4. Sistemi con generazione interna, Appunti di Fisica Tecnica. Università degli Studi di Napoli Federico II
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4. Sistemi con generazione interna, Appunti di Fisica Tecnica. Università degli Studi di Napoli Federico II

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TRASMISSIONE DEL CALORE PER CONDUZIONE IN PRESENZA DI

“GENERAZIONE” INTERNA DI ENERGIA

Appunti a cura del prof. Massimo Dentice d’Accadia

In alcuni sistemi di interesse ingegneristico, può accadere che dell’energia di natura diversa

da quella termica (ad es.: elettrica o chimica) si trasformi in energia termica a causa di fenomeni

(effetto Joule nel passaggio di corrente elettrica attraverso un conduttore, reazioni chimiche

esotermiche,..) che hanno luogo all’interno del sistema in esame: in questi casi si parla

comunemente, anche se impropriamente, di “generazione di energia termica” all’interno del

sistema. Se, infatti, si effettuasse su tale sistema un bilancio di energia riguardante la sola forma

calore, si avrebbe, erroneamente, l’impressione che l’energia termica, derivante dalla

trasformazione di un flusso di energia entrato nel volume di controllo sotto forma diversa, sia di

fatto “generata” all’interno del sistema stesso.

Per un sistema chiuso in quiete, con :

E’ usuale indicare il termine di “generazione” con

il simbolo , ed esprimerlo come integrale della generazione per unità di volume,, sul volume

di controllo che definisce il sistema:

Nel caso che sia uniforme:

(uniforme)

Nel seguito si analizzerà la trasmissione del calore per conduzione in regime stazionario (=0)

in presenza di generazione di energia, per flusso monodimensionale, in simmetria piana e simmetria

cilindrica.

IPOTESI: • regime stazionario;

• flusso monodimensionale;

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• solido omogeneo e isotropo;

• generazione uniformemente distribuita ()

OBIETTIVO:

• determinare il Campo di Temperatura e l’andamento della potenza termica nel

solido.

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SIMMETRIA PIANA

Bilancio sull’intera parete:

Bilancio sul VC individuato dalla faccia 1 e dalla generica superficie isoterma di ascissa x:

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Integrando:

In generale si può scrivere:

L’andamento della T(x) è di tipo parabolico, generalmente con un massimo per un valore di x

compreso tra 0 ed s (ovvero all’interno della parete), come mostrato in figura.

Il piano a x = x(Tmax) = xmax è un piano adiabatico (): l’energia termica “generata” nella parete

viene dispersa in parte verso la faccia 2 ed in parte verso la faccia 1, con valori del flusso termico,

in modulo, progressivamente crescenti man mano che da xmax ci si sposta verso le facce 1 e 2

.

Per conoscere l’andamento della T(x), nonché la e la Tmax, nonché il valore del flusso , è necessario

poter calcolare le “costanti di integrazione” c1 e c2. Per fare ciò occorrono due condizioni al

contorno, come illustrato nel seguito.

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SIMMETRIA PIANA CON GENERAZONE:

POSSIBILI CONDIZIONI AL CONTORNO

Condizioni al contorno del I tipo:

Condizioni al contorno del II tipo:

Condizioni al contorno del III tipo:

Le due condizioni al contorno possono essere di qualsiasi tipo, anche miste ( ad es., una del I e una

del III, etc.), purchè indipendenti tra loro: in particolare, è agevole verificare che 2 condizioni del II

tipo non sono indipendenti e, quindi, non sono sufficienti per la determinazione di c1 e c2, ovvero

di T(x) e .

Un caso particolare di condizione al contorno del II tipo si ha

se c’è sia simmetria geometria che fisica:

se T1=T2 (condizioni del I tipo), oppure = (condizioni del II

tipo), o ancora (condizioni del III tipo), il piano di mezzeria

è necessariamente quello dove la T(x) è massima e è nullo,

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perché l’andamento della T(x) deve essere simmetrico

rispetto a questo piano:

Stante la simmetria, è possibile studiare il campo di temperatura e l’andamento del flusso

termico in una sola metà della parete:

Usando la condizione al contorno:

In generale, la determinazione del piano a temperatura massima, nonché quella del relativo

valore della T, può essere effettuata agevolmente, una volta calcolate le costanti c 1 e c2 e, dunque, le

funzioni T(x) e .

Infatti:

La distanza tra il piano a temperatura massima (piano adiabatico) e la faccia 1 è proporzionale al

flusso che esce dalla medesima faccia.

Analogamente:

che fornisce lo stesso risultato già ottenuto in precedenza, ma in termini di distanza del piano

adiabatico dalla faccia 2.

