Travaux pratiques de modélisation mathématique 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 avril 2014

Travaux pratiques de modélisation mathématique 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Travaux pratiques de modélisation mathématique 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étude d’une fonction, Probabilités, Étude d’une suite.
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[ Baccalauréat S 2001 \

L’intégrale de mars à décembre 2001

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Nouvelle-Calédoniemars 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Pondichéry mars 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Amérique du Nord juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Antilles-Guyane juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Asie juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Centres étrangers juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Métropole juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Liban juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Polynésie juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Antilles-Guyane septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Métropole septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Polynésie spécialité septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Nouvelle-Calédonie décembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Amérique du Sud décembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Baccalauréat S L’année 2001

2

[ Baccalauréat série S Nouvelle-Calédonie \ mars 2001

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur R par :

f (x)= ln (

x+ √

x2+9 )

.

et (C ) sa représentation graphique relative à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Déterminer les images de 0 et de 4 par f , puis l’antécédent de 0 par f .

a. Calculer la limite de f en +∞.

b. Montrer que, pour tout x réel, p x2+9+ x = 9p

x2+9− x et en déduire la

limite de f en −∞.

2. Montrer que, pour tout réel, f ′(x) = 1p x2+9

et en déduire le tableau de va-

riations de la fonction f .

3. On considère la fonction g définie, pour tout x réel, par

g (x)= 1 2 ex − 9

2 e−x

et (C ′) sa représentation graphique dans le même repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

a. Démontrer que, pour tout x réel, (g f )(x)= x. On admettra de même que, pour tout x réel, ( f g )(x)= x.

b. En déduire que le point M(x ; y) appartient à (C ) si, et seulement si, le point M ′(y ; x) appartient à (C ′).

c. Démontrer que la fonction g est négative sur [0 ; ln3].

4. Soit D1 etD2 les domaines définis par :

D1 = {

M(x ; y)

06 x 6 ln3 g (x)6 y 6 0

}

; D2 = {

M(x ; y)

− 46 x6 0 06 y 6 f (x)

}

.

Les domaines D1 et D2 ont la même aire, calculer cette valeur commune en unités d’aire.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on considère

les points A (1 ; 2 ; 2), B (3 ; 2 ; 1) et C (1 ; 3 ; 3).

1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan. Donner une équation de ce plan.

2. On considère les plans (P1) et (P2) d’équations respectives :

(P1) : x−2y +2z−1 = 0 ; (P2) : x−3y +2z+2 = 0.

a. Montrer que les plans (P1) et (P2) sont sécants. On notera (∆) leur droite d’intersection.

b. Montrer que le point C appartient à la droite (∆).

Baccalauréat S L’année 2001

c. Démontrer que le vecteur −→ u (2 ; 0 ; −1) est un vecteur directeur de la

droite (∆).

d. En déduire une représentation paramétrique de la droite (∆).

3. Pour déterminer la distance du point A à la droite (∆) de représentation pa- ramétrique :

x = 2k+1 y = 3 (k ∈R), z =−k+3

on considère le point M de paramètre k de la droite (∆).

a. Déterminer la valeur de k pour que les vecteurs −−→ AM et

−→ u soient orthogo-

naux.

b. En déduire la distance du point A à la droite (∆).

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans tout l’exercice, x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y . S est l’ensemble des couples (x ; y) tels que P.G.C.D. (x ; y)= y x.

1. a. Calculer le P.G.C.D. (363 ; 484).

b. Le couple (363 ; 484) appartient-il à S ?

2. Soitn unentier naturel nonnul ; le couple (n ; n+1) appartient-il à S ? Justifier votre réponse.

3. a. Montrer que (x ; y) appartient à S si, et seulement si, il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y x) et y = (k+1)(y x).

b. En déduire que, pour tout couple (x ; y) de S, on a :

P.P. C.M. (x ; y)= k(k+1)(y x). 4. a. Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.

b. En déduire l’ensemble des couples (x ; y) de S tels que P.P.C.M. (x ; y) = 228.

PROBLÈME 10 points

Il est possible que certains des résultats, à démontrer dans ce problème, ne soient pas lisibles sur l’écran de votre calculatrice graphique.

Partie A

Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur ]0 ; 1[∪]1 ; +∞[ par :

f (x)= 10(x−8) x(x−1)

et ondésignepar (C ) sa courbe représentative relative à un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞. b. Déterminer les limites de f quand x tend vers 1 par valeurs inférieures et

quand x tend vers 1 par valeurs supérieures.

c. En déduire les asymptotes à la courbe (C ).

2. a. Déterminer la dérivée f ′ de la fonction f .

Nouvelle-Calédonie 4 mars 2001

Baccalauréat S L’année 2001

b. Montrer que f ′(x) s’annule pour α= 8+2 p 14 et pour β= 8−2

p 14.

c. Dresser le tableau de variation de f

3. Soit I le point de la courbe (C ) d’abscisse 1

2 .

a. Déterminer une équation de la droite (∆) tangente en I à la courbe (C ).

b. Montrer que le point L, intersection de la courbe (C ) avec son asymptote horizontale, appartient à la droite (∆).

c. Représenter la partie de la courbe (C ) pour les valeurs de x strictement supérieures à 1 (unités graphiques : 1 cm en abscisse et 3 cm en ordon- née).

4. a. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x élément de l’intervalle

]1 ; +∞[, on ait f (x)= a x + b

x−1 .

b. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 8. Calculer, en unités d’aire, en fonction de λ, l’aire A (λ) du domaine limité par la courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 8 et x =λ.

c. Calculer la limite de A (λ) lorsque λ tend vers +∞.

