Travaux pratiques de mathématique et technique 9, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques de mathématique et technique 9, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique et technique 9 sur la variation de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le point A d’abscisse 2a, la transformation ponctuelle T.
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[ Baccalauréat Toulouse juin 1966 \ Mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

1. Étudier la variation de la fonction

y = x2−2ax

a x

(a : nombre positif fixe) et construire sa courbe représentative, (C), dans un repère orthonormé.

Vérifier que (C) possède un centre de symétrie.

Soit M le point de (C) d’abscisse OH= 3a

2 ; calculer, en fonction de a, l’aire du

domaine limité par Ox, l’ordonnée HM et l’arc de (C) passant par M.

2. On pose a = 3 dans la fonction étudiée au 1. Trouver les points de (C) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

EXERCICE 2

Dans le plan (P) rapporté à un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy , on donne, sur l’axe x ′Ox, le point A d’abscisse 2a (a > 0).

1. Pour chaque point M(x ; y) du plan, on recherche tous les points M′ (

x ′ ; y

)

tels que les vecteurs −−→ OM ,

−−−→ OM′ ,

−−→ AM et

−−−→ AM′ , qui peuvent éventuellement être

nuls, satisfont aux conditions suivantes :

– le produit scalaire −−→ OM ·

−−−→ OM′ est nul ;

– les deux vecteurs −−→ AM et

−−−→ AM′ sont colinéaires.

Discuter analytiquement, suivant la position de M dans (P), l’existence et la position des points M′.

M′ est unique lorsque M appartient à un ensemble E do points du plan (P), que l’on définira. Montrer qu’alors

x = 2ay ′2

x′2+ y ′2−2ax′ , y =

−2axy

x′2+ y ′2−2ax′ .

Donner une construction deM′, connaissant M.

2. On définit sur E la transformation ponctuelle T appliquant E dans (P), qui à tout point M de E fait correspondre le point M′.

Cette imageM′ peut-elle être sur Ox ? ; sur Oy ? ; sur le cercle de diamètre OA ?

Soit (D) une droite quelconque passant par O ; quel est l’ensemble des images M′ des points de l’ensemble (D) ∩ E ?

Discuter suivant la position de (D) ; étudier M′ lorsque M tend vers O en res- tant sur (D).

Soit, de même, (∆) une droite passant par A ; quel est l’ensemble transformé par T de l’ensemble (∆)∩ E ?

Discuter suivant la position de (∆) ; étudierM′ lorsqueM tend vers A en restant sur (∆).

3. Trouver la relation qui lie les coordonnées des images, M′, des points de l’en- semble (Ω)∩ E, lorsque (Ω) est le cercle de centreω, d’équation

x 2 + y

2 −2λx = 0 (λ 6= a).

Le baccalauréat de 1966 A. P. M. E. P.

En déduire que ces points M′ sont sur un cercle (

Ω ′ )

dont le centre, ω′, situé

sur Ox, a pour abscisse λa

λa .

Calculer ωω′. Retrouver géométriquement le résultat obtenu ci-dessus.

4. Dans cette question, M se déplace sur un cercle (C) donné passant par O et A.

Déterminer l’ensemble des images M′ des points de l’ensemble (C)∩ E.

Montrer que cet ensemble est sur un cercle (C′) déduit de (C) par une simi- litude directe, dont on précisera les éléments ; en déduire la construction de (C).

Quel est le lieu du centre, P′, d’un cercle variable (P′) tangent à (C) et à (C′), les contacts étant de natures différentes ?

Montrer que la droite passant par les points de contact pivote autour d’un point fixe, U.

Que peut-on dire de la puissance de U par rapport au cercle (P′) ?

5. SoitOz un troisièmeaxeperpendiculaire auplan xOy et tel que le repèreOx y z soit orthonormé direct.

On donne le point S

(

x =− 2a

3 ; y = 0 ; z =

4a

3

)

.

Dans le plan xOy on trace le cercle de diamètre OA et de centre B. Soit I le

point de ce cercle tel que (

−→ Bx ,

−→ BI

)

= θ.

Trouver analytiquement le lieu du point d’intersection de la droite SI et du plan yOz lorsque θ varie.

Vérifier, géométriquement, le résultat, en utilisant la sphère passant par S et contenant le cercle du plan xOy de diamètre OA.

ToulouseMathématiques élémentaires 2 juin 1966

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