Travaux pratiques sur le nombre réel, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Travaux pratiques de mathématique sur le nombre réel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite numérique, la suite définie, les points sans transformé.
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[ Baccalauréat C Nantes septembre 1970 \

EXERCICE 1

EXERCICE 1

1. Déterminer le module et l’argument du nombre complexe

z = 1

i+ tgα

α est un nombre réel différent de π

2 +(k ∈Z).

2. Quel est, dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z lorsque α varie ?

En déduire une construction simple du point A image de

z0 = 1

i+ tg 7π

8

.

EXERCICE 2

On considère la suite numérique déterminée par u1 = 1 et par la formule de récur- rence

un = e a .un−1+b ;

a et b sont des réels (b 6= 0) ; n est un entier naturel non nul ; e est la base des loga- rithmes népériens.

1. Pour quelles valeurs de a et de b la suite est-elle une suite arithmétique ; une suite géométrique ?

Calculer dans chacun des cas qui viennent d’être rencontrés la somme Sn des n premiers termes et la limite de Sn quand n augmente indéfiniment.

2. Les valeurs particulières de a et de b obtenues à la question précédente étant exclues, on considère la suite définie, pour tout entier naturel non nul n, par

vn =un b

1−ea .

Démontrer que cette suite est une suite géométrique.

Calculer vn , puis un .

EXERCICE 3

Dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes Ox et Oy , on considère deux cercles

égaux (C ) et (C ′), de rayon R, tangents en O au support de Oy . (C ) est le cercle si- tué dans le demi-plan des x positifs. À tout point M du plan, on associe le point M ′, quand il existe, intersection des polaires de M par rapport aux deux cercles. On définit ainsi une transformation ponctuelle plane T .

1. Traiter, sans calculer les coordonnées de M ′ en fonction de celles de M , les questions suivantes :

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

a. Quels sont les points sans transformé ?

b. Dans l’ensemble des points du plan, où la transformation T est définie, est-elle bijective ?

c. Reprendre la question précédente dans le plan privé des supports des axes. La transformation Test-elle involutive ?

d. Que peut-on dire du cercle de diamètre MM ′ ?

En déduire que le milieu du segment MM ′ appartient au support de Oy .

e. Quelle est la figure transformée par T d’une droite passant par O ?

2. a. Calculer les coordonnées x′ et y ′ de M ′ en fonction des coordonnées x et y deM .

b. Déterminer, pour chaque valeur deu (nombre réel) l’ensemble des points

M du plan tel que −−−−→ MM ′ soit parallèle au vecteur

−→ V de coordonnées

(+1 ; u) ; démontrer que cet ensemble est composé de droites passant par O.

c. Les pointsm etm′ étant les projections orthogonales deM et deM ′ sur le support deOy , donner pour chaque valeur de k, nombre réel, l’ensemble des points M du plan vérifiantmm′ = k.

d. Établir pour toutm la relation MM ′ · Om =OM2.

3. Un point M décrit la droite (D) d’équation y = 2R.

Ses polaires par rapport à (C ) et à (C ′) coupent (D) respectivement en P et en P ′.

Calculer, en fonction de x, abscisse de M , et de R, la longueur du segment PP ′ et étudier ses variations en fonction de x quand M décrit (D).

Tracer la représentation graphique de cette fonction ; on précisera la forme de la courbe obtenue au voisinage des points pour lesquels est nulle.

N. B. - Il n’est pas nécessaire d’avoir traité une question pour traiter la suivante.

Nantes 2 septembre 1970

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