Travaux pratiques sur le corps des nombres rationnels, Exercices de Mathématiques Appliquées

Travaux pratiques sur le corps des nombres rationnels, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Travaux pratiques de mathématique sur le corps des nombres rationnels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, le repère.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Maroc juin 1970 \

EXERCICE 1 points

Soit Z l’anneau des entiers relatifs, Q le corps des nombres rationnels.

1. Montrer que la relation

(y ∈Q et 3y2 ∈Z)

implique la relation y ∈Z.

2. Montrer que la relation

(x ∈Z et y ∈Q et x2−3y2 ∈Z)

implique la relation y ∈Z.

3. Montrer que la relation

(x ∈Z et x ≡ 1 mod2)

implique la congruence x2 ≡ 1 mod4.

4. Montrer que la relation

(x ∈Z et y ∈Z et x ≡ 1 mod 2)

implique

x2−3y2 6= 0 mod 4.

EXERCICE 2 points

Dans un plan (P) un repère ( O,

−→ ı ,

−→

) est donné.

À tout point M , de coordonnées (x ; y), on associe le point M ′, de coordonnées( x′ ; y ′) :

{ x′ = 3x−2y, y ′ = 4x−3y.

Déterminer l’ensemble (E) des points M confondus avec leurs images M ′. QuandM n’appartient pas à (E), la droiteMM ′ et (E) ont un point communm. Com-

parer −−−→ mM et

−−−−→ mM ′ ; reconnaître la transformation qui àM associe M ′.

PROBLÈME points

Partie A

Soit R le corps des nombres réels et f l’application de R dans R définie par

f (x)= ex +e−x

2 ,

où e désigne la base des logarithmes népériens.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Déterminer la fonction f ′ dérivée de la fonction f . Soit f ′′ la fonction dérivée seconde de la fonction f .

Montrer que

f ′′ = f .

2. Montrer que la fonction f est paire, c’est-à-dire que

x ∈R, f (x)= f (−x).

Étudier les variations de la fonction f et construire son graphe (C ) dans un repère orthonormé.

Partie B

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy . On suppose connu le graphe

( γ0

) de la fonction

x 7−→ ex

1. Soit (γ) la courbe d’équation y = ex−1 et (γ′) la courbe d’équation y = e−x−1.

Montrer que (γ) et (γ′) se déduisent de ( γ0

) par des transformations ponc-

tuelles simples, que l’on précisera.

Déterminer les graphes de ( γ0

) , (γ) et (γ′) dans le même repère que (C ).

2. Soit P un point de l’axe x′Ox d’abscisse donnéem. Déterminer en fonction de m les équations des droites (∆) et (∆′) respectivement tangentes à (γ) et (γ′) et qui passent par le point P.

Préciser les coordonnées des points de contact T et T′.

Comparer les directions de (∆) et (∆′).

3. Trouver, lorsque m décrit R, l’ensemble des points I milieux de TT′. Montrer que la droite TT′ est tangente à la courbe ensemble des points I.

4. Déduire des résultats précédents une construction géométrique de la tan- gente en un point donné I de la courbe (C ).

Partie C

On considère unmobile dont la trajectoire est la courbe (C ) et dont les coordonnées sont données en fonction du temps par

  

x(t) = t ,

y(t) = et +e−t

2

t ∈ [0 ; +∞[.

Soit M(t) le point de coordonnées x(t) et y(t).

1. Déterminer les composantes scalaires du vecteur vitesse −−−→ V (t) et du vecteur

accélération −→ Γ (t) à l’instant t . Comparer les modules de ces deux vecteurs

avec l’ordonnée du point M(t).

2. La trajectoire est supposée orientée de façon que le vecteur vitesse −−−→ V (t) ait

une mesure algébrique v(t) positive. Soit s(t) la mesure algébrique de l’arc ÜM(0)M(t) de la courbe (C ). On rappelle alors que

ds

dt =

√( dx

dt

)2 +

( dy

dt

)2 .

Soit S(t) l’aire de la surface limitée par (C ), les axes de coordonnées et la pa- rallèle menée par M(t) à y ′Oy .

Évaluer s(t) et S(t) en fonction de t .

Maroc 2 juin 1970

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