Travaux pratiques sur la variable réelle, Exercices de Mathématiques Appliquées

Travaux pratiques sur la variable réelle, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Travaux pratiques de mathématique sur la variable réelle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’aire de la portion de plan, la transformation réciproque.
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[ Baccalauréat C Territoires d’Outre-mer juin 1970 \

EXERCICE 1

Trouver les nombres de deux chiffres qui s’écrivent ab dans la base 10 et ba dans la base 7.

EXERCICE 2

1. Étudier la fonction f , de la variable réelle x, définie pour x 6= −1 par

x 7−→ 2x −1+ 1

x +1 = f (x)= y

Tracer sa courbe représentative (C), dans le plan rapporté à un système d’axes orthonormé x′Ox et y ′Oy .

2. Déterminer l’aire de la portion de plan comprise entre la courbe (C), l’asymp- tote oblique de (C), l’axe x′Ox et la droite parallèle à y ′Oy d’abscisse x = 2.

PROBLÈME

Soit P un plan rapporté à un système d’axes orthonormé x′Ox, y ′Oy . On désigne par P⋆ le plan P privé du point O. À toute application f de C dans C qui, à z = x + iy, x ∈ R, y ∈ R, fait correspondre Z = X + iY , X ∈ R, Y ∈ R, défini par Z = f (z), on associe la transformation T f de P dans P qui, au point m de coordonnées x et y , fait correspondre le point M de coordonnées X et Y .

1. Montrer que la transformation Tg de P⋆ dans P⋆, associée à l’application g définie par

g (z)= a2

z

(a constante réelle positive, z 6= 0) est la composée d’une inversion et d’une symétrie par rapport à Ox. Montrer que cette composition est commutative.

2. Étudier la transformation Th de P dans P associée à l’application h définie par h(z)= iz.

3. On considère la transformation T = Th Tg de P ⋆ dans P⋆. Montrer qu’elle est

la composée d’une inversion et d’une symétrie axiale.

Calculer, en fonction des coordonnées x et y de m, les coordonnées X et Y du point M = Th Tg (m).

Montrer que T admet une transformation réciproque T −1.

Calculer x et y en fonction de X et Y .

4. Quels sont les points doubles de T ?

5. Lorsque m appartient à une droite (D), étudier la nature de l’ensemble des points T (m).

6. On suppose dans cette question que m appartient au cercle (C) d’équation

x2+ y2−2ux −2v y +w = 0

(u, v et w nombres réels donnés).

Quel est l’ensemble transformé de (C) par T ?

Étudier les cercles qui sont invariants par T .

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