Travaux pratiques sur les variations de la fonction, Exercices de Mathématiques Appliquées

Travaux pratiques sur les variations de la fonction, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Travaux pratiques de mathématique sur les variations de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation de l’ensemble I des points M, les nombres réels.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Limoges juin 1970 \

EXERCICE 1

On considère la fonction fm définie pour x réel par

fm(x)= e x mx,

m étant un paramètre réel positif. Soit (Cm) le graphique de fm par rapport à un repère orthonormé.

1. Étudier les variations de la fonction fm ;montrer que, quel que soitm, la courbe (Cm) admet une asymptote, dont on déterminera l’équation.

Déterminer les coordonnées du point M correspondant au minimum de la fonction fm

2. Trouver, quandm varie, l’équationde l’ensemble (Γ) des points M et construire l’ensemble (Γ).

EXERCICE 2

On donne les nombres réels θ et ϕ tels que

0< θ < π

2 et

π

2 <ϕ<π.

On considère les nombres complexes

z1 = cos2θ+ i sin2θ et z2 = cos2ϕ+ i sin2ϕ.

Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexes (1− z1) et (1+ z2) ; en déduire le module et l’argument du nombre complexe

Z = 1− z1 1+ z2

.

EXERCICE 3

Soit un repère orthonormé d’axes Ox, Oy et a un nombre réel donné strictement positif. On désigne par (D) et (D′) les parallèles à Oy menées respectivement par les points A(2a ; 0) et A′(a ; 0). Soit T la transformation ponctuelle qui, au point m(x ; y), fait correspondre le point M(X ; Y ) défini de la façon suivante : si la droite Om coupe (D) en B, M est conjugué harmonique de m par rapport à O et B ; si m est sur Oy , M est symétrique de m par rapport à O.

1. a. Quel est l’ensemble des points du plan n’ayant pas de transformés par T ?

Quelle est la figure transformée d’une droite passant par O ; d’une droite parallèle à (D) ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Montrer que, si x 6= a,

X = ax

x a

Y = ay

x a

Quelles sont les coordonnées de m en fonction de celles de M ?

Déterminer les points invariants dans la transformation.

2. a. Montrer que la figure transformée d’une droite (δ) coupant Oy et (D) respectivement en P et Q est une droite (∆) ; préciser les points où (∆) coupe Oy et (D). En déduire une construction de (∆), connaissant (δ), puis la construction du transformé M d’un point m de (δ).

b. Soit m1,m2 et m3 trois points de (δ) tels que m3 soit lemilieu du segment m1m2 ; soit M1,M2 et M3 leurs transformés sur (∆) ; montrer que le point d’intersection, I, de (∆) et de (D′) est conjugué harmonique de M3 par rapport à M1 et M2.

3. a. En utilisant les relations trouvées dans la question 1. b. écrire l’équation de la conique (Γ) transformée du cercle (C ) de centre O et de rayon R.

b. Exprimer en fonction de x et y le rapport des distances de M à O et à

(D′), soit MO

MH .

En déduire que le point O et la droite (D′) sont respectivement foyer et directrice associée pour la conique (Γ).

c. Construire la courbe (Γ) dans les trois cas particuliers suivants :R = a;R = a

2 ;R = 2a.

4. Soit la parabole (Π) d’équation y2 = 4a(x a).

La construire en déterminant son foyer et sa directrice, puis chercher l’équa- tion de la courbe transformée, (Π′).

Montrer que la tangente en un point m de (Π) et la tangente à (Π′) au point M correspondant ont un point commun sur la droite (D).

Limoges 2 juin 1970

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