Travaux pratiques - physisque physiques 9 - correction, Exercices de Analyse circuit électriques
Eleonore_sa
Eleonore_sa30 avril 2014

Travaux pratiques - physisque physiques 9 - correction, Exercices de Analyse circuit électriques

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Travaux pratiques de physisque physiques sur les analogies electromecaniques - correction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Oscillateur mécanique, Oscillateur électrique.
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ExerciceII.Analogies électromécaniques (5pts)

Pondichéry 2006 EXERCICE Il. ANALOGIES ELECTROMECANIQUES (5 points) Correction

1 Oscillateur mécanique 1.a - (0,2) Le système étudié est le solide (S) dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Trois forces agissent sur (S):

- le poids P

- la réaction normale du support R , verticale et vers le haut car le solide glisse sans frottement

- la force de rappel du ressort F telle que: F = – k.x. j où x est l'abscisse du centre

d'inertie G du solide. Les trois forces sont représentées au point G: (0,2)

1.b - En utilisant la deuxième loi de Newton appliquée au solide (S),   ext

F m.a

on a:P + R + F = m. a

En projection sur l'axe (O j ), il vient:

0 + 0 – k.x = m.ax

or: ax = d²x

dt²

(0,4)donc: m. d²x

dt² + k.x = 0

1.c - Si x(t) = A.cos(2 t

T + ) est une solution, elle doit vérifier l'équation différentielle:

dx

dt = – A.

2

T

 .sin(2

t

T + )

d²x

dt² = = –

En reportant dans l'équation différentielle :

–m.

2 2

T

     

.x(t) + k.x(t) = 0

x(t). [– m.

2 2

T

     

+ k] = 0

ressort

(S)

 x

G O

Oscillateur mécanique

Figure B

j

P

R

F

2 2 t

A. .cos(2 . ) T T

        

2 2

.x(t) T

     

 En excluant la solution x(t) = 0 (position d'équilibre) il vient :

[k – m.

2 2

T

     

] = 0

k = m.

2 2

T

     

T ² = 4 m

² k

(0,4) finalement: T = 2 m

k 

x(t) est solution de l'équation différentielle si T = 2 m

k  .

 La relation T ² = 4 m

² k

 montre que le rapport m

k est homogène au carré d'une durée.

(0,2) Donc le rapport m

k s'exprime en s².

(0,2) T est la période propre de l'oscillateur mécanique.

Application numérique: T = 2 m

k 

T = 2  21,0.10

(0,2) T = 0,63 s1.d - Les conditions initiales sont: x(0) = Xo = + 4,0 cm et vx(0) = 0 m.s-1. (0,2)

x(0) = Xo = A.cos()

vx(0) = 0 = 

      0t

dx

dt = – A.

2

T

 .sin()  sin() = 0   = 0 ou =

Or à t = 0 Xo >0 donc en supposant A > 0 il faut que cos() > 0 : la seule solution possible est

(0,2) alors:  = 0 (car cos() = – 1)

(0,2) Et si  = 0 alors Xo = A ( car cos(0) = 1).

Finalement: x(t) = Xo.cos(2 t

T )

2 Oscillateur électrique 2.a – En identifiant les deux équations différentielles on peut faire les correspondances

suivantes entre les grandeurs mécanique et électrique:

grandeur mécanique grandeur électrique

m. d²x

dt² + k.x = 0 0 

d²q q L

dt² C

(0,2) m L

(0,2) x(t) q(t)

(0,2) k 1 / C

(0,2)Et comme i(t) = dq

dt , la grandeur mécanique correspondant à l'intensité instantanée est

dx

dt

soit la vitesse instantanée: vx = dx

dt

2.b - En utilisant les similitudes entre les équations différentielles et les conditions initiales, on peut écrire:

(0,2) x(t) = Xo.cos(2 t

T ) pour l'oscillateur mécanique

(0,2) q(t) = Qo.cos(2 t

T ' ) pour l'oscillateur électrique

D'autre part pour les périodes propres:

T = 2 m

k  pour l'oscillateur mécanique

(0,2) T' = 2 LC pour l'oscillateur électrique

En effet: m  L et 1 / k  C.

Application numérique: T ' = 2     60,10 10,0.10

(0,2) Donc T ' = 6,3.10–3 s = 6,3 ms3.- Graphes x(t) et q(t):

x(t) =X0.cos(2 t

T ) soit x(t) = 4,0 cos (2t/0,63) avec x exprimée en cm et t en s

(0,2)

T/2 T 3T/2 2T T/4 3T/4

5T/4

7T/4

x(0) = X0 = 4,0 cm

Pour t = n.T (avec n entier), x est maximale. Pour t = (2n+1).T/2, x est minimale. Pour t = (2n+1).T/4, x est nulle.

q(t) = Q0.cos(2 t

T ' ) soit q(t) = 10–4cos(2t/6,3) avec t en ms

ou q(t) = 100 cos((2t/6,3) avec t en ms et q en µC. (0,2)4 - (0,2) Les oscillateurs réels ne sont pas idéaux. En effet il existe toujours des effets

dissipatifs d'énergie. Pour l'oscillateur mécanique, il faut tenir compte des forces de frottement : - solide de (S) sur le support - fluide de (S) avec l'air. (0,2) Une partie de l'énergie mécanique est alors dissipée sous forme de chaleur à cause des

frottements. (0,2) Pour l'oscillateur électrique, la résistance de la bobine n'est pas nulle (elle vaut quelques

ohms): une partie de l'énergie électromagnétique stockée dans la bobine est dissipée sous forme de chaleur par effet Joule.

T'/2 T' 3T'/2 2T' T'/4 3T'/4

5T'/4

7T'/4

q(0) = Q0 = 100µC

Pour t = n.T ' (avec n entier), q est maximale. Pour t = (2n+1).T'/2, q est minimale. Pour t = (2n+1).T'/4, q est nulle.

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