Travaux pratiques de mathématique - série 9, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques de mathématique - série 9, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de mathématique sur la série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la formule, les abscisses des points.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat Centres étrangers 1 septembre 1965 \ Série mathématiques élémentaires et mathématiques et technique

EXERCICE 1

Dans cet exercice, n est un nombre premier.

1. Cpn désignant le nombre des combinaisons de n éléments distincts pris p à p, montrer que, si p est différent de 0 et de n, C

p n est divisible par n.

2. Montrer que, si a est entier, (a +1)n an −1 est divisible par n.

3. Montrer, en raisonnant par récurrence sur b, que, si b est entier, bn b est divisible par n.

N. B. - On rappelle la formule

(x + y)n = xn +C1n x n−1y +·· ·+Cpn x

np y p +·· ·+ yn .

EXERCICE 2

On donne, dans un plan, un cercle (O), de centre O, de rayon R, et un point fixe P intérieur au cercle ; OP = p. Deux droites, ∆ et∆′, perpendiculaires entre elles pivotent autour de P et coupent le cercle, la première en A et C, la seconde en B et D. ω désigne le milieu de OP, H et K les projections orthogonales des points O et P sur AB, H′ et K′ les projections des mêmes points O et P sur CD.

1. Montrer que −−→

OH + −−−→

OH′ = −−→

OP .

Exprimer aumoyen de −−→

OP les sommes

−−→

OA + −−→

OB + −−→

OC + −−→

OD et −→

PA + −→

PB + −−→

PC + −−→

PD

2. On rapporte la figure à un repère orthonormé (

x′Ox, y ′Oy )

, la demi-droite Ox contenant le point P. On pose

(

x′Ox, ∆ )

= θ moduloπ.

Former les équations ayant respectivement pour racines les abscisses des points A et C d’une part, des points B et D d’autre part.

Si l’on pose

(

−−→

Ox , −−→

OA )

=α, (

−−→

Ox , −−→

OB )

=β, (

−−→

Ox , −−→

OC )

= γ, (

−−→

Ox , −−→

OD )

= δ

angles de demi-droites définis modulo 2π, calculer

cosα+cosβ+cosγ+cosδ

et cosαcosγ+cosβcosδ.

Calculer les expressions analogues relatives aux sinus.

Peut-on retrouver ici les résultats obtenus au 1 ?

1. Algérie, Tunisie, Cameroun, Togo, Gabon, Tchad, Congo, République Centrafricaine, Dahomey, Malin Côte d’Ivoire, Haute-Volta, Niger, Mauritanie, Athènes, Rome, Espagne, Portugal, Tel-Aviv, Bey- routh, Syrie, Le Caire, Addis-Abbéba,Djibouti

Baccalauréat mathématiques élémentaires et mathématiques et technique A. P. M. E. P.

3. Établir les relations

OH2+PH2 =OK2+PK2 = R2

et en déduire l’ensemble des points H et K, ainsi que l’enveloppe de la droite AB ; on en précisera les éléments.

4. Les droites AB et CD se coupent en E ; AD et BC se coupent en F.

Quelle est la polaire par rapport au cercle (O) de chacun des points E, F et P ?

Quel est l’ensemble des points E et F ?

Montrer que le cercle de diamètre EF est orthogonal à (O) et qu’il appartient à un faisceau linéaire ; préciser la nature de ce faisceau.

Montrer que l’axe radical du cercle de diamètre EF eL du cercle (O) passe par un point fixe.

N. B. - Les quatre parties du problème peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Aix-Marseille 2 septembre 1965

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