Travaux pratiques - physisque 10 - correction, Exercices de Physique de procédés Technologiques pour Micro et Nano Systèmes
Eleonore_sa
Eleonore_sa30 April 2014

Travaux pratiques - physisque 10 - correction, Exercices de Physique de procédés Technologiques pour Micro et Nano Systèmes

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Travaux pratiques de physisque sur la décharge d'un condensateur - correction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'établissement de l'equation differentielle lors de la decharge, la solution de l'équation ...
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Exo2 Décharge d'un condensateur 5 pts

09/2006 Antilles Exercice n°2 ( 5 points) DÉCHARGE D'UN CONDENSATEUR

Correction

1. ÉTABLISSEMENT DE L'EQUATION DIFFERENTIELLE LORS DE LA DECHARGE 1.1.(0,125)D'après la loi d'additivité des tensions : uC + uR = 0.

1.2.(0,25)qA = C.uC

1.3.(0,25) L'intensité a été comptée positivement au cours de la charge du condensateur, lors de la

décharge le courant change de sens, alors i est négative.

i = A dq

dt

remarque : dqA = qA(t+dt) – qA(t) < 0 car la charge portée par l'armature A diminue lors de la décharge. On

retrouve bien i < 0.

En utilisant le 1.2., il vient i = .

C dC u

dt .

C étant constante on a i = . C du

C dt

1.4. D'après 1.1. uC + uR = 0

d'après la loi d'Ohm uR = R.i

uC + R.i = 0

d'après 1.3. uC + R.C C du

dt = 0

1 . 0C

C

du u

RC dt   (0,25)

Cette équation différentielle est bien de la forme  uC + C du

dt = 0 avec  =

1

RC (0,125)

2. SOLUTION DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

2.1.(0,75) uC = Ae –t et 1

. 0C C

du u

RC dt  

Exprimons tout d'abord C du

dt =

.. tdA e

dt



= A .tde

dt



= –A..e–.t

Remplaçons l'expression obtenue dans l'équation différentielle

1

RC .A.e –t – A..e–.t = 0

A.e –t ( 1

RC – ) = 0

Cette égalité est vérifiée quel que soit t,

si A = 0 mais l'énoncé précise que A est une constante > 0 donc impossible

ou si 1

RC –  = 0 soit si  =

1

RC .

2.2.(0,25) à la date t = 0, on a uC(0) = U0 = 10 V

uC(0) = A.e–0 = A

donc A = U0

A = 10 V.

2.3.(0,25) Lors de la décharge du condensateur, la tension uC à ses bornes décroît. La courbe 1 convient.

On peut aussi ajouter que seule la courbe 1 est en accord avec uC(0) = U0 = 10 V.

B A

C

R

uR

uC

i

i

2.4.(0,125)  = R.C

2.5.(0,325) = R.C

[] = [R].[C]

D'après la loi d'Ohm uR = R.i, donc R = R u

i soit [R] =

   

U

I

D'après le 1.3. i = . C du

C dt

, donc C = i. C

dt

du soit [C] = [I].

   

T

U

[] =    

U

I .[I].

   

T

U

[] = [T] est homogène à un temps.

Les deux méthodes conduisent à  = 0,07 s.

2.7. (0,25)  = R.C donc C = R

C = 0,07

33 = 210–3 F = 2 mF

0

2

4

6

8

10

12

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40

t(s)

uC(V) 2.6.(0,25)

La tangente à l'origine à la courbe uC(t) coupe l'axe des

temps à la date t = .

uC() = U0.e–1

uC() = 10 0,37 = 3,7 V

3. INTENSITÉ DU COURANT

3.1. (0,25) On a établi précédemment dans le 1.3. i = . C du

C dt

et dans le 2.1. et 2.2 uC = Ae –t avec A = U0 et  = 1

RC soit uC =

t

RC

0U e

     

donc C du

dt =

t

RC0U e R.C

     

finalement i =

t

RC0U e R

     

3.2.(0,25) i(0) = I0 = 0 U

R 

i(0) = 10

33  = – 0,30 A

3.3. (0,25) Seule la courbe 3 est en accord avec I0 < 0.

3.4. (0,125) à la date t = 0,50 s

i =

t

RC0U e R

     

i(0,50) =

0,50

0,0710 e 33

       = –210–4 A = – 0,2 mA

3.5.(0,125) uC =

t

RC

0U e

     

uC(0,50) = 10

0,50

0,07e

      = 810–3 V = 8 mV

3.6. La durée écoulée est supérieure à cinq fois la valeur de la constante de temps , on trouve une valeur

de uC très proche de zéro. On peut considérer que le condensateur est déchargé.

4. ÉNERGIE EMMAGASINÉE DANS LE CONDENSATEUR

4.1. (0,25) E = 1

2 .C.uC²

qA = C.uC soit uC = A q

C

E = 1

2 .C.

2

A q

C

     

= 1

2 .

2 A

q

C

4.2. (0,25) L'énergie emmagasinée à la date t = 0 s dans le condensateur C a pour expression : E = 1

2 .C.U0²

Pour le condensateur C ' (avec C ' > C), on a E' = 1

2 .C '. U0².

U0 étant constante, alors E' > E.

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