Travaux pratiques de mathématique et technique 3, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques de mathématique et technique 3, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique et technique 3 sur les variations de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les systèmes d’axes orthonormé, les nombres, les points d’intersection.
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[ Baccalauréat C Pondichéry mars 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

1. Étudier les variations de la fonction

y = x2+5x +2

x +3 .

Tracer le graphique dans un systèmes d’axes orthonormé x′Ox, y ′Oy .

2. Quels sont les points de coordonnées entières appartenant au graphique pré- cédent ?

EXERCICE 2

Partie A

On considère l’équation du second degré en t

(1) t2x t y − (x +2)= 0,

x et y sont des paramètres ; soit, d’autre part, un plan (P) rapporté à un repère orthonormé x′Ox et y ′Oy et, dans ce plan, le point M de coordonnées x et y .

1. Quel est l’ensemble (Γ) des points M(x ; y) de (P) pour lesquels l’équation (1) a une racine double ? Tracer (Γ) et en préciser les éléments : axes, centre et foyers.

2. (Γ) partage le plan en deux régions ; où doit-on choisir M pour que les racines de l’équation (1) soient réelles ; complexes ?

3. a. Calculer x et y pour que l’équation (1) admette pour racine t1 =

p 3+ i

2 .

Déterminer alors l’autre racine, t2.

b. Quelles sont, pour les nombres t1 et t2 précédents, les valeurs du rapport t2−1

t ?

Partie B

Dans le plan (P) défini au paragraphe A on considère la droite Dt , d’équation

(

t2−1 )

x t y −2= 0,

t est un paramètre.

1. Former l’équation aux abscisses des points d’intersection deDt et de la courbe (Γ) d’équation y2+4x2+8x = 0 ; exprimer en fonction de t les coordonnées du (ou des) point(s) commun(s).

2. Deux droites Dt et Dt ′ issues de M0 (

x0 ; y0 )

touchent (Γ) en T et T′ ; écrire l’équation de la droite TT′, en fonction de t et t ′ d’abord, puis de x0 et y0 en- suite.

En déduire comment varie la droite TT′ quand M0 (

x0 ; y0 )

décrit la droite

d’équation y = 4 p 3 .

3. Quel est l’ensemble des points d’intersection de deux droites, Dt et Dt ′ , per- pendiculaires ?

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