Partie B

Probabilités

Une urne contient n boules (n > 8) dont 3 jaunes et 5 vertes. Les autres boules sont rouges. I. Étude d’un cas particulier : n = 16. Il y a donc 8 boules rouges.

1. On tire une boule de l’urne, on note sa couleur, on la remet, puis on effectue un nouveau tirage d’une boule.

Déterminer la probabilité des évènements suivants :

— A : « On obtient deux boules rouges », — B : «On obtient une boule rouge puis une boule verte ou une boule verte

puis une boule rouge », — C : «On obtient une boule rouge puis une boule jaune ou une boule jaune

puis une boule rouge », — D : « On obtient au moins une boule rouge ».

2. On effectue maintenant un tirage simultané de deux boules de l’urne. Déterminer la probabilité des évènements :

— A′ « On obtient deux boules rouges », — B′ « On obtient une boule rouge et une boule verte ».

II. n quelconque (n > 8) Il y a donc (n−8) boules rouges. 1. Comme dans le cas particulier précédent, on tire une boule de l’urne, on note

sa couleur, on la remet, puis on effectue un nouveau tirage d’une boule. Dé- terminer en fonction de n la probabilité de l’évènement :

« Obtenir une boule rouge puis une boule verte, ou une boule verte puis une boule rouge ».

2. On revient au tirage simultané de deux boules :

a. Déterminer en fonction de n la probabilité de l’évènement :

« Obtenir deux boules rouges ».

b. Calculer, en fonction de n, la probabilité pn de l’évènement : « Obtenir une boule rouge et une boule verte ».

c. En utilisant les variations de la fonction f étudiée dans la partie A, indi- quer les valeurs de n qui rendent pn maximum, puis indiquer la valeur de ce maximum.

Nouvelle-Calédonie 5 mars 2001

[ Baccalauréat S Pondichéry mai 2001 \

EXERCICE 1 4 points

1. On pose, pour tout entier naturel n non nul,

In = 1

n!

∫1

0 (1− x)ne−xdx.

a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.

b. Prouver que, pour tout entier naturel n non nul,

06 In 6 1

n!

∫1

0 e−xdx.

En déduire lim n→+∞

In .

c. Montrer, en utilisant une intégration par parties que pour tout entier na- turel n non nul, on a :

In+1 = 1

(n+1)! − In

2. On considère la suite réelle (an), définie surN∗ par a1 = 0 et, pour tout entier naturel n non nul,

an+1 = an + (−1)n+1

(n+1)! .

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,

an = 1

e + (−1)n In .

b. En déduire lim n→+∞

an .

EXERCICE 2 4 points

On considère l’application f qui à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe

f (z)= 2− iz 1− z

.

L’exercice étudie quelques propriétés de f .

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

d’unité graphique

2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions 1 et 2. A est le point d’affixe 1 et B celui d’affixe −2i.

1. On pose z = x+ iy avec x et y réels. Écrire f (z) sous forme algébrique. En déduire l’ensemble des points M d’af- fixe z tels que f (z) soit un réel et représenter cet ensemble.

2. On pose z ′ = f (z). a. Vérifier que i n’a pas d’antécédent par f et exprimer, pour z ′ différent de

i, z en fonction de z ′.

b. M est le point d’affixe z (z différent de 1) etM ′ celui d’affixe z ′ (z ′ différent de i).

Montrer que OM = M ′C

M ′D où C et D sont les points d’affixes respectives 2

et i.

Baccalauréat S L’année 2001

c. Montrer que, lorsque le point M décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image M ′ appartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement.

d. Montrer que, si M est un point de l’axe des réels, différent de O et de A, alors M ′ appartient à la droite (CD).

EXERCICE 2 (SPÉCIALITÉ) 4 points

1. On considère l’équation (1) d’inconnue (n, m) élément de Z2 :

11n−24m = 1.

a. Justifier, à l’aide de l’énoncé d’un théorème, que cette équation admet au moins une solution.

b. En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière de l’équation (1).

c. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (1).

2. recherche du P.G.C.D. de 1011−1 et 1024−1. a. Justifier que 9 divise 1011−1 et 1024−1. b. (n, m) désignant un couple quelconque d’entiers naturels solutions de

(1), montrer que l’on peut écrire

(

1011n −1 )

−10 (

1024m −1 )

= 9.

c. Montrer que 1011−1 divise 1011n −1. (on rappelle l’égalité an −1 = (a−1)

(

an−1+an−2+·· ·+a0 )

, valable pour tout entier naturel n non nul).

Déduire de la question précédente l’existence de deux entiers N etM tels que :

(

1011−1 )

N − (

1024−1 )

M = 9.

d. Montrer que tout diviseur commun à 1024−1 et 1011−1 divise 9. e. Déduire des questions précédentes le P.G.C.D. de 1024−1 et 1011−1.

PROBLÈME 12 points

Dans tout le problème, (C ) désigne la courbe d’équation y = lnx représentant la fonction logarithme népérien dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’ori- gine O et d’unité graphique 4 cm. Question préliminaire : Tracer avec soin mais sans étude de la fonction, la courbe (C ) et la droite (D) d’équation y = x.

Partie A

1. a. Déterminer une équation de la tangente (∆) à (C ) au point I d’abscisse 1.

b. Étudier les variations de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f (x)= x−1− lnx.

c. En déduire la position de (C ) par rapport à ∆.

2. a. Déduire de la question précédente la valeur minimale prise par x − lnx sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

Pondichéry 7 mai 2001

Baccalauréat S L’année 2001

b. M et N sont les points demême abscisse x des courbes (C ) et (D) respec- tivement.

