 4 peut être traité immédiatement après le 1.

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