Travaux pratiques de physique avancée 5, Exercices de Physique Avancée
Eleonore_sa
Eleonore_sa9 mai 2014

Travaux pratiques de physique avancée 5, Exercices de Physique Avancée

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Travaux pratiques de physique avancée sur l’oscillateur harmonique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le pendule simple. Le pendule élastique. Énergies. Le pendule élastique en mécanique quantique.
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Exercice II: L'oscillateur harmonique (5,5 points)

BAC S LIBAN 2010 EXERCICE II : L’OSCILLATEUR HARMONIQUE (6,5 POINTS)

Un oscillateur harmonique à une dimension est un modèle d’oscillateur qui intervient dans de nombreux domaines de la physique : mécanique et électricité notamment. Son évolution temporelle est régie par l’équation différentielle suivante :

.  2

2

d Y A Y 0

dt

Y est une grandeur physique qui varie au cours du temps, comme par exemple, la position x d’un mobile ou la charge électrique q d’un condensateur. A est une constante positive reliée à la période propre T0 de l’oscillateur par :

2

2

0

4 A

T

  .

T0 est indépendante de l’amplitude de la grandeur Y.1.Le pendule simple.Un pendule simple a une longueur l égale à 100 cm. La période mesurée T est donnée dans le tableau du document 1 de l’annexe à rendre avec la copie.Donnée : Intensité de la pesanteur : g = 9,81 N.kg-1.

1.1. La période propre T0 du pendule simple a pour expression : T0 = 2 l

g .

Calculer sa valeur. 1.2. Pourquoi peut-on, d’après le tableau du document 1 ci-dessus, parler d’isochronisme des petites oscillations ? Justifier la réponse. 2. Le pendule élastique. Un solide S est relié à un ressort dont l’autre extrémité est fixe. Le solide de masse m égale à 205 g et de centre d’inertie G peut glisser sur un rail à coussin d’air horizontal. Le ressort, à spires non jointives, a une masse négligeable et une constante de raideur k égale à 10,0 N.m-1. Au repos, G est en O. Le document 2 de l’annexe à rendre avec la copie schématise le dispositif expérimental.

À un instant t, la position du solide est repérée par l’abscisse x(t) sur l’axe (O, i ) : x(t) représente donc également l’allongement du ressort. Un dispositif d’acquisition a permis d’obtenir l’enregistrement du document 3 de l’annexe à rendre avec la copie.

2.1. Équation différentielle. 2.1.1. Comment qualifier, d’après le document 3, les oscillations obtenues ? 2.1.2. Faire le bilan des forces s’exerçant sur S. Les représenter sans souci d’échelle sur le document 2 en annexe à rendre avec la copie. 2.1.3. Montrer que, dans ces conditions, l’équation différentielle du mouvement s’écrit :

. 2

2

d x k x 0

dt m  

2.2. Le pendule est assimilable à un oscillateur harmonique puisque l’équation ci- dessus est analogue à l’équation générale donnée en début d’exercice. 2.2.1. Déterminer l’expression de la période propre T0 en fonction de k et de m. 2.2.2. Calculer la valeur de T0. 2.2.3. Déterminer la valeur expérimentale T0,exp en explicitant le raisonnement. Comparer avec la valeur calculée en 2.2.2. 2.3. Énergies 2.3.1. Comment appelle-t-on les énergies ayant respectivement pour

expressions 2 1

kx 2

et

2 1 dx

m 2 dt

     

?

2.3.2. Pour un lâcher sans vitesse initiale, l’équation différentielle a pour

solution x(t) = Xm cos π 0

t 2

T

     

.

Montrer que l’énergie mécanique a pour expression Em = 2

m

1 kX

2 .

On rappelle que cos²  + sin²  = 1. 2.3.3. Quelle est la valeur minimale de l’énergie mécanique ? 2.4. On réalise différents lâchers sans vitesse initiale en faisant varier l’amplitude. 2.4.1. Calculer l’énergie mécanique lorsque Xm = 1,00 cm. 2.4.2. Combien de valeurs de l’énergie mécanique sont possibles entre Xm= 0 et Xm = 1,00 cm : aucune ou un infinité ? Justifier.

3. Le pendule élastique en mécanique quantique. On considère une molécule diatomique AB vibrant autour de son centre de masse G (mA et mB sont les masses respectives des atomes A et B). On assimile cette molécule à un système de masse µ (appelée masse réduite et telle que

A B

A B

m m

m m 

 

) oscillant par rapport au point G fixe.

Le mouvement est rectiligne sinusoïdal de période propre T0 = π2 k

où k est la

constante de raideur du ressort équivalent.Données :

Constante de Planck : h = 6,63  10 –34 J.s ;

Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00  108 m.s-1. 3.1. La mécanique quantique montre que l’énergie de vibration Evib de la molécule est quantifiée. Qu’entend-on par énergie quantifiée ?

3.2. La molécule est assimilée à un oscillateur harmonique de période propre

T0 = 1,95  10 –14 s. Un niveau n d’énergie de vibration est caractérisé par

Evib(n) = 0 1

n h 2 

   

  où h est la constante de Planck, 0 la fréquence de

l’oscillateur et n un entier positif : n = 0, 1, 2, 3, … .

3.2.1. Vérifier que la fréquence 0 de l’oscillateur vaut environ 5,13 10 13 Hz

puis calculer les énergies manquantes dans le tableau du document 4 de l’annexe à rendre avec la copie. 3.2.2. Représenter le diagramme en énergie de la molécule sur le document 4 de l’annexe à rendre avec la copie en indiquant chaque niveau par un segment horizontal. Que peut-on dire de l’écart entre deux niveaux successifs ? 3.2.3. La transition du niveau caractérisé par n = 0 au niveau caractérisé par n = 1 correspond à l’absorption d’une radiation. Calculer la longueur d’onde correspondante dans le vide. Cette radiation est-elle visible ? Justifier.

A, mA B, mB G

ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE : L’OSCILLATEUR HARMONIQUE

Document 1.

Amplitude (°) 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00

T (s) 2,01 2,01 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05

Document 2

Document 3

Document 4

x’ O x(t) x

G

i

Niveau n Evib(n) (10-20 J)

0

1

2 8,50

3 11,90

4 15,30

Evib(n) (10-20 J) 20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

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