Travaux pratiques sur la théorie de calcul 10, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur la théorie de calcul 10, Exercices de Théorie de calcul

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Travaux pratiques sur la théorie de calcul 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer la solution de l’équation diffèrentielle, Factoriser, dans R, le polynôme, Achever le tracé de L.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1986 \

EXERCICE 1 4 points

1. Déterminer la solution de l’équation diffèrentielle :

y ′′+2y ′+ y = 0

vérifiant : y(0)= 0 et y ′(0)= 1. Étudier les variations de cette fonction, et en tracer la courbe représentative (sur papier ordinaire) dans un repère orthonormé du plan .(unité : 2 cm).

2. Pour n entier naturel, on pose

x ∈R, fn (x)= xe−2 nx .

Comparer fn+1(x) et fn (2x).

On désigne par Cn la courbe représentative de fn (dans le même repère).

Par quelle transformation simple passe-t’on deCn àCn+1 ?

3. Calculer A0 = ∫ 1

2n

0 f0(x)dx.

On pose plus généralement An = ∫ 1

2n

0 fn (x)dx.

Comparer An et An+1. Quelle est la nature de la suite (An)n∈N ?

EXERCICE 2 4 points

On considère dans un plan P un triangle ABC non aplati. B′ désigne le milieu de [AC], C′ le milieu de [AB] et D′ le barycentre du système {(A, 3), (B, 2)}. Soit I le barycentre du système {(A, 2), (B,2), (A, 1), (C, 1)}.

1. Montrer que I est le barycentre du système {(B′, 1), (C′, 2)} et également du système {(D, 5), (C, 1)}.

En déduire que 1 est le point d’intersection des droites (B′C′) et (CD).

2. La droite (AI) coupe la droite (BC) en E.

Déterminer la position de E sur la droite (BC). (On pourra utiliser le fait que I est le barycentre du système {(B′, 1), (C, 2)}.)

3. B et C restent fixes. Le point A se déplace dans P , le segment [AE] où E est le point défini dans la question 2, conservant une longueur constante.

Déterminer les lieux géométriques des points I et D. (On pourra faire interve- nir des homothéties).

EXERCICE 3 12 points

Partie A : préliminaires

Factoriser, dans R, le polynôme 2x2 − x p 2− 1, et étudier, sur l’intervalle [0 ; π], le

signe de l’expression :

f (θ)= 2cos2θ− p 2cosθ−1;

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

on introduira dans cette étude l’unique réel θ ∈]0 ; π[ tel que : cosθ0 = p 2−

p 10

4 .

(Pour la suite du problème, on considèrera que θ0 radians correspondent approxi- mativement à 116 degrés).

Partie B

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,

−→ ı ,

−→

) , (unité : 1 cm) ; on

considère. le point A d’affixe −4 et le cercle C de centre A et de rayon 4 p 2.

Objet du problème : À tout réel θ on associe le point P (θ) ∈ C tel que θ soit une

mesure en radians de l’angle á(−→ ı ,

−−−−→ AP (θ

) .

Soit T (θ) la tangente à C au point P (θ) ; on appelle M(θ) le projeté orthogonal de O sur T (θ). On se propose d’étudier le lieu L des points M(θ) obtenus lorsque θ décrit R.

1. a. Représenter graphiquement sur papier millimétré, avec le plus grand soin, les points P (θ) etM(θ) obtenus pour

θ ∈ { 0,π,

π

2 , π

4 , 3π

4 , 5π

6 ,θ0.

}

On disposera ainsi des premiers éléments d’une figure destinée, sous le nom de « figure 1 », à être complétée aux questions 2. c, 2. d et 3.

b. Démontrer que la droite (OA) est un axe de symétrie de L .

c. θ étant quelconque, onnote −−−→ u(θ) le vecteur unitaire tel que :

á(−→ ı ,

−−−→ u(θ)

) =

0, et H() le projeté orthogonal de O sur la droite (AP (θ)).

Représenter O, A, C ,P (θ),T (θ),M(θ),u(θ),H(θ) sur une nouvelle figure « figure 2 ») devant être complétée à la question 4. b.

Exprimer les vecteurs −−−−→ AP (θ) et

−−−−−→ AH(θ) aumoyen du vecteur

−−−→ u(θ) ; en dé-

duire que les coordonnées (x(θ), y(θ)) du point M(θ) sont données par :

{ x(θ) = 4

(p 2−cosθ

) cosθ

y(θ) = 4 (p

2−cosθ ) sinθ.

d. Démontrer que l’affixem(θ) du point M(θ) est donnée par

m(θ)= 4 p 2eiθ−2e2iθ−2 (i ∈C ; i2 =−1).

e. Demême, démontrer que l’affixe h(θ) du point H(θ) est donnée par :

h(θ)=−2+e2iθ.

2. Construction de L :

a. Expliquer pourquoi on peut, dans un premier temps, se limiter au cas où : θ ∈ [0 ; π].

b. Étudier les variations, sur [0 ; π], des fonctions θ 7−→ x(θ) et θ 7−→ y(θ). (On établira en particulier que : y ′(θ) = −4 f (θ), avec les notations de la partie A).

c. Représenter sur la figure 1 les tangentes àL auxpointsM(0),M ( π 4

) ,M (θ0),

M(π),M ( π 2

) . (On rappelle que la tangente à L au point M(θ) est dirigée

par le vecteur de coordonnées (x′(θ), y ′(θ)), noté

−−→ dM

dθ (θ), si ce vecteur

n’est pas nul).

d. Achever le tracé de L , en se conformant aux résultats précédents.

Strasbourg 2 juin 1986

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Construction de la tangente en un point quelconque de L

Démontrer que l’affixe du vecteur

−−→ dM

dθ (θ) s’obtient enmultipliant par i l’affixe

du vecteur −−−−−−−−→ H(θ)M(θ) .

Interpréter géométriquement, et en déduire une construction pratique de la tangente àL en n’importe quel point ; illustrer ce résultat (sur la figure 1) dans le cas particulier où : θ =

Illustrer ce résultat, sur la figure 2.

4. Démontrer que H(θ) est le point de Γ diamétralement opposé à L(θ).

Strasbourg 3 juin 1986

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