Travaux pratiques sur les variations de f , Exercices de Mathématiques Appliquées

Travaux pratiques sur les variations de f , Exercices de Mathématiques Appliquées

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Travaux pratiques de mathématique sur les variations de f . Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des nombres réels, le un nombre fixe donné.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Rennes juin 1970 \

EXERCICE 1

Soit f la fonction qui, à un nombre réel x, fait correspondre le nombre réel (x−3) p x.

1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?

2. Construire dans un plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes

x′Ox, y ′Oy la courbe (C) représentant les variations de f .

3. La droite d’équation y = 1

2 x coupe (C) en O et en A.

Calculer l’aire de la partie du plan limitée par l’arc OA de (C) et la corde OA. [L’unité d’aire est celle du carré qui a pour sommets opposés les points O, (0 ; +1) et (+1 ; 0).]

EXERCICE 2

Résoudre, dans l’ensemble des nombres réels, l’équation

7x+ 4 3 −53x = 2

(

7x+ 1 3 +53x−1

)

EXERCICE 3

1. Un plan P est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit A le point de

P de coordonnées (+2 ; 0). À un nombre réel λ et à un point P de P , on fait correspondre le point M de P , barycentre des trois points O, A et P affectés des coefficients

1

2 pour O,

1

2 −λ pour A et λ pour P.

Exprimer le vecteur −−→ OM en fonction de λ,

−−→ OA et

−−→ OP .

En déduire, entre λ, les coordonnées (u ; v) de P et les coordonnées (x ; y) de M, les relations

(1)

{

x = 1−2λ+λu, y = λv.

2. Dans cette question, λ désigne un nombre fixe donné.

Alors la correspondance introduite ci-dessus définit une application, de P dans P ,

M= (P).

a. Montrer qu’il existe un nombre réel λ0 tel que, si λ est différent de λ0, est une bijection de P sur P .

Étudier le cas particulier de l’application 0 .

b. Existe-t-il un point de P invariant par ?

Siλ 6=λ0, trouver une transformation classique simple donnant de chaque point de P la même image que .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

c. Étudier l’ensemble des points P tels que AM = AP.

Quel est l’ensemble des points M correspondants ?

3. Dans cette question on considère la famille F des transformations obte- nues lorsque λ décrit R− {λ0}. Montrer que, quels que soient les nombres réels λ et λ′ différents deλ0, ′ n’appartient pas à la famille F .

4. Dans cette question, P désigne un point fixe donné de P . La correspondance introduite à la question 1. définit alors une application gP de l’ensemble des réels R dans P .

M= gP(λ)

a. Montrer que l’ensemble des points M= gP(λ) obtenu lorsque λ décrit R est une droiteDP.

b. Soit g⋆P l’application de R dans DP qui, à λ réel, associe le point gP(λ) de DP. L’application g⋆P est-elle bijective ?

5. On considère maintenant l’application de P dans l’ensemble des droites D de P qui associe à P la droiteDP définie dans la question précédente.

Cette application est-elle injective ?

Donner une condition nécessaire et suffisante à laquelle doit satisfaire une droite (D) du plan P pour qu’elle soit l’image d’un point P par cette applica- tion.

6. Dans cette question, à tout nombre réel λ, on associe le point Pλ de coordon- nées (u = λ et v = λ) et le point M défini à la question 1., barycentre de O, A

et Pλ affectés respectivement des coefficients 1

2 , 1

2 −λet λ. Soit h l’application

qui, à tout nombre réel λ, associe de cette manière un point M de P

M= h(λ).

a. Exprimer les coordonnées x et y de M en fonction de λ.

b. Montrer que, lorsque λ décrit R, l’ensemble des points M = h(λ) est in- clus dans la courbe (Γ) d’équation cartésienne

(xy −1)2−4y = 0.

c. Déterminer l’équation cartésienne de la tangente à (Γ) au point M = h(λ). Écrire en particulier les équations des tangentes à (Γ) aux points de (Γ) situés sur les axes du repère Ox, Oy .

d. Reconnaître la courbe (Γ) en déterminant son équation dans un repère dont les axes ont pour supports les bissectrices des droites Ox et Oy .

Construire (Γ) et préciser l’ensemble des points M quand λ décrit R.

Rennes 2 juin 1970

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