Travaux pratiques de modélisation mathématique 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
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Eusebe_S11 avril 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Travaux pratiques de modélisation mathématique 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier les positions relatives de M, Donner une valeur approchée de t0.
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[ Baccalauréat S Amérique du Sud \ décembre 2001

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 2 cm). On considère la courbe C dont une représentation paramétrique est :

{

x = f (t) où f (t)= 2 (

cos2 t +cos t −1 )

y = g (t) où g (t)= sin3 t + sin t avec t ∈ [−π ; π]

On appelle M(t) le point de la courbe C défini par la valeur t du paramètre.

1. a. Étudier les positions relatives deM(t) etM(−t). b. Expliquer pourquoi il suffit alors, pour tracerC , d’étudier f et g sur [0 ; π].

Soit C ′ la partie de C correspondante.

2. a. Montrer que f ′(t)=−2sin t(2cos t +1). Étudier le signe de f ′ sur [0 ; π]. b. Montrer que g ′(t)= cos t

(

3sin2 t +1 )

. Étudier le signe de g ′ sur [0 ; π].

c. Dans unmême tableau, faire figurer les variations de f et de g sur [0 ; π].

3. On veut déterminer l’intersection de C ′ et de l’axe des ordonnées.

a. A l’aide du 2. montrer que l’équation f (t)= 0 a une unique solution dans [0 ; π].

Soit t0 celle solution.

b. Donner une valeur approchée de t0 à 10−1 près par défaut.

c. Déterminer une valeur approchée de g (t0).

4. Placer les points M(0), M(t0), M (π

2

)

, M(π).

Construire les tangentes à C ′ parallèles aux axes de coordonnées. Tracer C ′

puis en déduire la courbe C .

EXERCICE 2 6 points (d’après Nathan) Commun à tous les candidats

Soit (un ) la suite numérique définie surN par :

{

u0 = 0 un+1 =

p 3un +4

1. a. Montrer que (un ) est majorée par 4.

b. Montrer que (un ) est strictement croissante.

c. En déduire que (un ) converge et déterminer sa limite.

2. a. Montrer que pour tout entier naturel n, on a :

4−un+1 6 1

2 (4−un ) .

b. Retrouver le résultat du 1. c.

c. Étudier la convergence de la suite (vn) définie surN par :

vn =n2 (4−un ) .

EXERCICE 2 4 points Candidats n’ayant pas pris l’enseignement de spécialité

On considère l’ensemble E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Avec deux chiffres distincts x et y de E on crée un unique domino simple noté indif-

féremment x y

ou y x .

Avec un chiffre z de E, on forme un unique domino double noté z z .

1. Montrer que l’on peut ainsi créer 36 dominos.

2. On tire au hasard un domino.

a. Quelle est la probabilité d’obtenir un domino constitué de chiffres pairs ?

b. Quelle est la probabilité d’obtenir un domino dont la somme des chiffres est paire ?

3. On tire au hasard et simultanément deux dominos.

Un élève affirme : « la probabilité d’obtenir un domino double et un domino

simple dont l’un des chiffres est celui du domino double est égale à 4

45 ».

Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée).

EXERCICE 2 4 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Soit n un entier naturel non nul. On considère les nombres a et b tels que :

a = 2n3+5n2+4n+1 et b = 2n2+n.

1. Montrer que 2n+1 divise a et b. 2. Un élève affirme que le PGCD de a et b est 2n+1.

Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée.)

PROBLÈME 10 points.

On considère la fonction f définie sur R par :

f (x)= (2x+1)e−2x

et sa courbe représentative C dans le repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité gra-

phique : 2 cm).

Partie A : étude de la fonction f

1. a. Déterminer la limite de f en +∞. Que peut-on en déduire pour C ? b. Déterminer la limite de f en −∞.

2. Calculer f ′(x) et étudier le signe de f ′ sur R.

3. Dresser le tableau de variations de f .

4. a. Déterminer les coordonnées du point A d’intersection deC avec l’axe des abscisses.

b. Étudier le signe de f (x) suivant les valeurs de x.

Partie B : étude d’une tangente

1. On rappelle que f ′′ désigne la dérivée seconde de f .

a. Montrer que, pour tout x réel, f ′′(x)= 4(2x−1)e−2x .

2

b. Résoudre l’équation f ′′(x)= 0.

2. Soit B le point d’abscisse 1

2 de la courbe C . Déterminer une équation de la

tangente T à C en B.

3. On veut étudier la position relative de C et T : pour cela, on considère la fonction g définie sur R par :

g (x)= f (x)− (

− 2

e x+

3

e

)

.

a. Déterminer g ′(x) et g ′′(x).

b. Étudier le signe de g ′′(x) suivant les valeurs de x.

En déduire le sens de variations de g ′ sur R.

c. En déduire le signe de g ′(x) puis le sens de variation de g sur R.

d. Déterminer alors le signe de g (x) suivant les valeurs de x. Que peut-on en conclure sur la position relative de C et T ?

4. Dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

placer les points A et B puis tracer la tangente T et

la courbe C .

Partie C : calculs d’aire et de volume

1. Soit λ un réel strictement positif.

OnnoteA(λ), l’aire, exprimée enunités d’aire, dudomaine limité par la courbe

C , l’axe des abscisses et les droites d’équations x =− 1

2 et x =λ.

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer A(λ) en fonction de λ.

b. Déterminer lim λ→+∞

A(λ).

2. a. On considère les fonctions h et H définies sur R respectivement par :

h(x)= (2x+1)2e−4x et H(x)= (

x2− 3

2 x

5

8

)

e−4x .

Montrer que H est une primitive de h sur R.

b. On considère le domaine E limité par la courbe C , l’axe des abscisses et

les droites d’équations =− 1

2 et x =

1

2 .

On note V le volume du solide de révolution engendré par la rotation de E autour de l’axe des abscisses.

On rappelle queV, enunités de volume, est exprimépar V=π ∫ 1

2

− 12 | f (x)|2dx.

Déterminer la valeur exacte de V en unités de volume puis une valeur approchée de V à 10−3 près.

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