Travaux pratiques - le calcul avancé 4, Exercices de Calculs avancés

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Travaux pratiques sur le calcul avancé 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les variations, l’aire du domaine, les transformations ponctuelles, les valeurs de l’entier naturel.
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[ Baccalauréat C Rouen juin 1973 \

EXERCICE 1

Un paquet de 10 cartes à jouer comprend 5 as, 3 rois et 2 dames. Le tirage d’un as

rapporte 5 points, celui d’un roi rapporte 2 points et celui d’une dame coûte 1 point.

Du paquet on extrait simultanément 2 cartes et on désigne par X le total des points

marqués.

On suppose que les tirages sont équiprobables.

1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ?

2. Calculer l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type de X.

EXERCICE 2

1. Résoudre dans Z/5Z l’équation ?

x2− 3̇x+ 2̇= 0

(La classe de congruence de n, modulo 5, étant notée ṅ)

2. Déterminer les entiers relatifs n tels que le reste de la division euclidienne de n2−3n par 5 soit égal à 3.

PROBLÈME

Le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. a. On se propose d’étudier les variations de la fonction f définie dansR par

y = f (x)= 3x2−2x+11

4(x−1)

On pourra chercher des constantes réelles a, b, c telles que

x ∈R−1, f (x)= ax+b+ c

x−1

Construire la courbe représentative (C ).

b. Déterminer une primitive F de la fonction f .

Calculer l’aire S du domaine plan limité par la courbe (C ), l’axe des abs-

cisses et les droites d’équations x = 2 et x = 5.

2. Dans le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, on

désigne par T la transformation ponctuelle définie analytiquement par

x′ = 3

5 x

4

5 y +

6

5

y ′ = − 4

5 x

3

5 y +

12

5

a. Déterminer l’ensemble des points du plan affine invariants par T .

b. Montrer que T est une isométrie involutive du plan affine.

c. Déterminer l’image parT de la droite du plan affine qui a pour équation x = 1.

d. Préciser la nature deT et en déduire (sans nouveaux calculs) l’image de la droite ∆ du plan affine qui a pour équation 2xy −1= 0.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

e. Montrer que C est invariante par T .

3. Soit ρ la rotation vectorielle transformant −→ u

(

1 p 5 ;

2 p 5

)

en −→ u′ (1 ; 0). Soit R la

rotation du plan affine associée à ρ et laissant invàriant le point Ω(1 ; 1).

a. Quel est le transformé de ∆ par R ?

b. Déterminer analytiquement cette transformation R.

c. Quel est le transformé (H) de (C ) par R ?

d. Déterminer par leurs coordonnées les sommets et les foyers de la courbe (H) dont on précisera la nature et en déduire les coordonnées des som-

mets et des foyers de la courbe (C ) dont on précisera la nature.

N. B. Bien que le thème principal de ce problème soit l’étude de la courbe (C ) définie par son équation dans la première question, les trois parties du problème peuvent

être abordées séparément.

Rouen 2 juin 1973

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