Déterminer la plus petite valeur (exprimée en cm) prise par la distance MN lorsque x décrit l’intervalle ]0 ; +∞[.

Partie B

1. Soit M le point d’abscisse x de la courbe (C ). Exprimer la distance OM de l’origine àM en fonction de x.

2. Étude de la fonction auxiliaire u définie sur ]0 ; +∞[ par u(x)= x2+ lnx. a. Justifier les limites de u(x) en 0 et en +∞ ainsi que le sens de variations

de u.

b. Montrer qu’il existe un réel α et un seul tel que u(α)= 0. Montrer que α est compris entre 0,5 et 1 puis donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

c. Déterminer le signe de u(x) suivant la valeur de x.

3. Étude de la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g (x)= x2+ (lnx)2.

Calculer g ′(x) et vérifier que g ′(x)= 2 x u(x).

En déduire le tableau de variations de g .

4. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de la plus courte distance de l’origine aux points de la courbe (C ) et en donner une valeur approchée (exprimée en cm) en utilisant pour α la valeur centrale de l’encadrement trouvé à la question 2. b.

5. A étant le point d’abscisse α de (C ), démontrer que la tangente en A est per- pendiculaire à la droite (OA).

Partie C Étude d’une suite

1. Montrer que le réel α défini dans la partie B est solution de l’équation h(x)= x, où h est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

h(x)= x− 1 4

(

x2+ lnx )

.

2. a. Calculer h′(x) et étudier son signe sur l’intervalle [ 1 2 ; 1

]

.

b. Prouver que h ([ 1

2 ; 1 ])

⊂ [1 2 ; 1

]

.

c. Calculer h′′(x) et étudier son signe sur l’intervalle [ 1 2 ; 1

]

.

d. En déduire que, pour tout x appartenant à l’intervalle [ 1 2 ; 1

]

, on a

06 h′(x)6 0,3.

3. On définit la suite (un) par : u0 = 1 et, pour tout entier naturel n,

un+1 = h (un ) . a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 12 6 un 6 1, et que la suite (un)

est décroissante.

b. Attention, cette question n’est plus au nouveau programme du baccalau- réat S. En utilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que l’on a pour tout entier naturel n, |un+1−α|6 0,3|un α| puis que |un α|6 12 (0,3)

n .

c. En déduire que la suite (un ) converge vers α.

d. Déterminer un entier n0 tel que un0 soit une valeur approchée deα à 10 −5

près et indiquer la valeur de un0 donnée par la calculatrice (avec 5 déci- males).

Pondichéry 8 mai 2001

[ Baccalauréat S Amérique du Nord juin 2001 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

L’espace E est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère les trois

points A (2 ; 0 ; 0), B(1 ; 1 ; 0) et C(3 ; 2 ; 6). (D) est la droite passant par A et de vecteur

directeur −→ u (0 ; 1 ; 1) et (∆) la droite passant par C et de vecteur directeur

−→ v (1 ; −2 ; 2).

1. Écrire une représentation paramétrique de chacune des droites (D) et (∆) puis montrer que (D) et (∆) sont sécantes en un point dont on précisera les coordonnées.

2. Calculer les coordonnées du vecteur −→ w =−−→AB∧−−→AC (questionhors programme

en 2002), puis écrire une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Soit H le projeté orthogonal du point F(2 ; 4 ; 4) sur le plan (ABC).

a. Expliquer pourquoi il existe un réel k non nul tel que −−→ FH = k−→w .

b. Déterminer la valeur de k et en déduire les coordonnées de H.

c. Calculer le volume du tétraèdre FABC.

Exercice 2 4 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère le polynôme P défini par :

P (z)= z4−6z3+24z2−18z+63. 1. Calculer P

(

i p 3 )

et P (

− i p 3 )

puis montrer qu’il existe un polynômeQ du se- cond degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout z ∈C, on ait P (z)=

(

z2+3 )

Q(z).

2. Résoudre dans C l’équation P (z)= 0. 3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal

(

O, −→ u ,

−→ v )

, les

points A, B, C, D d’affixes respectives zA = i p 3, zB = − i

p 3, zC = 3+2i

p 3 et

zD = zC, puismontrer que ces quatre points appartiennent à unmême cercle. 4. On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que

zC− zB zE− zB

= e− iπ3

puis déterminer la nature du triangle BEC.

EXERCICE 2 4 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Montrer que, pour tout entier relatif n, les entiers 14n+3 et 5n+1 sont pre- miers entre eux.

2. On considère l’équation (E) : 87x+31y = 2 où x et y sont des entiers relatifs. a. Vérifier, en utilisant par exemple la question 1), que 87 et 31 sont premiers

entre eux. Endéduire un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que 87u+31v = 1 puis une solution (x0 ; y0) de (E).

b. Déterminer l’ensemble des solutions de (E) dans Z2.

c. Application : Déterminer les points de la droite d’équation

87x −31y −2 = 0 dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l’abscisse est comprise entre 0 et 100.

Indication : On remarquera que le point M de coordonnées (x ; y) appar- tient à la droite (D) si, et seulement si, le couple (x ; −y) vérifie l’équation (E).

Baccalauréat S L’année 2001

PROBLÈME 12 points

Le but de ce problème est d’étudier dans la partie A la fonction numérique f définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= x+ 1

x + lnx

x2 ,

de déterminer ensuite dans la partie B. la position de sa courbe représentative par rapport à son asymptote oblique et enfin d’étudier une suite récurrente dans la par- tie C., cette dernière partie étant, dans une large mesure, indépendante des deux autres.

