Travaux pratiques sur la théorie de calcul 1, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Travaux pratiques sur la théorie de calcul 1, Exercices de Théorie de calcul

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Travaux pratiques sur la théorie de calcul 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer les intégrales, Dresser la tableau de variation de f .
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Japon juin 1986 \

EXERCICE 1 4 points

Calculer les intégrales suivantes :

I1 =

π

4

0

x

cos2 x dx, I2 =

−1

− 4 3

2x+1

(3x+2)3 dx.

Pour le calcul de I2, on pourra effectuer un changement de variable affine.

EXERCICE 2 4 points

Soit f la fonction de la variable réelle x définie par :

f (x)= 1+ x− ln ∣

∣ex −e ∣

∣ .

1. Montrer qu’on a pour tout x :

f (x) = 1− ln ∣

∣1−e1−x

f (x) = x− ln ∣

∣ex−1−1 ∣

2. Dresser la tableau de variation de f .

3. Montrer que f définit une bijection g de ]1 ; +∞[ sur un intervalle I que l’on précisera.

Définir g−1 et vérifier que g−1 = g .

PROBLÈME 12 points

Les diverses question sont, dans une large mesure, indépendantes

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

On se propose de tracer la courbeC ensemble des points du plan dont les coordon- nées son définies en fonction de la variable réelle t par :

M(t)

{

x(t) = 4cos t sin2 t y(t) = 4sin t cos2 t

1. Préciser la transformation ponctuelle transformant, quel que soit le réel t , le point M(t) en :

a. Le point M(t +2π).

b. Le point M(−t).

c. Le point M(πt).

d. Le point M (

π

2 − t

)

On appelle C1 la partie de C correspondant aux valeurs de t comprises

entre 0 et π

4 . Expliquer comment on peut déduire la courbe C de la

courbe C1.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Étudier les variations de x et y sur [

0 ; π

4

]

, (on remarquera que y ′ s’annule

pour une valeur t0, que l’on ne cherchera pas à calculer, mais dont on donnera une valeur approchée).

3. Tracer la courbe C .

Préciser les tangentes à C aux points de paramètres t = 0 ; t = π

4 .

4. z(t) étant l’affixe du point M(t) de la courbe C1, calculer en fonction de t , le module et un argument de z(t).

Partie B

Soient A et B deux points du plan situés respectivement sur les demi-droites (

O, −→ ı

)

,

et (

O, −→

)

et tels que d(A, B) = 4.

On appelle C le point du plan tel que le quadrilatère OACB soit un rectangle.

O A

B C

−→ ı

−→  t

t désigne une mesure de l’angle en A du triangle OAB, t ∈ [

0 ; π

2

]

.

1. Soient P un point quelconque de la droite (AB) et Q le barycentre des points C et P affectés des coefficients −1 et 2.

Quel est l’ensemble ∆ des points Q lorsque P décrit la droite (AB) ?

2. La perpendiculaire en Q à ∆ coupe la perpendiculaire en P à (CP) en un point S.

a. Montrer que l’ensemble Γ des points S lorsque P décrit la droite (AB) est une conique dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques.

b. Tracer Γ avec soin dans le cas où t = π

6 ; montrer que les droites

(

O, −→ ı

)

et (

O, −→

)

sont tangentes à Γ.

Partie C

Dans cette partie les points A et B varient sur les demi-droites (

O, −→ ı

)

et (

O, −→

)

, la

longueur du segment AB restant constante égale à 4.

1. Quel est alors l’ensemble des points C ?

2. Soit M le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Calculer les coordonnées deM en fonction de t .

En déduire que l’ensemble des points M est une partie de la courbe C tracée dans la partie A.

Japon 2 juin 1986

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