Travaux pratiques sur la théorie de calcul 4, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Travaux pratiques sur la théorie de calcul 4, Exercices de Théorie de calcul

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Travaux pratiques sur la théorie de calcul 4 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation. Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Lille 1 septembre 1986 \

EXERCICE 1 4 points

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation :

z3− (1− i)z2− (2−2i)z+8= 0

sachant qu’elle admet une solution réelle a.

On notera b et c les deux autres solutions.

2. Soient A, B, C les images respectives, dans le plan rapporté à un repère ortho-

normé (

O, −→ e1 ,

−→ e2

)

, des nombres complexes a, b, c.

Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.

EXERCICE 2 5 points

On considère les suites de réels (un )n∈N définies sur N et vérifiant les deux hypo- thèses : (1) (un )n∈N est une suite à termes strictement positifs,

(2) pour tout n deN, un+1 > un

1+un .

1. Démontrer que la suite (vn)n∈N, définie sur N par vn = 1

n+1 converge vers

zéro et vérifie les deux hypothèses précédentes.

2. a. Soit ϕ la fonction définie sur R+ par :

ϕ(x)= x

1+ x .

Étudier le sens de variation de ϕ.

b. En remarquant que l’hypothèse (2) se traduit par :

Pour tout n ∈N, un+1 >ϕ (un )

démontrer par récurrence que :

Pour tout n ∈N, un > u0

1+nu0 .

3. On rappelle que u0 est un réel strictement positif.

a. Sans calculer l’intégrale ∫n+1

n

u0

1+ xu0 dx, démontrer que :

Pour tout n ∈N, u0

1+nu0 >

n+1

n

u0

1+ xu0 dx.

b. Calculer In = ∫n+1

n

u0

1+ xu0 dx.

c. Calculer I0+ I1+·· ·+ In , c’est-à-dire n

k=0 Ik .

1.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. a. Montrer que lim n→+∞

(

u0+u1+·· ·+u,,n )

=+∞ c’est-à-dire : lim n→+∞

(

n

k=0 Ik

)

=

+∞.

b. Étudier la limite quand n tend vers +∞ de :

1+ 1

2 +·· ·+

1

n +

1

n+1 c’est-à-dire de

n

k=0

1

k+1 .

PROBLÈME 11 points

Dans tout le problème, le plan est rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. (

O, −→ ı

)

est l’axe des abscisses et (

O, −→

)

l’axe des ordonnées.

On note A le point de coordonnées (−1 ; 0) et (Γ) la parabole d’équation y = x2.

Partie A

1. Soit B le point de coordonnées (−1 ; +1) et H, K, deux points de l’axe des abs- cisses. Démontrer l’équivalence :

−−→ BH ·

−−→ BK = 0 ⇐⇒ −BH ·AK=−1.

2. Soit un réel a et soit (D) la droite passant par A et de coefficient directeur a.

a. Former une équation cartésienne de (D) et discuter, suivant la valeur de a, le nombre de points communs à (D) et (Γ).

b. On suppose a tel que (D) coupe (Γ) en deux points M1 et M2. On pro- jette orthogonalement M1 et M2 respectivement en I1 et I2 sur l’axe des abscisses. Démontrer que

AI1 ·AI1 = 1.

3. Soit M un point de (Γ), distinct de O. On projette orthogonalement M en I sur l’axe des abscisses et en J sur l’axe des ordonnées. Démontrer que la droite passant par I et orthogonale à (IJ) coupe l’axe des ordonnées en un point fixe Q (indépendant de la position deM sur (Γ).

4. Soit, sur l’axe des abscisses, un point I dont l’abscisse est distincte de 0 et −1.

a. Déduire de la 3e question une construction géométrique du point M de (Γ) situé sur la perpendiculaire en I à l’axe des abscisses.

b. Déduire ensuite du 1. et du 2. b. une construction géométrique de l’in- tersection M′ de (Γ) avec la droite (AM).

Partie B

1. Soit (C ) la courbe représentative de la fonction f définie sur R+ par :

f (x)= x ( √

4+ x2−2 )

.

Étudier les variations de f et construire (C ). Calculer l’aire du domaine dé- limité par la courbe (C ) et les droites d’équations cartésiennes respectives : y =−2x, x = 0, x = 1.

2. Soit a un réel positif et soit (D) la droite passant par A et de coefficient direc- teur a.

La droite (D) et la parabole (Γ) ont en commun les points M1 (

x1 ; y1 )

et

M2 (

x2 ; y2 )

. On suppose x1 6 x2.

Soit P le point tel que −→ AP =

−−−−−→ M1M2 .

Lille 2 septembre 1986

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Calculer les coordonnées (x ; y) de P en fonction de a.

Montrer que y = f (x+1) où f est la fonction définie au 1.

b. Soit (E ) la courbe décrite par P lorsque le réel a décrit R+. Montrer que (E ) se déduit de (C ) grâce à une transformation simple que l’on préci- sera.

Lille 3 septembre 1986

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