Travaux pratiques - math 15, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques - math 15, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’existence de G barycentre des points A, B, C, la fonction numérique f de la variable réelle x, les applications involutives.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1975 Nice \

EXERCICE 1

Soit E un espace affine euclidien de dimension 3. On donne trois points distincts A, B, C de E . Soit f l’application de E dans R définie par :

M 7−→ f (M)= 2 ∥

−−→ MA

2 +3

−−→ MB

2 −2

−−→ MC

2 .

1. Justifier l’existence de G barycentre des points A, B, C, affectés respectivement des coefficients 2, 3, −2.

Donner une relation vérifiée par les vecteurs −−→ GA ,

−−→ GB ,

−−→ GC .

2. Montrer que f (M)= 3 ∥

−−→ MG

2 +k k = f (G).

3. Discuter suivant les valeurs de k, la nature de l’ensemble des points M de E tels que f (M)= 4.

EXERCICE 2

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :

f (x)=

x2+ x

∣+1

|x|+1

1. Étudier la dérivabilité de f en x0 = 0 et x1 =−1.

2. Représentation graphique de f en repère orthonormé. On précisera en parti- culier les asymptotes à la courbe représentative.

PROBLÈME

Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A

Dans l’ensemble C des nombres complexes, on définit l’opération T de la façon sui- vante : si z =α+ iβ et z ′ =α′+ iβ′ sont deux éléments quelconques de C,

z T z ′ =αα′+ i (

αβ′+βα′ )

1. Montrer que (C, +, T) est un anneau commutatif.

2. Si u = γ+ iδ et u′ = γ′+ iδ′ sont deux nombres complexes donnés, résoudre et discuter l’équation d’inconnue z :

(1) u T z =u′ où z ∈C.

Onmontrera que si u est imaginaire pur, l’équation est impossible ou indéter- minée. Lorsqu’il y a indétermination, donner toutes les solutions.

3. Pour tout nombre complexe z, on pose z[0] = 1 et on définit par récurrence z[n] = z T z[n−1] pour tout entier n> 1. Calculer :

a. i[n]

Terminale C A. P. M. E. P.

b. (α+ iβ)[n]

puis résoudre et discuter l’équation :

z[n] =u′.

où u’ est un nombre complexe donné, où z est l’inconnue complexe et n> 2.

4. On considère l’ensemble M des matrices de la forme M =

(

α β

0 α

)

(α ; β) ∈R2, muni de l’addition et de la multiplication des matrices.

Montrer que (M , +, ×) est un anneau isomorphe à (C, +, T).

Partie B

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 2, muni d’une base (

−→ ı ,

−→

)

ortho-

normée. On note 0E le vecteur nul de E.

On note , β l’application linéaire de E dans E dont la matrice dans la base (

−→ ı ,

−→

)

est M =

(

α β

0 α

)

.

1. Quelles sont les applications , β involutives ?

2. a. Discuter suivant les valeurs de α et β la nature du noyau de , β (on

rappelle que le noyau de , β est l’ensemble des vecteurs −→ u de E tels

que , β (

−→ u

)

= 0E).

b. Pour quelles valeurs de α et β, , β est-elle bijective ?

3. On prend α= 1 et β= 1.

a. Écrire la matrice M sous la forme I + A où I =

(

1 0 0 1

)

.

b. Montrer que A est lamatrice de l’application composée ps s désigne

la symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielle de base −→ ı +

−→

et où p est la projection orthogonale sur une droite que l’on précisera.

Partie C

Soit E un espace affine euclidien associé à E et rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

où (

−→ ı ,

−→

)

est la base de E définie en B.

Soit F l’application affine de E dans E associée à f1, 1 et telle que F (O) = O.

Soit P la courbe d’équation 2X Y 2 = 0 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Quelle est la nature deP ? La représenter graphiquement dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. a. Montrer que l’image réciproqueQ de P par F admet pour équation :

2X +1= (Y −1)2.

b. Quelle est la nature deQ ? Représenter cette courbe sur le même dessin que P .

3. Calculer l’aire de la portion de plan comprise entre la courbeQ et l’axe des y .

Nice 2 juin 1975

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