Partie A

1. Soit g la fonction numérique définie sur ]0 ; +∞[ par :

g (x)= x3− x−2lnx+1.

a. Montrer que la fonction g est dérivable et que, pour tout x ∈]0 ; +∞[,

g ′(x)= (x−1)(3x 2+3x+2) x

.

b. Étudier les variations de la fonction g puis déterminer le signe de g (x).

2. a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.

b. Montrer que, pour tout x ∈]0 ; +∞[, f ′(x)= g (x) x3

puis donner le tableau

de variations de f .

Partie B

(Γ) désigne la représentation graphiquede la fonction f dansun repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

, unité graphique 2 cm.

1. Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h(x)= x+ lnx. a. Étudier le sens de variation de h, puis montrer que l’équation h(x) = 0

admet une solution unique α sur l’intervalle [0,4 ; 0,7].

b. Montrer que l’on a : e− α =α. 2. a. Vérifier que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à (Γ) en

+ ∞. b. Utiliser les résultats de la question 1 a pour déterminer les positions rela-

tives de (Γ) et (∆).

3. Construire (Γ) et (∆) dans le repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

4. a. Calculer, au moyen d’une intégration par parties, l’intégrale I

I= ∫2

1

ln t

t2 dt .

b. En déduire l’aire, en cm2, de la portion de plan limitée par la courbe (Γ), la droite (∆) et les droites parallèles à l’axe des ordonnées d’équations x = 1 et x = 2.

Partie C

Étude d’une suite (hors-programme en 2002) Dans cette partie :

* I désigne l’intervalle [0,4 ; 0,7] ;

Amérique du Nord 10 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

* α est le réel mis en évidence au B 1 ; * ϕ est la fonction définie sur R par ϕ(x)= e− x ;

* u est la suite récurrente définie par

{

u0 = 0,4 un+1 = ϕ(un )

1. Montrer qu’on a, pour tout x I . a. ϕ(x) ∈ I. b. |ϕ′(x)|6 0,7. c. |ϕ(x)−α|6 0,7|xα|.

2. a. Montrer qu’on a, pour tout n ∈ N, |un+1−α| 6 0,7 |un α|, puis en dé- duire par récurrence qu’on a, pour tout n ∈N,

|un α|6 0,3× (0,7)n .

b. Conclure alors quant à la convergence de la suite u.

3. Déterminer un entier p tel que, pour n > p, on ait |un α|6 10−3, puis don- ner à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de up à 10−3 près.

Amérique du Nord 11 juin 2001

[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2001 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une loterie. Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilité de 1

50 ou bien ne rien gagner.

G désigne l’évènement : « Le joueur gagne au grattage ». Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. À cette loterie, il peut gagner 100 euros, ou 200 euros, ou bien ne rien gagner. Li désigne l’évènement « Le joueur gagne 100 euros à la loterie ». L2 désigne l’évènement « Le joueur gagne 200 euros à la loterie ». P désigne l’évènement : « Le joueur ne gagne rien à la loterie ». Si le joueur n’a rien gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 100 euros à la loterie

est 1

70 , et la probabilité qu’il gagne 200 euros à la loterie est

1

490 .

1. a. Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent.

b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il n’a rien gagné au grattage. Compléter l’arbre obtenu avec cette va- leur.

c. Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.

2. OnnoteX la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.

La probabilité de l’évènement « X = 90 » est 2

125 .

La probabilité de l’évènement « X = 190 » est 1

250 .

a. Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie, sa-

chant qu’il a gagné 100 euros au grattage, est égale à 1

10 .

b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au grattage.

c. Déterminer la loi de probabilité de X.

Calculer l’espérance de X.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

, on désigne par M(z) le

point M ayant pour affixe z.

1. Placer sur une figure les points A(2 + i), B(2i), C(−4+3i) et D(−8), en prenant 1 cm pour unité graphique.

2. Soit f la transformation duplan qui, à tout pointM(z), associe le pointM ′ (z ′) tel que :

z ′ = (1+2i)z−4−2i.

a. Préciser les images des points A et B par f .

b. Montrer que f admet un unique point fixe Ω, dont on précisera l’affixe ω (M est un point fixe pour f si, et seulement si, f (M)=M).

Baccalauréat S L’année 2001

3. On admet que ω= 1−2i. Soit M un point quelconque et M ′ son image par f . a. Montrer que, pour tout complexe z on a : z ′− z = 2i(w z).

Dans toute la suite, M est différent deΩ.

b. Déduire de la questionprécédente le rapport des distances MM

M , et l’angle

de vecteurs ( −−−→ MΩ ,

−−−−→ MM ′ ).

c. Déduire des questions précédentes une construction géométriquedupoint M ′, connaissant le point M .

Réaliser cette construction sur la figure de la question 1)

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

l

l

L

1. Soit B une boîte en forme de pavé droit de hauteur L, à base carrée de côté l , où l et L sont des entiers naturels non nuls tels que l < L. On veut remplir la boîte B avec des cubes tous identiques dont l’arête a est un entier naturel non nul (les cubes devant remplir complètement la boîte B sans laisser d’espace vide).

a. Dans cette question, l = 882 et L = 945. Quelle est la plus grande valeur possible pour a ?

Quelles sont les valeurs possibles pour a ?

b. Dans cette question, le volume de la boîte B est v = 77760. On sait que, pour remplir la boîte B, la plus grande valeur possible de a est 12.Montrer qu’il y a exactement deux boîtes B possibles, dont on donnera les dimen- sions.

