Travaux pratiques de modélisation mathématique 10, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 avril 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 10, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Travaux pratiques de modélisation mathématique 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Établir le tableau de variation de la fonction f, Déterminer l’ensemble E des points M de l’espace.
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[ Baccalauréat S Métropole juin 2001 \

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats

Soient trois points de l’espace A, B, C non alignés et soit k un réel de l’intervalle [−1 ; 1]. On noteGk le barycentre du système

{(

A, k2+1 )

, (B, k), (C, −k) }

.

1. Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et construire les points G1 et G−1.

2. a. Montrer que, pour tout réel k de l’intervalle [−1 ; 1], on a l’égalité :

−−−→ AGk =−

k

k2+1

−−→ BC .

b. Établir le tableau de variation de la fonction f définie sur [−1 ; 1] par

f (x)=− x

x2+1 .

c. En déduire l’ensemble des pointsGk quand k décrit l’intervalle [−1 ; 1].

Pour la suite de l’exercice, aucune figure n’est demandée sur la copie.

3. Déterminer l’ensemble E des points M de l’espace tels que : ∥

∥2 −−→ MA +

−−→ MB −

−−→ MC

∥= ∥

∥2 −−→ MA −

−−→ MB +

−−→ MC

∥ .

4. Déterminer l’ensemble F des points M de l’espace tels que : ∥

∥2 −−→ MA +

−−→ MB −

−−→ MC

∥= ∥

∥2 −−→ MA −

−−→ MB −

−−→ MC

∥ .

5. L’espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

.

Les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (0 ; 0 ; 2), (−1 ; 2 ; 1) et

(−1 ; 2 ; 5). Le point Gk et les ensembles (E) et (F) sont définis comme ci- dessus.

a. Calculer les coordonnées de G1 et G−1.

Montrer que les ensembles (E) et (F) sont sécants.

b. Calculer le rayon du cercle C intersection de (E) et (F).

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

[unité gra-

phique : 6 cm].

On considère la suite (αn) de nombres réels définie par α0 = π

2 et, pour tout entier

naturel n, αn+1 = αn + 5π

6 . Pour tout entier naturel n, on appelle Mn le point du

cercle C de centre O et de rayon 1 tel que l’angle (−→ u ,

−−−−→ OMn

)

ait pour mesure αn .

1. Placer les douze points M0, M1, M2, . . ., M11.

2. On appelle zn l’affixe de Mn . Montrer que, pour tout entier naturel n, on a

l’égalité : zn = ei (

π

2 + 512

)

.

3. a. Montrer, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :

• les points Mn etMn+6 sont diamétralement opposés ; • les points Mn etMn+12 sont confondus.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a l’égalité zn+4 = e− 2iπ 3 zn .

En déduire que la distance MnMn+4 vaut p 3 puis que le triangle

MnMn+4Mn+8, est équilatéral.

On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points Mn sont de la forme MnMn+4Mn+8.

4. Douze cartons indiscernables au toucher, marquésM0, M1, M2, · · · , M11 sont disposés dans une urne. On tire au hasard et simultanément trois cartons de l’urne. Calculer la probabilité d’obtenir les trois sommets d’un triangle équilatéral.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Leplan complexe est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

[unité graphique :

6 cm]. On considère la transformation f du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le

point M ′ d’affixe z ′ définie par z ′ = ze 5iπ 6 et on définit une suite de points (Mn) de la

manière suivante : M0 a pour affixe z0 = ei

π

2 et, pour tout entier naturel n, Mn+1 = f (Mn). On appelle zn l’affixe deMn .

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f .

Placer les points M0, M1, M2.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, on a l’égalité

zn = e i (

π

2 + 56

)

(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

3. Soient deux entiers n et p tels que n soit supérieur ou égal à p. Montrer que deux points Mn etMp sont confondus si, et seulement si, (np) est multiple de 12.

4. a. On considère l’équation (E) : 12x−5y = 3 où x et y sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (4 ; 9) est solution, résoudre l’équation (E).

b. En déduire l’ensemble des entiers naturels n tels queMn appartienne à la demi-droite [Ox).

PROBLÈME 9 points Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. Toutes les courbes

demandées seront représentées sur un même graphique (unité graphique : 2 cm).

Partie A

⋆ Étude d’une fonction f

On définit la fonction f sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= ln (p

1+ x−1 )

.

1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞.

2. Étudier le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[.

Métropole 2 juin 2001

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Soit (C ) la courbe représentative de f dans (

O, −→ u ,

−→ v

)

et A le point de C

d’abscisse 3.

Calculer l’ordonnée de A. Soit B le point deC d’abscisse 5

4 , P le projeté ortho-

gonal de B sur l’axe (

O ; −→ u

)

et H le projeté orthogonal de B sur l’axe (

O ; −→ v

)

.

Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. Placer

les points A, B, P et H dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

et représenter la courbe (C ).

Partie B

⋆Utilisation d’une rotation

Soit r la rotation de centre O et d’angle π

2 . À tout point M du plan d’affixe z la rota-

tion r associe le point M ′ d’affixe z ′.

1. a. Donner z ′ en fonction de z.

On note z = x + iy et z ′ = x′+ iy ′ (x, y, x′, y ′ réels). Exprimer x′ et y ′ en fonction de x et y , puis exprimer x et y en fonction de x′ et y ′.

b. Déterminer les coordonnées des points A′, B′ et P′ images respectives des points A, B et P par la rotation r .

2. On appelle g la fonction définie sur R par g (x)= e−2x +2e−x et (Γ) sa courbe

représentative dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

a. Montrer que lorsqu’un point M appartient à (C ), son image M ′ par r ap- partient à (Γ). On admet que lorsque le point M décrit (C ), le point M ′ décrit (Γ).

b. Tracer sur le graphique précédent les points A′, B′, P′ et la courbe (Γ) (l’étude des variations de g n’est pas demandée).

Partie C ⋆ Calcul d’intégrales

On rappelle que l’image d’un domaine plan par une rotation est un domaine plan demême aire.

1. Calculer l’intégrale ∫ln2

0 g (x)dx.

Interpréter graphiquement cette intégrale.

2. a. Déterminer, en unités d’aire, l’aire A du domaine plan D limité par les segments [AO], [OH] et [HB] et l’arc de courbe (C ) d’extrémités B et A.

b. On pose I = ∫3

5 4

ln (p

1+ x −1 )

dx.

Trouver une relation entre A et I puis en déduire la valeur exacte de l’in- tégrale I.

Métropole 3 juin 2001

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