Travaux pratiques de mathématique - série 6, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique sur la série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les axes orientés parallèles, la dérivée de la fonction, la cour...
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[ Baccalauréat Caen juin 1965 \ Série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique

EXERCICE 1

On donne deux points, A et A′, et une droite (D). Quel est l’ensemble des axes orientés parallèles à (D) des déplacements hélicoïdaux dans lesquels A′ est le transformé de A ? Construire l’axe d’un tel déplacement hélicoïdal, connaissant l’angle orientéα de ce déplacement.

EXERCICE 2

1. Calculer la dérivée de la fonction

y = (nx)ex ,

n est une constante.

2. Étudier, quand x > 0, les variations de la fonction

y = (2− x)ex

et en construire la courbe représentative pour x > 0 dans un repère ortho- normé.

Calculer l’aire du domaine compris entre cette courbe et les demi-axes Ox et Oy .

EXERCICE 3

On considère, sur un axe orienté x′Ox, les points A et B d’abscisses respectives (+a) et (−a). On supposera que a est positif. On se propose d’étudier la transformation ponc- tuelle plane , où θ est un angle donné défini à près, qui, à un point m du plan, fait correspondre le point M de ce plan, intersection des droites Au et Bv qui font respectivement avec les droites Am et Bm les angles orientés

(Am, Au)= θ et (Bm, Bv)= θ.

1. a. Quel est l’ensemble des points m du plan qui n’ont pas de transformé M à distance finie par ?

Quelle est la transformation réciproque de la transformation ?

Pour quelles valeurs de θ cette transformation est-elle involutive ?

Montrer que l’ensemble de ces transformations forme un groupe.

b. Quelle est la figure transformée par d’un cercle passant par A et B, d’une droite passant par A, d’une droite passant par B ?

c. Dans le cas où θ = π

2 , quelle est la figure transformée par T π

2 d’une droite

perpendiculaire à x′Ox ?

2. On supposera, dans toute la suite du problème, que θ = π

4 . On désignera par x

et y les coordonnées dem et par X et Y celles de M dans le repère orthonormé (

x′Ox, y ′Oy )

.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Calculer X et Y en fonction de x et y . Discuter.

b. On suppose que m décrit un cercle (Γ) passant par A et B. Écrire l’équa- tion d’un tel cercle et montrer que, si λ est l’ordonnée de son centre, on a les relations

y x = X + y =λ.

En déduire la relation liant X et Y lorsque m décrit (Γ). Conséquence.

c. On suppose que m décrit une droite perpendiculaire à x′Ox, d’abscisse .

Trouver l’équation de la courbe décrite par M . Nature de cette courbe. Discuter suivant les valeurs de .

N. B. - Les deux parties du problème sont entièrement indépendantes.

Caen 2 juin 1965

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