Travaux pratiques sur le plan complexe, Exercices de Mathématiques Appliquées

Travaux pratiques sur le plan complexe, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Travaux pratiques de mathématique sur le plan complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la transformation ponctuelle, la transformation composée.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Poitiers juin 1970 \

EXERCICE 1

Soit le nombre complexe z = 1+ i p 3.

1. Calculer le module et l’argument de z.

2. Montrer que les images dans le plan complexe, de z, −z, z2 et 2

z sont situées

sur un même cercle.

EXERCICE 2

Soit le nombre a = 2n (

n2+5 )

, où n est un entier aumoins égal à 1. Montrer que a est divisible par 3 et par 4. En déduire qu’il existe au moins un autre entier k tel que, pour tout n > 1, k divise a. Rappeler le théorème utilisé.

PROBLÈME

Dans tout le problème, on supposera le plan (P) rapporté à un repère orthonormé (Ox, Oy). Soit la transformation ponctuelle T(a, λ) qui, à un point m(x ; y) du plan, fait corres- pondre le point M(X ; Y ) dont les coordonnées sont

X = x +a et Y =λy,

a et λ sont réels et λ 6= 0. On désigne par T l’ensemble des transformations T(a, λ).

A.

1. Quelle est, dans le plan (P), la transformation

Ua = T(a, 1)?

Montrer que l’ensemble, U , de ces transformations est un groupe commutatif pour la loi ◦.

2. Quelle est, dans le plan (P), la transformation

= T(0, λ)?

Montrer que l’ensemble V , de ces transformations est un groupe commutatif pour la loi ◦.

3. Montrer que la transformation composée

T(a′, λ′) ◦T(a, λ)

est dans T .

Montrer que T , muni de la loi ◦, est un groupe commutatif. 4. Montrer que T(a, λ) peut être considérée comme la composée d’une transfor-

mation de U et d’une transformation de V .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

B. Soit f la fonction de la variable réelle x telle que

f (x)= xex ,

où e désigne la base des logarithmes népériens.

1. Calculer les dérivées première et seconde de f et en déduire, par récurrence, la dérivée d’ordre n.

2. Étudier les variations de la fonction fn telle que

fn (x)= (x +n)ex ,

n est un entier relatif donné.

Tracer les courbes représentatives, (C−1) , (C0) et (C1) des fonctions f−1, f0 et f1.

3. Calculer

I0(h)= ∫h

0 f0(x)dx et In (h)=

∫−n+h

n fn (x)dx

en fonction de h et établir la relation

(R) In (h)= e−n I0(h).

C. Déterminer a et λ pour que le minimum de (C0) ait pour transformé par T(a, λ) le minimum de (Cn ) et montrer que (C0) est alors transformée en (Cn). Quelle relation existe-t-il entre l’aire d’un domaine plan défini par les relations

α6 x 6β, 06 y 6 g (x),

g est une fonction continue, positive donnée, et l’aire du transformé de ce do- maine par T(a, λ) ? Retrouver ainsi la relation (R).

Poitiers 2 juin 1970

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