Travaux pratiques - math 11, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques - math 11, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les variations, le plan affine euclidien associé à E.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C 1975 Montpellier \

EXERCICE 1

1. Résoudre dansN2 l’équation

7x−4y = 4

2. Un entier naturel a s’écrit 75 dans le système de base x et 49 dans le système de base y . Un entier naturel b s’écrit 310 dans le système de base x et 125 dans le système de base y . Déterminer x et y puis a et b.

EXERCICE 2

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

f (x)= x2− x2Log x.

1. Étudier ses variations, tracer sa courbe représentative (C ) dans un plan af-

fine euclidien Pmuni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, l’unité de longueur

étant 1 cm. On précisera l’allure de la courbe aux bornes de l’ensemble de dé- finition.

2. En utilisant une intégration par parties, calculer l’aire de la partie du plan comprise entre x′Ox, (C ) et les droites d’équations x = 1 et x = e.

PROBLÈME

Partie A

Soit E le plan vectoriel euclidien et B = (−→ ı ,

−→

)

une base orthonormée de E. On

appelle ϕa l’application linéaire de E dans E dont la matrice, relativement à B est :

(

1−a a p 3

a p 3 a−1

)

a étant un réel.

1. Pour quelles valeurs de a, ϕa est-elle bijective ? Pour quelles valeurs de a, ϕa est-elle involutive ?

Quel est le noyau de ϕa ? Quelle est l’image de ϕa ?

2. On donne à a la valeur 1/2.

Quelle est la nature de ϕ1/2 ? Quel est l’ensemble des vecteurs invariants par ϕ1/2 ? Quelles sont les droites vectorielles globalement invariantes par ϕ1/2 ?

Partie B

On désigne par E un plan affine euclidien associé à E et on considère le repère or-

thonormé R = (

O, −→ ı ,

−→

)

de E . On appelle f l’application affine de E dans E dont

l’application linéaire associée estϕ1/2 et qui au point O associe le point A(O ; 2). Soit donc :

f : E → E M(x ; y) 7−→ M

(

x′ ; y ′ )

Terminale C A. P. M. E. P.

1. Établir que :

x′ = x

2 +

y p 3

2

y ′ = x p 3

2 −

y

2 +2

puis exprimer x et y en fonction de x′ et y ′.

2. Soit z le nombre complexe affixe deM et z ′ l’affixe deM ′ = f (M).

a. Écrire une relation entre z ′ et z.

b. Montrer que :

α f laisse globalement invariante la droite ∆ d’équation

x− p 3y +0= 0

α f est la composée de la symétrie orthogonale s∆ par rapport à ∆ et

d’une certaine translation t−→ v de vecteur

−→ v ,

−→ v étant un vecteur di-

recteur de ∆.

3. On se propose de retrouver géométriquement le résultat précédent. On dé- signe par D et les droites d’équations :

xy p 3= 0 et xy

p 3+

p 3= 0

Soit sD et s∆ les symétries orthogonales par rapport àD et ∆.

a. Trouver deux vecteurs −→ V et

−→ W respectivement parallèle et perpendicu-

laire àD tels que :

2 −→ =

−→ V +

−→ W

Soit t−→ V et t−→

W les translations de vecteurs

−→ V et

−→ W .

b. Montrer que : f = t−→ V ◦ t−→

W ◦ sD .

Vérifier : t−→ W

sD = s∆ et conclure.

4. On donne la conique (C ) d’équation x2 = 3y2−6y . Construire (C ).

Écrire l’équation de (

C ′ )

, image de (C ) par f . Mettre cette équation sous la forme y = g (x). Construire

(

C ′ )

et écrire les équations de ses asymptotes.

Montpellier 2 juin 1975

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