Travaux pratiques de sciences mathématiques 9, Exercices de Méthodes Mathématiques

Travaux pratiques de sciences mathématiques 9, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 9 sur le nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la nature de la transformation, le point T et le rayon de (C).
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[ Baccalauréat C Étranger groupe 1 1 juin 1969 \

EXERCICE 1

1. z est un nombre complexe non nul, de module r et d’argument θ ; z désigne le nombre conjugué de z.

Quel est le module et quel est l’argument de z ′ = 1

z ?

Quelle est la transformation géométrique qui associe le point M image de z au point M ′ image de z ′ ?

2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox et y ′Oy .

On appelle A le point de coordonnées x0 = 1, y0 = 0. Dans l’inversion J de centre O et de puissance 1, le point M d’affixe z a pour inverse M ′ d’affixe z ′. Le point M ′, s’il n’est pas en A, a pour inverse M ′′ dans l’inversion J1 de centre A et de puissance 1. Enfin, le point M ′′ a pour inverse M1 d’affixe z1 dans l’inversion J .

Calculer z1 en fonction de z. En déduire la nature de la transformation T qui transforme M en M1 :

T =J ◦J1 ◦J .

Expliquer géométriquement.

EXERCICE 2

1. (O) et (C) sont deux cercles tangents extérieurement. Du centre O de (O) on trace une tangente à (C) ; soit T le point de contact de cette tangente et de (C).

Démontrer que la puissance de T par rapport à (O) est égale au double du produit des rayons des deux cercles.

2. Sur la droite OT on désigne par O′ un point tel que T soit entre O et O’ et l’on trace le cercle (O′), de centre O′, tel que (O′) et (C) soient tangents extérieure- ment. Les données étant les points O et O′ et les rayons, R et R′, de (O) et de (O′), à savoir

R = 1, R′ = 2, OO′ = 5,

on demande de déterminer le point T et le rayon de (C).

EXERCICE 3

Soit f la fonction qui, à la variable réelle x, fait correspondre le réel

y = f (x)= ex (

2x2−3x )

,

où e est la base des logarithmes népériens.

1. Étudier le sens de variation de cette fonction et en tracer la courbe représen- tative, (C ), par rapport à un repère orthonormé d’axes x′Ox et y ′Oy .

[On précisera, en particulier, les limites de y quand x tend vers+∞ et vers−∞ et l’on déterminera la tangente à (C ) à l’origine.]

1. Le groupe 1 comprend les centres du Bassin méditerranéen et de l’Afrique noire.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Calculer les dérivées première et seconde, y ′ = f ′(x) et y ′′ = f ′′(x), de la fonc- tion f (x) et vérifier que y = f (x) est solution de l’équation différentielle

y ′′−2y ′+ y = 4ex .

En déduire que 4ex +2y y ′ est une primitive de y .

Évaluer l’aire arithmétique S(a) limitée par la courbe (C ), l’axe x x et les droites d’équations respectives x = 0 et x = a, où a est un nombre réel négatif.

Démontrer que S(a) a une limite, , que l’on évaluera, lorsque a tend vers−∞.

3. Soit f (n)(x) la dérivée d’ordre n de f . Démontrer que, quel que soit l’entier n supérieur ou égal à 1, on a

f (n)(x)= ex (

2x2+an x +bn )

,

an et bn sont des entiers relatifs, fonctions de n.

Établir les relations

an+1 = an +4 et bn+1 = bn +an .

Calculer an et bn en fonction de n.

4. Démontrer que, quel que soit n, l’équation

2x2+an x +bn = 0

a deux racines réelles et distinctes.

On se propose de trouver toutes les valeurs de n entières supérieures à 1 pour lesquelles ces racines sont des nombres rationnels.

À cet effet, on établira d’abord que ces valeurs de n sont telles que 16n+9 est le carré d’un nombre entier, p, et ensuite que le reste de la division de p par 8 est égal à 3 ou à 5. On en déduira la forme générale des entiers n cherchés et l’on donnera toutes les valeurs de n inférieures à 30.

Poitiers 2 juin 1969

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