Travaux pratiques de mathématique - série 4, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique sur la série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre complexe d’affixe, la théorie des congruences, les poi...
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Besancon math elem juin 1965.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat Besançon juin 1965 \ Série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique

EXERCICE 1

Soit le nombre complexe d’affixe

Z = 8 p 2(1− i).

Déterminer le module et l’argument de Z .

Déterminer les racines quatrièmes de Z .

EXERCICE 2

En utilisant la théorie des congruences, déterminer la forme générale des entiers

naturels n tels que l’entier n3−n+1 soit divisible par 7.

EXERCICE 3

Deux cercles (C) el, (C′), de centresO et O′, ont tangents extérieurement en I. Soit (∆)

leur tangente commune intérieure. Soit P et P′ les points diamétralement opposés à

I sur (C) et (C′).

D’un point M variable de (∆) on mène à (C) et (C′) les secondes tangentes, dont les

points de contact sont T et T′. Soit Q l’intersection des droites PT et P′T′.

1. Montrer que les quatre points Q, T′, T et I appartiennent à unmême cercle (γ)

centré en M . Ensemble des points Q.

2. Soit U et U′ les points communs aux couples de droites (PT, IT′) et (P′T′, IT).

Montrer que les points U, T, U′ et T′ appartiennent à unmême cercle (

γ ′ )

.

Montrer que UU′ est perpendiculaire à (∆).

3. Montrer que (γ) et (

γ ′ )

sont orthogonaux.

En déduire que (

γ ′ )

est tangent à (C) et (C′) respectivement en T et T′.

4. Montrer que TT′ passe par un point fixe.

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