Travaux pratiques sur la théorie de calcul 11, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur la théorie de calcul 11, Exercices de Théorie de calcul

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Travaux pratiques sur la théorie de calcul 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur R. étudier l’effet d’une similitude sur une configuration géométrique plan...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Toulouse septembre 1985 \

EXERCICE 1 4 points

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que :

f (x)=−x si x 6 0 f (x)=−x lnx si 0< x 6 e f (x)= e−2x si x > e.

1. a. Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur R.

b. Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un re- père orthonormé (unité : 2 cm).

2. Soit α un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 1].

a. Calculer ∫1

α

f (x)dx. (On pourra faire une intégration par parties.)

b. Endéduire l’aire de l’ensemble des points du plan de coordonnées (x ; y) tels que

{

α 6 x 6 1 0 6 y 6 f (x)

(

On donnera le résultat en cm2. )

c. Cette aire admet-elle une limite lorsque α tend vers 0 ?

ln désigne la fonction logarithme népérien.

EXERCICE 2 4 points

Étant donnés deuxpoints distincts F et F′ duplanP, dans tout cet exercice, on appelle ellipse de foyers F et F′ l’ensemble des points N de P tels que : NF +NF′ = 2a a est un réel strictement positif vérifiant 2a > FF′. Soit B et F deux points donnés distincts du plan.

1. Quel est l’ensemble C des points O tels qu’il existe une ellipse de centre O, vérifiant les deux conditions suivantes :

(i ) ses deux foyers sont distincts et l’un d’eux est F.

(i i ) B est l’un des sommets du petit axe.

2. Quel est, pour ces ellipses, l’ensemble des foyers distincts de F.

3. Pour une ellipse E vérifiant les conditions (i ) et (i i ) la droite BF′ recoupe E en un point M distinct de B. Montrer que les demi-droites F′B et F′M sont opposées. Montrer que M reste situé sur une ellipse fixe quand E varie.

PROBLÈME 12 points

On se propose d’étudier l’effet d’une similitude sur une configuration géométrique plane

Partie A

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. a. Résoudre dans C l’équation :

8z3−8(1+ i)z2+6iz + (1− i)= 0,

sachant qu’elle admet une solution réelle.

b. Représenter les images A, B, C des solutions dans le plan complexe de

façon que le repère (

O ; −−→ OA ,

−−→ OC

)

soit de sens direct.

Quelle est la nature du quadrilatère OABC?

2. Soit s la similitude directe de centre O, de rapport p 2, d’angle de mesure

π

4 (unité : le radian).

a. Faire une figure représentant les images du carré OABC par :

s, s2 = s s, s3 = s s2, s4 = s s3.

(Aucune justification n’est demandée.)

b. SoitM le point de coordonnées (x ; y) etM′ celui de coordonnées (

x′ ; y ′ )

; exprimer x′ et y ′ en fonction de x et de y lorsque : M′ = s(M).

c. Déterminer l’image D1 de la droite (BC) par s et en donner une équation cartésienne.

d. Même question pour D′1 image de la droite (BC) par s 2.

3. Soit E l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient

06 x 6 1

2 et 06 y 6

1

2

On note u0 l’aire de E, u1 l’aire de s(E). Plus généralement on note un l’aire de sn (E) pour n entier naturel.

Quelle est l’expression de un en fonction de n et quelle est la nature de la suite (un ) ?

Cette suite converge-t-elle ?

Partie B

On étudiera ici une courbe et des problèmes associés.

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que

f (x)= x + sinπx.

On appelle C la courbe représentative de f dans P.

1. a. Démontrer qu’il existe au moins une translation t dont on précisera le vecteur et telle que t (C )=C .

b. Démontrer que C admet au moins un centre de symétrie.

2. Soit f1 la restriction de f à [0 ; 1]. Soit Γ1 la courbe représentative de f1 dans P.

Étudier le sens de variation de f1 et tracer la courbe Γ1. Préciser les tangentes

à la courbe Γ1 aux points d’abscisses 0, 1

2 et 1.

3. a. Montrer que pour tout x réel on a la double inégalité

(1) x −16 f (x)6 x +1.

b. Quelle est la limite de f quand x tend vers +∞ (respectivement vers −∞).

4. a. Interpréter géométriquement la double inégalité (1).

Toulouse 2 septembre 1985

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Tracer la courbe C ; préciser en particulier les tangentes aux points d’in- tersections de C avec D1 (D1 a été définie au A, 2., c.)

5. a. Calculer l’aire de la partie du plan définie par :

{

0 6 x 6 1 0 6 y 6 f (x)

b. Soit Sn = n

p=1

1

p

[p

n + sin

p

n π

]

.

Déduire du a. la limite de Sn lorsque n tend vers +∞.

Toulouse 3 septembre 1985

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