Travaux pratiques de mathématique - série 2, Exercices de Mathématiques. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Travaux pratiques de mathématique sur la série des mathématiques élémentaires et mathématiques et technique 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la mesure d’un arc,le nombre réel.
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[ Baccalauréat C Aix-Marseille 1 septembre 1965 \ Série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique

EXERCICE 1

Par rapport à un repère orthonormé (Ox, Oy , Oz), où l’unité de longueur est 1 cm,

on donne les points

A(+3 ; +3 ; +3), I(+3 ; 0 ; +6), J(+6 ; +3 ; +9).

Représenter ces points sur une épure, les plans de projection étant le plan xOy ho-

rizontal et le plan yOz frontal.

Représenter le carré ABCD dont un sommet est A et dont la diagonale BD est portée

par la droite IJ .

N. B. - On expliquera la méthode géométrique suivie et son adaptation à l’épure.

EXERCICE 2

On considère la suite des nombres u0,u1,u2, . . . ,un , . . ..

On donne les deux premiers, u0 et u1 réels ; les suivants sont définis par la relation

de récurrenre

un = un−1−un−2, n> 2.

1. Construire cette suite de nombres ; établir qu’elle est périodique ; de combien

de nombres se compose la période ?

2. Démontrer que un peut se mettre sous la forme

un =λcos+µsin,

θ ne dépend pas de u0, u1 et n et où λet µ dépendent de u0 et u1 et non de

n.

Calculer θ (0< θ < π),λ et µ.

3. −→

ı et −→

étant les vecteurs unitaires d’un repère orthonormé (Ox, Oy), on consi-

dère les vecteurs

−−−→

OPn = −→

ı λcos+ −→

 µsin,

λ, µ et θ ayant les valeurs ci-dessus.

Montrer que les points Pn sont sur une même conique, L, dont on précisera

les éléments.

Montrer que les droites PkPk+1 sont tangentes à une même conique, L ′, ho-

mothétique et concentrique à L.

4. Démontrer que toute expression

vn = Acos+B sin,

A,B,ϕ(06ϕ6π) sont trois réels donnés quelconques, indépendants den,

peut être considérée comme le termede rangn+1d’une suite v0 ,v1,v2, . . . ,vn , . . .

satisfaisant à la relation de récurrence

1. Bordeaux, Clermont, Montpellier, Nantes, Poitiers, Toulouse

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

vun = avn−1+bvn−2, n> 2.

a et b étant deux constantes, qu’on calculera en fonction de ϕ.

Pour quelles valeurs de ϕ cette suite est-elle périodique, sa période compor-

tant p termes ?

Aix-Marseille 2 septembre 1965

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