2. On veut remplir une caisse cubique C, dont l’arête c est un entier naturel non nul, avec des boîtes B toutes identiques telles que décrites dans la ques- tion 1 (Les boîtes B, empilées verticalement, doivent remplir complètement la caisse C sans laisser d’espace vide).

a. Dans cette question, l = 882 et L = 945. Quelle est la plus petite arête c pour la caisse C ?

Quel est l’ensemble de toutes les valeurs possibles pour l’arête c ?

b. Dans cette question, le volume de la boîte B est 15435. On sait que la plus petite arête possible pour la caisse C est 105.

Quelles sont les dimensions l et L de la boîte B ?

PROBLÈME 11 points

Antilles-Guyane 13 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

Commun à tous les candidats

Partie A

Résolution de l’équation différentielle (1) : y ′−2y = xex

1. Résoudre l’équation différentielle (2) : y ′−2y = 0, où y désigne une fonction dérivable sur R.

2. Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur R par

u(x)= (ax+b)ex .

a. Déterminer a et b pour que u soit solution de l’équation (1).

b. Montrer que v est une solution de l’équation (2) si, et seulement si, u+ v est solution de (1).

c. En déduire l’ensemble des solutions de (1).

3. Déterminer la solution de l’équation (1) qui s’annule en 0.

Partie B

Étude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur R par g (x)= 2ex x−2. 1. Déterminer la limite de g en -∞ et la limite de g en +∞. 2. Étudier le sens de variation de g , puis dresser son tableau de variations.

3. On admet que l’équation g (x)= 0 a exactement deux solutions réelles. a. Vérifier que 0 est l’une de ces solutions.

b. L’autre solution est appelée α. Montrer que −1,66α6−1,5. 4. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs du réel x.

Partie C

Étude de la fonction principale

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= e2x − (x+1)ex

1. Déterminer la limite de f en −∞ et la limite de f en +∞. (On pourra mettre e2x en facteur.)

2. Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x) et g (x) ont le même signe.

Étudier le sens de variation de f

3. Montrer que f (α)=− α2+2α

4 où α est défini dans la partie B.

En déduire un encadrement de f (α).

(On rappelle que −1,66α6−1,5.) 4. Établir le tableau de variations de f

5. Tracer la courbe (C ), représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

Partie D

Calcul d’aire

Antilles-Guyane 14 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

1. Soitm un réel négatif. Interpréter graphiquement l’intégrale ∫0

m f (x)dx. (On

justifiera la réponse.)

2. a. Calculer ∫0

m xex dx, à l’aide d’une intégration par parties.

b. En déduire ∫0

m f (x)dx.

3. Calculer la limite de ∫0

m f (x)dx, lorsquem tend vers −∞.

Antilles-Guyane 15 juin 2001

[ Baccalauréat S Asie juin 2001 \

EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats

Pour rejoindre le sommet S d’une montagne des Alpes à partir d’un point de dé- part D, les randonneurs ont la possibilité d’emprunter plusieurs parcours. La course n’étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l’un des deux refuges se trouvant à la même altitude de 1400 mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R1 et R2. Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à 2500 mètres d’alti- tude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R3, ou atteindre le sommet directement.

La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R1 est égale

à 1

3 .

La probabilité demonter directement au sommet en partant de R1 est égale

à 3

4 .

La probabilité demonter directement au sommet en partant de R2 est égale

à 2

3 .

5,5 2 6

4 4,5

5 4

S

R3

R1 R2

D

1. Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du départ D jusqu’au sommet S.

2. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants : E1 : « Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 sachant qu’ils ont passé la nuit au refuge R1 » ;

E2 « Les randonneurs ont fait une halte au refuge R3 » ;

E3 « Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R1 sachant qu’ils ont fait une halte au refuge R3 » ;

E4 « Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R2 sachant que, le deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S ».

3. On note d(M , N ) la distance, en km, à parcourir pour se rendre du point M au point N .

On donne d(D, R1) = 5 ; d(D, R2) = 4 ; d(R1, R3) = 4 ; d(R2, R3) = 4,5 ;

d(R3, S) = 2 ; d(R1, S) = 5,5 ; d(R2, S) = 6.

Soit X la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par les ran- donneurs pour aller du départ D au sommet S.

a. Déterminer la loi de probabilité de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X .

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z (z 6= − 1) associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = −iz−2 z+1

.

Soient A, B et C les points d’affixes respectives a =−1, b = 2i et c =−i.

Baccalauréat S L’année 2001

1. Soit C′ l’image du point C par f . Donner l’affixe c ′ du point C′ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

2. Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D′ d’affixe d ′ = 1

2 .

3. Pour tout nombre complexe z différent de - 1, on note p le module de z +1 (c’est-à-dire |z+1| = p) et p ′ le module de z ′+ i (c’est-à-dire |z ′+ i| = p ′). a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de - 1, on a : pp ′ =p

5.

b. Si le point M appartient au cercle (Γ) de centre A et de rayon 2, montrer qu’alorsM ′ = f (M) appartient à un cercle (Γ′), dont on précisera le centre et le rayon.

4. Pour tout nombre complexe z différent de - 1, on considère le nombre com-

plexe ω= z−2i z+1

.

a. Interpréter géométriquement l’argument du nombre complexe ω.

b. Montrer que z ′ =−iω. c. Déterminer l’ensemble (F) des points M d’affixe z telle que z ′ soit un réel

non nul.

d. Vérifier que le point D appartient aux ensembles (Γ) et (F).

5. Représenter les ensembles (Γ), (F) et (Γ′) en prenant 4 cm pour unité gra- phique.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

.

