Travaux pratiques sur la théorie de calcul 7, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 avril 2014

Travaux pratiques sur la théorie de calcul 7, Exercices de Théorie de calcul

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Travaux pratiques sur la théorie de calcul 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative de f, la convergence de la suite.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nouvelle-Calédonie \ novembre 1986

EXERCICE 1 4 points

Dans un plan orienté P rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, A et B

sont les points d’affixes respectives 1 et 2i. Pour tout nombre complexe z 6= 2i, on pose :

f (z)= z−1 z−2i

.

1. Lorsque M est un point d’affixe z, autre que A et B, exprimer l’argument de

f (z) à l’aide de l’angle orienté de vecteurs (−−→ MA ,

−−→ MB

)

.

Déterminer et tracer l’ensemble C1 des points différents de A et B, et d’affixe z

telle que π

2 soit une mesure en radians de l’argument de f (z).

2. SoitC2 l’ensemble des points différents de B et d’affixe z telle que f (z) ait pour module 2.

Montrer queC2 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. TracerC2.

3. Soit M0 un point différent de B et d’affixe z0. Donner une condition néces- saire et suffisante sur f (z0) pour que M0 soit commun à C1 et C2. En déduire queC1 etC2 ont un unique point commun dont on précisera les coordonnées cartésiennes.

EXERCICE 2 5 points

f est l’application de [0 ; +∞[ dans R définie par

f (x)= √

x2+4− x p 2 − p 2.

1. Montrer qu’il existe deux réels a et b et une fonction E de [0 ; +∞[ dans R qui tend vers 0 lorsque x tend vers +∞, tels que :

x2+4= ax+b+E (x) pour x positif ou nul.

2. On note Γ la courbe représentative de f dans le plan P rapporté au repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Montrer que Γ dmet une droite asymptote d dont on

précisera une équation.

Préciser la position de Γ par rapport à d .

3. Étudier les variations de f et racer Γ en prenant l’unité de longueur égale à 2 cm.

PROBLÈME 11 points

Pour tout entier n, on note fn l’application de [

0 ; π

2

]

dans R définie par :

{

fn (x) = sin[2(n+1)x]

sinx pour x appartenant à

]

0 ; π

2

]

fn (0) = 2n+2.

Le but du problème est d’établir la convergence de la suite u de terme général :

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

un = ∫ π

2

0 fn (x)dx

et de calculer sa limite.

Partie A

Préliminaires

1. Montrer que fn est continue dans [

0 ; π

2

]

; en déduire que la suite u est bien

définie dansN.

2. Montrer que : un+1−un = 2 (−1)n+1

2n+3 .

(On rappelle que sinp− sinq = 2sin pq2 cos p+q 2 ).

3. Calculer u0,u1 et u2.

Partie B

Le but de cette partie est d’établir la convergence de u.

1. Montrer que :

un = 2 k=n

k=0

(−1)k

2k+1 .

2. Calculer ∫1

0 dx, et

∫1

0 x2k dx, k étant un entier naturel non nul.

En déduire que : un = 2 ∫1

0

1+ (−1)nx2n+2

1+ x2 dx.

3. Etablir

un −2 ∫1

0

1

1+ x2 dx

6 2

2n+3 .

4. En déduire la convergence de la suite u.

Partie C

Le but de cette partie est de calculer l’intégrale J = ∫1

0

1

1+ x2 dx.

Soit ϕ l’application de R dans R définie par

ϕ(x)= 1

1+ x2 .

Soit F la primitive nulle en zéro deϕ ; soitG l’application de ]

π

2 ; π

2

[

dansR définie

par :G(v)= F (tanv).

1. Montrer queG est dérivable et admet une fonction dérivéeG ′ très simple que l’on précisera.

2. En déduireG.

3. En déduire la valeur de J . Quelle est la limite de la suite u ?

Nouvelle-Calédonie 2 novembre 1986

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