Travaux pratiques math 3, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques math 3, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les restrictions de la fonction dérivée, la courbe représentative de f.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Lille septembre 1975 \

EXERCICE 1

Une urne contient 4 boules blanches et 4 boules noires indiscernables au toucher

(la possibilité de tirer une boule est donc la même pour chaque boule).

1. Une épreuve consiste à tirer simultanément 5 boules de l’urne, et on désigne par X la variable aléatoire qui associe à toute épreuve le nombre de boules

blanches obtenues parmi les 5. Définir la loi de probabilité-image, l’espérance

mathématique et la variance de la variable aléatoire X.

2. Répondre aux mêmes questions avec un tirage de 5 boules s’effectuant avec remise : c’est-à-dire, qu’après avoir tiré la première boule, on en note la cou-

leur et on la remet dans l’urne avant de tirer la deuxième boule, et ainsi de

suite jusqu’à la cinquième.

EXERCICE 2

Soit la fonction f de R− {0} dans R définie par

f (x)= x

2 −

x2−1 ∣

x

1. Déterminer les restrictions de la fonction dérivée f ′ aux intervalles ]0 ; 1[ [ et ]1 ; +∞[. f est-elle dérivable en 1 ?

Quel est le signe de f ′ ? (On peut poser si nécessaire u = p x2−1).

2. x étant supérieur à 1, mettre f (x) sous la forme

f (x)= x

2 −1+ǫ(x)

où la fonction ǫ tend vers zéro quand x tend vers +∞.

En déduire une équation d’une asymptote à la courbe représentative de f .

3. Construire la courbe représentative de f dansun repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

PROBLÈME

Partie A

Soit un espace vectoriel euclidien V2 dont une base orthonormée est (−→ ı ,

−→ ı

)

. Un

endomorphisme ϕ deV2 (c’est-à-dire une application linéaire deV2 dans lui-même)

est défini par sa matricem =

(

1 1

1 −1

)

par rapport à la base (−→ ı ,

−→ ı

)

.

1. Montrer queϕ est une bijection deV2 dansV2. Déterminerϕ−1 par samatrice

dans la base (−→ ı ,

−→ ı

)

; ϕ est-elle involutive ?

2. Montrer qu’il existe deux droites vectorielles d1 et d2 globalement invariantes par ϕ.

3. Montrer que ϕ est la composée, dans un ordre arbitraire, d’une homothétie vectorielle de rapport positif et d’une symétrie vectorielle orthogonale.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Calculer m2,m3,m4. En déduiremn pour tout n entier naturel non nul.

Partie B

Soit un plan affine euclidien P, de directionV2 ; à partir d’un point O de P on introduit

le repère d’axes Ox et Oy , dont −→ ı et

−→ sont respectivement des vecteurs directeurs.

On considère l’application affine f de P dans P définie parϕ et par le point I, tel que −→ OI =

−→ ı , invariant par f .

1. f est-elle une bijection de P dans P ? Si oui déterminer f −1.

Déterminer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

de f (M) en fonction des coordonnées

(x ; y) deM .

2. f a-t-elle d’autres points invariants que I ? Déterminer les droites telles que chacune ait même direction que sa transformée par f . Préciser les droites glo-

balement invariantes.

3. Montrer que f est la composée, dans un ordre arbitraire, d’une homothétie de rapport positif et d’une symétrie axiale.

4. On pose f n = f f n−1 pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 2.

a. Déterminer f 2, puis f n (n entier naturel non nu !),.

b. M étant fixé dans P, construire M1 = f (M), M2 = f 2(M), M3 = f 3(M), et démontrer que l’ensemble des points Mn = f n(M) est inclus dans la réunion de deux droites.

Ces droites sont-elles distinctes quel que soit M ?

c. G étant le centre de gravité du triangle IO f (O), déterminer les coordon- nées de G2 = f 2(G) sans calculer les coordonnées de G.

Lille 2 septembre 1975

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