1. On considère l’application f qui, à tout pointM d’affixe z associe le pointM

d’affixe z ′ telle que :

z ′ = (

1

2 + i

p 3

2

)

z.

a. Exprimer ( f f )(z) en fonction de z. b. Montrer que f = R◦S, où R est une rotation et S une symétrie axiale (on

déterminera les éléments caractéristiques de ces deux applications R et S).

c. Décomposer R à l’aide de deux symétries axiales et en déduire que f est une réflexion, dont on donnera l’axe (D1). Réaliser une figure, en y représentant l’axe (D1) (unité graphique 2 cm).

2. On considère l’application g qui, à tout pointM d’affixe z associe le pointM ′′

d’affixe z ′′ telle que :

z ′′ = (

1

2 + i

p 3

2

)

z− 1 2 + i

p 3

2 .

a. Déterminer une équation de l’ensemble des points invariants de g .

b. Montrer que g = T ◦ f où T est une translation (on précisera l’affixe du vecteur de la translation T).

c. Décomposer la translation T à l’aide de deux symétries axiales et en dé- duire que g est une réflexion, d’axe noté (D2).

Asie 17 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

d. Quelle est l’image par g du point A d’affixe 1

2 + i

p 3

2 .

En déduire une construction de la droite (D2), qui n’utilise pas son équa- tion, et l’illustrer en complétant la figure précédente.

PROBLÈME 11 points

On considère la fonction f , définie sur l’intervalle ]- 1 ; +∞[ par :

f (x)= e x

(1+ x)2 .

On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

⋆ I. Étude de la fonction f et tracé de (C )

1. a. Calculer la limite de cette fonction lorsque x tend vers +∞. b. Calculer la limite de cette fonction lorsque x tend vers - 1.

Que peut-on en déduire pour la courbe (C ) ?

2. Calculer f ′(x) et montrer que son signe est celui de x−1 x+1

.

3. Dresser le tableau de variation de f .

4. Tracer la courbe (C ), les droites d’équations respectives x =−1 et y = 1, ainsi que la tangente à cette courbe en son point d’abscisse 0 (unité graphique : 4 cm).

5. Montrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution, notée α, dans l’intervalle [1 ; 10]. Utiliser le graphique précédent pour donner deux nombres entiers consécu- tifs a et b tels que α appartient à l’intervalle [a ; b].

⋆ II. Calcul d’une aire

1. Soit g la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par g (x)= e x

1+ x .

a. Étudier le sens de variation de g dans l’intervalle [1 ; 2].

b. Montrer que, pour tout x appartenant à [1 ; 2], on a : 16 g (x)6 2,5.

c. En déduire un encadrement de A1 = ∫2

1 g (x)dx.

2. Soit A2 l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les droites d’équa- tions respectives x = 1 et x = 2, la courbe (C ) et l’axe des abscisses.

À l’aide d’une intégration par parties, exprimer A2 en fonction de A1, et en déduire un encadrement de A2.

⋆ III. Approximation d’un nombre à l’aide d’une suite

Pour cette partie, on utilisera sans justification le fait que l’équation f (x) = x a une unique solution β et que celle-ci est élément de l’intervalle

[

1

2 ; 1

]

.

Soit h la fonction définie sur ]−1 ; +∞[ par h(x)= e x

(1+ x)3 .

1. a. Vérifier que, pour tout x appartenant à ]−1 ; +∞[ on a :

f ′(x)= f (x)−2h(x).

b. Calculer h′(x).

Asie 18 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

c. En utilisant la question a, calculer f ′′(x).

En déduire le sens de variation de f dans l’intervalle

[

1

2 ; 1

]

En déduire que, pour tout x appartenant à

[

1

2 ; 1

]

on a :

f ′(x) ∣

∣6 1

4 .

2. On définit la suite (Un ), pour tout nombre entier naturel n, par U0 = 1 et Un+1 = f (Un) pour n> 0.

On admet que, pour tout nombre entier naturel n, on a : 1

2 6Un 6 1.

(Question hors-programme en 2002).

a. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a :

∣Un+1−β

∣6 1

4

∣Un β

∣ .

b. Montrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a :

∣Un β

∣6

(

1

4

)n

.

c. En déduire une valeur approchée numérique de β à 10−3 près.

Asie 19 juin 2001

[ Baccalauréat S Centres étrangers juin 2001 \

EXERCICE 1 5 points Enseignement obligatoire et de spécialité

Le directeur d’unmusée, dont le plan est fourni ci-dessous, organise une exposition. Afin de prévoir la fréquentation des salles, il décide d’imaginer le parcours d’un vi- siteur, pris au hasard, en faisant les hypothèses suivantes :

• Le visiteur passe au hasard d’une salle à une salle voisine. • Pour sortir d’une salle, il franchit de manière équiprobable n’importe quelle

autre porte que celle qu’il a utilisée pour entrer. Dans le parcours du visiteur, le directeur ne s’intéresse qu’aux quatre pre- mières salles traversées, l’entrée E étant comprise dans celles-ci. Un trajet par ces quatre premières salles est codé par un mot de quatre lettres, com- mençant par la lettre E. Par exemple :

• Si le visiteur passe successivement par les salles E, B, D, F, on codera son trajet par le mot EBDF.

• Le trajet codé EBDB est impossible avec les hypothèses choisies.

