Appello analisi 1 con soluzioni, Esami di Analisi I. Politecnico di Bari
Vito.Costanzo
Vito.Costanzo7 settembre 2017

Appello analisi 1 con soluzioni, Esami di Analisi I. Politecnico di Bari

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C.d.L. in Ing. Elettronica, C.d.L. in Ing. delle Telecomunicazioni Corso di laurea in Ingegneria dell’Automazione e Informatica (Corso B)

Esame di Analisi Matematica I A.A. 2006/2007 16/7/2007

(a) Data la funzione

g(x) = log(x2 − 1) + 1 x2 − 1

1. dire se g è limitata;

2. determinare gli eventuali estremi relativi di g.

Soluzione

1. La funzione, definita in ] −∞,−1[∪]1,+∞[, è pari. Le rette x = −1, x = 1 sono asintoti verticali, quindi la funzione non é limitata.

2. I punti x1 = √ 2, x2 = −

√ 2 sono di minimo relativo per g.

(b) Calcolare, se esiste,

lim x→0

tanx− sinx x3

.

Soluzione Il limite cercato vale 12 .

(c) Dire se le funzioni

f1(x) = 1− x sin 1 x

f2(x) = arctan 1

x− 2 sono prolungabili con continuitá.

Soluzione La f1 é prolungabile con continuitá in 0, la f2 non é prolungabile in 2.

(d) Determinare, se esiste, la derivata prima della funzione

G(x) =

∫ log(x+1) 2

t−2 t+3 dt

x− 3 .

Soluzione La funzione é derivabile per noti teoremi nel suo insieme di definizione ]− 1 + 1 e3

,+∞[\{3}.

(e) Calcolare il seguente integrale indefinito:∫ x

(x− 1)(x + 1)2 dx +

∫ x

ex dx.

Soluzione 14 log |x− 1| − 1 4 log |x + 1| −

1 2

1 x+1 − e

−xx− e−x + c, c ∈ R.

(f) Risolvere in C l’equazione 2z = |z|+ 2i.

Soluzione z = 1√ 3 + i.

(g) Sia f una funzione definita in un intervallo I di R, derivabile due volte in I e tre volte in x0 ∈ I. Se f ′(x0) = f ′′(x0) = 0 e f ′′′(x0) < 0, dimostrare che f é strettamente decrescente in un intorno di x0.

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