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QUADRO RIEPILOGATIVO SIMMETRIA PIANA

Possibili condizioni al contorno:

SIMMETRIA CILINDRICA (barra piena)

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Bilancio di energia sull’intera barra:

Bilancio di energia sul generico cilindro di raggio r<re:

Legge di Fourier:

Per la potenza termica che attraversa la generica superficie isoterma di raggio r:

Tale risultato restituisce il bilancio di energia scritto in precedenza.

Per la soluzione del problema, è sufficiente una sola condizione al contorno (c’è una sola

costante di integrazione!). In realtà ciò è dovuto al fatto che, implicitamente, abbiamo già tenuto

conto di una condizione al contorno del II tipo:

L’asse del cilindro deve essere adiabatico, per la simmetria del problema.

ATTENZIONE:

poiché abbiamo già utilizzato una prima condizione del II tipo, la seconda condizione non può essere anch’essa del II tipo in quanto non sarebbe indipendente dalla prima condizione.

QUADRO RIEPILOGATIVO SIMMETRIA CILINDRICA

Possibili condizioni al contorno:

I tipo:

II tipo: III tipo:

N.B. La condizione del II tipo, da sola, è insufficiente per la determinazione della costante c

e quindi del campo di temperatura.

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ESEMPIO 1

Un componente elettronico, schematizzabile come una piastra quadrata di lato pari a 0,500 m e spessore pari a 5,0cm, è attraversato da energia elettrica, e risulta conseguentemente sede di una generazione di energia termica, che si può considerare uniformemente distribuita. Il lato inferiore è praticamente adiabatico, per cui, in condizioni di regime stazionario, l’intera generazione interna viene dispersa attraverso la faccia superiore (le dispersioni attraverso i bordi laterali sono trascurabili). Con riferimento ai dati riportati in figura, si determini:

a) il valore della potenza termica generata internamente; b) la temperatura massima della piastra.

SVOLGIMENTO

Schemi per i bilanci

• ovvero

• ovvero

( con )

Una volta determinato il coefficiente , può essere calcolata dal bilancio sulla superficie 2 ed (e ) dal bilancio complessivo sulla piastra. Per determinare :

CONDIZIONI AL CONTORNO ; (nota)

In questo caso è evidentemente:

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, ,, essendo .

Si ha pertanto: ; Ed infine:

SOLUZIONE NUMERICA Calcolo , convezione naturale, = 37 ° C = 310 K. Fluido: Aria.

( °C ) ( W/m K ) ( 1/K m3 ) ( m) 40 0,02687 0,712 113,723 106 0,500

=4,05 108 W/ m2 K W/ m2 7,6 kW/ m3 95 W 57+2= 59 ° C

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ESEMPIO 2

Per la struttura a simmetria piana schematizzata in figura, molto estesa in altezza e profondità, valutare, nell’ipotesi di regime stazionario:

• la temperatura ; • la temperatura massima nella parete 2-3, sede di generazione interna uniformemente

distribuita.

Schemi per i bilanci

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SUP.1) PARETE.1-2) PARETE.2-3) CAVITA’.3-4) Determinato , si può calcolare e quindi . Con due condizioni al contorno, indipendenti ( e ), si possono calcolare e ; infine, si ottiene dal bilancio in cavità. In particolare:

CONDIZIONI AL CONTORNO

(quest’ultimo risultato si può ottenere anche dal bilancio)

SOLUZIONE NUMERICA Calcolo , convezione naturale, = 30 ° C = 303 K. Fluido: Aria.

( °C ) ( W/m K ) ( 1/K m3 ) ( m) 20 0,0264 0,713 126,47 106 3,0

=4,87 1010 W/ m2 K 1,6 102 W/ m2 =136 ° C =136 ° C 80 ° C/m =132 ° C = 3,2 cm 137 ° C =3,4 102 W/ m2 = 374 K =101 ° C

ESEMPIO 3

Per il sistema schematizzato in figura, determinare: a) la temperatura massima del cavo interno, sede di generazione uniformemente distribuita ; b) l’emittenza della superficie 2, ε2 .

PAGE 3

Schemi per i bilanci.

da cui:

Per determinate :

.

È necessaria una condizione al contorno:

si può determinare dalla legge di Fourier:

A questo punto:

SOLUZIONE NUMERICA: Calcolo , convezione naturale, =, = 60 ° C = 333 K. Fluido: Aria.

( °C ) ( W/m K ) ( 1/K m3 ) ( m) 80 0,02851 0,709 82,517 106 0,260

=8,23 107 W/ m2 K 4,08 kW

109 °C 116 °C

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