Entrée B

D

F G

A

E C

T

1. On considère un visiteur, pris au hasard, devant effectuer un trajet selon les hypothèses précédentes.

a. Construire l’arbre pondéré des différents trajets possibles pour ce visiteur.

b. Montrer que la probabilité du parcours codé EBDF est 1

6 .

c. Déterminer la probabilité p1 de l’évènement : « La quatrième salle du tra- jet est F ».

d. Pour des raisons techniques, le directeur installe les ?uvres les plus inté- ressantes dans la salle T. Déterminer la probabilité p2 de l’évènement « Le trajet passe par la salle T ».

2. Le directeur imagine dix visiteurs pris au hasard, effectuant chacun un trajet, de manière indépendante et selon les hypothèses précédentes. On appelle X la variable aléatoire qui, aux dix visiteurs, associe le nombre de leurs trajets passant par la salle T.

Baccalauréat S L’année 2001

a. Calculer la probabilité de l’évènement (X = 1).

b. Calculer la probabilité que deux visiteurs au moins passent par la salle T. (Donner le résultat arrondi aumillième.)

c. Le directeur décide d’obliger les visiteurs à se diriger, après l’entrée, vers la salle A, les hypothèses précédentes demeurant pour la suite des trajets. Il pense ainsi augmenter la probabilité que deux visiteurs au moins, sur les dix, passent par la salle T. Prouver qu’il a tort.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

(unité graphique 4 cm),

dans lequel on considère les points A (2 ; 0), B(0 ; 2) et C(−2 ; −2). 1. Soient a, b et c les nombres définis pour t réel par :

a = −1 2 sin2t + 2

3 cos t + 2

3 b = sin2t

1

3 cos t +

2

3 c = −1

2 sin2t − 1

3 cos t + 2

3

a. Démontrer que, pour tout réel t , il existe un barycentre, notéG(t), du sys- tème de points pondérés {(A, a) ; (B, b) ; (C, c)}.

b. Montrer que, pour tout réel t , les coordonnées du point G(t) sont :

x(t)= cos t et y(t)= 3 2 sin2t .

Lorsque le paramètre t varie, ce barycentre décrit une courbe (Γ), que l’on se propose d’étudier.

2. Étude des symétries de la courbe (Γ)

a. Étudier les positions relatives des pointsG(t) etG(t +2π). b. Étudier les positions relatives des pointsG(t) etG(−t). c. Étudier les positions relatives des pointsG(t) etG(πt). d. Déduire de ce qui précède, en justifiant la démarche, un intervalle d’étude

approprié pour les fonctions x et y .

3. a. Étudier le sens de variation de chacune des fonctions x et y sur l’intervalle [

0 ; π

2

]

et les faire apparaître dans un même tableau.

b. Placer les points de (Γ) correspondant aux valeurs du paramètre 0, π

4 et

π

2 et tracer les tangentes à la courbe (Γ) en ces points.

c. Tracer la partie de (Γ) obtenue lorsque t appartient à l’intervalle [

0 ; π

2

]

puis tracer (Γ) complètement. (Hors-programme en 2002)

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Un astronome a observé au jour J0 le corps céleste A, qui apparaît périodiquement tous les 105 jours. Six jours plus tard (J0 + 6), il observe le corps B, dont la période d’apparition est de 81 jours. On appelle J1 le jour de la prochaine apparition simul- tanée des deux objets aux yeux de l’astronome. Le but de cet exercice est de déterminer la date de ce jour J1.

Centres étrangers 21 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

1. Soient u et v le nombre de périodes effectuées respectivement par A et B entre J0 et J1. Montrer que le couple (u ; v) est solution de l’équation (E1) :

35x−27y = 2. 2. a. Déterminer un couple d’entiers relatifs (x0 ; y0) solution particulière de

l’équation (E2) :

35x−27y = 1.

b. En déduire une solution particulière (u0 ; v0) de (E1).

c. Déterminer toutes les solutions de l’équation (E1).

d. Déterminer la solution (u ; v) permettant de déterminer J1.

3. a. Combien de jours s’écouleront entre J0 et J1 ?

b. Le jour J0 était le mardi 7 décembre 1999, quelle est la date exacte du jour J1 ? (L’année 2000 était bissextile.)

c. Si l’astronome manque ce futur rendez-vous, combien de jours devra-t-il attendre jusqu’à la prochaine conjonction des deux astres ?

PROBLÈME 10 points Commun à tous les candidats

Les objectifs du problème sont de déterminer une solution particulière d’une équa- tion différentielle (partie A), d’étudier cette solution (partie B) et de la retrouver dans un contexte différent (partie C).

Partie A

On appelle (E) l’équation différentielle : y ′′− y = 0, où y est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur l’ensemble R des nombres réels.

1. Déterminer les réels r tels que la fonction h, définie par h(x)= er x , soit solu- tion de (E).

2. Vérifier que les fonctions ϕ définies par ϕ(x) = αex +βe−x , où α et β sont deux nombres réels, sont des solutions de (E). On admet qu’on obtient ainsi toutes les solutions de (E).

3. Déterminer la solutionparticulière de (E) dont la courbe représentative passe

par le point de coordonnées

(

ln2 ; 3

4

)

et admet en ce point une tangente dont

le coefficient directeur est 5

4 .

Partie B

On appelle f la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par :

f (x)= 1 2

(

ex −e−x )

.

On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Soit µ un réel. Montrer que, pour tout réel x, f (x)= µ équivaut à e2x −2µex −1= 0. En déduire que l’équation f (x)=µ a une unique solution dans R et détermi- ner sa valeur en fonction de µ.

2. a. Déterminer les limites de f en - ∞ et en + ∞. b. Calculer f ′(x) pour tout nombre réel x et en déduire le sens de variation

de f sur R.

