Travaux pratiques de mathématique - série 14, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique sur la série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la variation de la fonction, la parabole, la transformation cla...
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La Reunion mathelem juin 1965.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat La Réunion juin 1965 \ Série mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Tous les nombres envisagés sont réels.

1. Étudier la variation de la fonction

y = 2 x −2

x2−4x −5

et tracer le graphe (C ) [axes orthonormés].

2. Déterminer a et b tels que, pour toutes les valeurs de x appartenant au do- maine de définition de la fonction, on ait

2 x −2

x2−4x −5 =

a

x +1 +

b

x −5 .

3. Calculer l’aire S limitée par (C ), l’axe x′Ox et les deux droites x = λ,x = λe (e base des logarithmes népériens et λ> 5).

Cette aire a-t-elle une limite si λ→+∞ ?

EXERCICE 2

Ce problème est un problème plan ; les axes x′Ox et y ′Oy sont orthonormés et tous les segments sonL mesurés avec le même segment unitaire. On considère la parabole (P) de foyer O et de directrice y = 2.

1. Former l’équation de (P ).

2. Soit la droite (D) y = ax+b ; comment choisir a et b pour que (P ) et (D) soient tangentes ?

3. On envisage la transformation ponctuelle (T ) qui, au point m(x ; y), associe le point M(X ; Y ) tel que

X = x

x2+ y2 , Y =

y

x2+ y2 .

On pose (

−−→ Ox ,

−−→ Om

)

=α, (

−−→ Ox ,

−−−→ OM

)

=β (mod.2π).

Calculer sinα,cosα,sinβ,cosβ,OM ×Om en fonction de x et de y , puis pré- ciser la transformation (T ) ; donner alors, si possible sans aucun calcul, les expressions de x et de y en fonction de X et de Y .

4. m est dorénavant, et pour toute la suite, la projection orthogonale de O sur (D) ; calculer successivement :

x et y en fonction de a et de b ;

a et b en fonction de x et de y ;

a et b en fonction de X et de Y .

5. (D) est maintenant tangente à (P ) ; préciser l’ensemble (ou lieu) (L) des points M .

Quelle est la transformation classique (non ponctuelle) qui permute (P ) et (L).

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