Travaux pratiques sur la fonction numérique de la variable réelle, Exercices de Mathématiques Appliquées

Travaux pratiques sur la fonction numérique de la variable réelle, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Travaux pratiques de mathématique sur la fonction numérique de la variable réelle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les deux paramètres réels, la représentation graphique.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nord-Cameroun juin 1970 \

EXERCICE 1

On prend dans l’espace un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

et l’on considère les

points A(0 ; 0 ; +1), B(+2 ; −1 ; +3) et C(+1 ; +3 ; −2).

1. Écrire l’équation de la sphère de diamètre AB.

Déterminer son centreω et son rayon R.

2. k étant un nombre réel donné, déterminer l’ensemble (E1) des points M de l’espace tels que

−−→ MA ·

−−→ MB = k.

On écrira l’équation de cet ensemble.

3. Déterminer l’ensemble (E2) des points P de l’espace tels que

−−→ PA ·

−−→ PB =

−−→ PA ·

−−→ PC .

On donnera l’équation de (E2) et on le caractérisera géométriquement.

Calculer la distance deω à (E2).

EXERCICE 2

Soit f l’application de R dans R (ensemble des nombres réels) qui à x associe

f (x)= ax+b,

a et b sont deux nombres réels (x 7−→ ax+b). Montrer que f est bijective pour a 6= 0. Quelle est l’application réciproque de f ? On la notera f −1. Application : On donne

g : x 7−→ 3x−5 et h : x 7−→ 2x+3.

Déterminer g−1 et h−1. Déterminer g h (composée de h par g ), puis (g h)−1 et h−1 ◦ g−1. Comparer (g h)−1 et h−1 ◦ g−1.

EXERCICE 3

Soit la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= x2+bx+c

x2−3x+2

b et c sont deux paramètres réels.

1. Déterminer b et c pour que f admette un extremum égal à 0 pour x = 0.

2. Pour les valeurs de b et c ainsi trouvées, étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative (C ) dans un repère orthogonal.

3. Donner, suivant les valeurs du paramètre réelm, le nombre de points d’inter- section de (C ) avec la droite (D) d’équation y =m.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Quand (D) coupe (C ) en deux points, M et M ′. Déterminer les coordonnées dumilieu, I , deMM ′.

Quel est l’ensemble des points I lorsquem varie dans R (ensemble des réels) ?

On tracera la représentation graphique de cet ensemble sur le graphique où l’on a déjà tracé (C ).

Nord-Cameroun 2 juin 1970

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