Centres étrangers 22 juin 2001

Baccalauréat S L’année 2001

3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d’abscisse 0.

b. En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur R par d(x)= f (x)− x, préciser la position de (C ) par rapport à (T).

c. Tracer (C ) et (T) (unité graphique : 2 cm).

4. Soit D la partie représentant sur le graphique l’ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que :

{

0 6 x 6 1 x 6 y 6 f (x)

Calculer, en cm2 l’aire de D.

Partie C

On cherche à caractériser les fonctions ϕ, dérivables sur l’ensemble des nombres réels, telles que, pour tout réel x :

ϕ(x)− ∫x

0 (xt)ϕ(t)dt = x (H).

1. On suppose qu’il existe une telle fonction ϕ.

a. Montrer que, pour tout nombre réel x,

ϕ(x)= x+ x x

0 ϕ(t)dt

x

0 (t)dt .

Calculer ϕ(0).

b. Démontrer que, pour tout nombre réel x, ϕ′(x)= 1+ ∫x

0 ϕ(t)dt .

Calculer ϕ′(0).

c. Vérifier que ϕ est une solution de l’équation différentielle (E) de la par- tie A. Déterminer laquelle, parmi toutes les solutions explicitées dans la question A 2.

2. a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ∫x

0 t (

et −e−t )

dt .

b. Démontrer que la fonction trouvée à la question 1 c vérifie bien la relation (H).

Centres étrangers 23 juin 2001

[ Baccalauréat S Métropole juin 2001 \

EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats

Soient trois points de l’espace A, B, C non alignés et soit k un réel de l’intervalle [−1 ; 1]. On noteGk le barycentre du système

{(

A, k2+1 )

, (B, k), (C, −k) }

.

1. Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et construire les points G1 et G−1.

2. a. Montrer que, pour tout réel k de l’intervalle [−1 ; 1], on a l’égalité :

−−−→ AGk =−

k

k2+1 −−→ BC .

b. Établir le tableau de variation de la fonction f définie sur [−1 ; 1] par

f (x)=− x

x2+1 .

c. En déduire l’ensemble des pointsGk quand k décrit l’intervalle [−1 ; 1]. Pour la suite de l’exercice, aucune figure n’est demandée sur la copie.

3. Déterminer l’ensemble E des points M de l’espace tels que : ∥

∥2 −−→ MA +−−→MB −−−→MC

∥= ∥

∥2 −−→ MA −−−→MB +−−→MC

∥ .

4. Déterminer l’ensemble F des points M de l’espace tels que : ∥

∥2 −−→ MA +−−→MB −−−→MC

∥= ∥

∥2 −−→ MA −−−→MB −−−→MC

∥ .

5. L’espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (0 ; 0 ; 2), (−1 ; 2 ; 1) et

(−1 ; 2 ; 5). Le point Gk et les ensembles (E) et (F) sont définis comme ci- dessus.

a. Calculer les coordonnées de G1 et G−1.

Montrer que les ensembles (E) et (F) sont sécants.

b. Calculer le rayon du cercle C intersection de (E) et (F).

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

[unité gra-

phique : 6 cm].

On considère la suite (αn) de nombres réels définie par α0 = π

2 et, pour tout entier

naturel n, αn+1 = αn + 5π

6 . Pour tout entier naturel n, on appelle Mn le point du

cercle C de centre O et de rayon 1 tel que l’angle (−→ u ,

−−−−→ OMn

)

ait pour mesure αn .

1. Placer les douze points M0, M1, M2, . . ., M11.

2. On appelle zn l’affixe de Mn . Montrer que, pour tout entier naturel n, on a

l’égalité : zn = ei (

π 2 +

512

)

.

3. a. Montrer, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :

Baccalauréat S L’année 2001

• les points Mn etMn+6 sont diamétralement opposés ; • les points Mn etMn+12 sont confondus.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a l’égalité zn+4 = e− 2iπ 3 zn .

En déduire que la distance MnMn+4 vaut p 3 puis que le triangle

MnMn+4Mn+8, est équilatéral.

On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points Mn sont de la forme MnMn+4Mn+8.

4. Douze cartons indiscernables au toucher, marquésM0, M1, M2, · · · , M11 sont disposés dans une urne. On tire au hasard et simultanément trois cartons de l’urne. Calculer la probabilité d’obtenir les trois sommets d’un triangle équilatéral.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Leplan complexe est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v )

[unité graphique :

6 cm]. On considère la transformation f du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le

point M ′ d’affixe z ′ définie par z ′ = ze 5iπ6 et on définit une suite de points (Mn) de la manière suivante : M0 a pour affixe z0 = ei

π 2 et, pour tout entier naturel n, Mn+1 = f (Mn).

On appelle zn l’affixe deMn .

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f .

Placer les points M0, M1, M2.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, on a l’égalité

zn = ei (

π 2 +

56

)

(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

3. Soient deux entiers n et p tels que n soit supérieur ou égal à p. Montrer que deux points Mn etMp sont confondus si, et seulement si, (np) est multiple de 12.

4. a. On considère l’équation (E) : 12x−5y = 3 où x et y sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (4 ; 9) est solution, résoudre l’équation (E).

b. En déduire l’ensemble des entiers naturels n tels queMn appartienne à la demi-droite [Ox).

PROBLÈME 9 points Commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

. Toutes les courbes

demandées seront représentées sur un même graphique (unité graphique : 2 cm).

Partie A

⋆ Étude d’une fonction f

On définit la fonction f sur ]0 ; +∞[ par :

f (x)= ln (p

1+ x−1 )

.

1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞. 2. Étudier le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[.

Métropole 25 juin 2001

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