Travaux pratiques de mathématique - série 15, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques de mathématique - série 15, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique sur la série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre complexe, la courbe (H) d’équation, la dérivée de la ...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat Lille juin 1965 \ Série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique

EXERCICE 1

On donne le nombre complexe

4 p

2(−1+ i).

1. Donner le module et l’argument de ce nombre.

2. Donner, sous forme trigonométrique et sous forme cartésienne, les racines cubiques de ce nombre.

EXERCICE 2

On considère la courbe (H) d’équation

x y = 1,

rapportée à deux axes orthonormés Ox, Oy . Soit M1 et M2 les points de (H) d’abscisses respectives x1 et x2, telles que 0 < x1 < x2. Les parallèles aux axes Ox et Oy issues de M1 et M2 forment le rectangle M1IM2J, de centre P ; les tangentes (D1) et (D2) à la courbe (H) en M1 et M2 se coupent en Q.

1. Déterminer les équations de (D1) et (D2) et les coordonnées de Q.

Établir que les points O, Q, I, J sont alignés et qu’ils forment une division har- monique.

2. Évaluer, en fonction de x1 et x2 l’aire S (positive) comprise entre la corde M1M2 et l’arc M1M2 de la courbe (H).

On suppose que M1 et M2 décrivent la portion de (H) située dans le demi-plan

x > 0, de telle façon que x2

x1 = t demeure constant et supérieur à 1.

Montrer que S est constante, ainsi que le produit des coordonnées de Q.

Quel est l’ensemble des points Q ?

3. Calculer la dérivée de la fonction f telle que

S = f (t).

Calculer la limite de u = S quand t →+∞, puis celle du produit S = u× t .

En déduire la variation de S en fonction de t quand t > 1 (il n’est pas demandé de graphe) et montrer que, si S est constant, t est constant,

4. t demeurant constant, évaluer les rapports

OP

OQ et

PQ

PI .

Quel est l’ensemble des points P ?

Prouver que M1M2 est la tangente en P à cet ensemble et que les aires des triangles IM1M2, QM1M2 et OM1M2 sont constantes.

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