Appunti di Fisica, Fluidi, Appunti di Fisica

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La densità è come la massa per unità di volume Le dimensioni sono Nel SI si misura in kg m , mentre nel sistema cgs si misura in g cm PRESSIONE Un fluido esercita una pressione p sulle pareti del recipiente e sugli oggetti immersi in esso. La pressione è definita come la componente della forza F esercitata dal fluido perpendicolarmente ad una superficie A, normalizzata alla superficie, ovvero Siccome consideriamo una componente della forza, la pressione è una grandezza scalare. Le sue dimensioni sono Nel SI si misura in N = Pa (Pascal) Siccome la pressione ha le dimensioni di Energia/Volume, abbiamo che La pressione tipicamente si misura usando un manometro. ' ' % , i. ' i m f- j [ML-3 ] - 3 -3 . F p = _ A [MLT -2 L -2] = [ML - 'T -2] m - 2 1Pa = 1 -51ms La pressione idrostatica può essere usata per costruire semplici dispositivi per la misurazione della pressione. Manometro (o barometro) di Torricelli Si usa per misurare la pressione atmosferica L’equilibrio si ha quando la pressione della colonna di mercurio uguaglia la pressione atmosferica che è presente sulla superficie del mercurio In media, a livello del mare, si ha che corrispondono a una colonna di mercurio alta circa 760 mm. Con il barometro di Torricelli, ricaviamo la misura della pressione a partire da una misura di lunghezza. Manometro a tubo aperto (“manometro ad U”): Si usa per misurare la pressione relativamente alla pressione atmosferica Manometri a pressione idrostatica APPLICAZIONE PRESSA IDRAULICA La pressione sulla superficie «piccola» a è identica alla pressione sulla superficie «grande» poiché entrambe le superfici si trovano alla stessa altezza: Pertanto applicando una forza «piccola» f riusciamo ad ottenere una forza «grande» Si ha quindi un guadagno pari al rapporto MARTINETTO IDRAULICO Notare che il lavoro fatto sul liquido dalla forza , ovvero Notare che il lavoro fatto sul liquido dalla forza , ovvero I 1 . P Hg g ti Hg = Papa= 1013hPa l'equilibrio implica paio gh Ha = pa = pag gh Hg , quindi la colonna d'acqua è alta 13579 Kg /m} 4 H ,o = P-hgpH.co l' Hg =_ 0.760m ≈ 1am 1000kg /m 3 2 . f F p = a- = - a A F = a- g » f Ala F. L = F , DX 1 Fa L= Fa DX 2 Infatti ti Fa DX , =p A, DX1 =p DV =p Ai D ✗ < = Fa DX , poiché il liquido è incomprensibile Unità di misura della pressione Nel SI la pressione si misura in Pa (pascal) Però nella pratica vengono spesso usate altre unità di misura: bar: 1 bar = 10 Pa (è all’incirca la pressione atmosferica a livello del mare) atm: 1 atm = 1.013 10 Pa = 1.013 bar = 1013 mbar (è la pressione atmosferica a livello del mare) mmHg (o torr): 760 mmHg = 1 atm = 1013 mbar (è la pressione esercitata da una colonna di mercurio alta 1 mm) Il fattore di conversione fra mmHg e Pa è: La pressione idrostatica gioca un ruolo non trascurabile anche nei sistemi biologici. Supponiamo di aver misurato la pressione del sangue all’altezza del cuore e che questa sia Se assumiamo che la densità del sangue sia pari a quella dell’acqua, si vede che la pressione a livello del capo è ATMOSFERA ISOTERMA Supponiamo che l’atmosfera sia un fluido isotermo (cioè a temperatura costante). In questo caso vale la legge di Boyle per cui p V = costante Siccome la densità è inversamente proporzionale al volume Possiamo scrivere Dette la pressione e la densità dell’atmosfera a livello del mare, abbiamo e quindi l’equazione che governa la variazione della pressione con l’altezza y diventa Integrando dal livello del mare (y= 0) all’altezza y otteniamo Esponenziando otteniamo ◦ 5 a 5 a 1. 013 - 105 1 mmHg = zg, Pa ≈ 133 Pa Penare = 100 mmHg 1 Pcapo = Penare - pgh = 100 - 1000 + 9.8 " 0.5 × - ≈ 63 mmHg 133 mentre a livello dei piedi e ' 1 Ppiedi = Penare + pg h = 100 + 1000 ' 9.8 + 1.2 × - 133 ≈ 189 mmHg (pa 'Iv ) Plp costante po po p po 5 = =p ⇒ p = E po P ¥ = - pg ⇒ È = - E pg ⇒ ÷ = - E gdy po Po %? = - ÷ , s " ◦ dy ⇒ In po = - p ? gy f- po e- È gy Spinta idrostatica Si considera una porzione di fluido in quiete, ovvero in una condizione di equilibrio. La risultante di tutte le forze applicate è quindi zero. Le forze dovute alla pressione agiscono in direzione normale rispetto alla superficie e come effetto netto producono una forza risultante detta spinta idrostatica (o spinta di Archimede) che è diretta verso l’alto ed equilibra esattamente la forza peso dell’elemento di fluido considerato dove È la densità del fluido, v è il volume dell’elemento considerato. Quindi l’intensità della spinta idrostatica è Ora supponiamo di sostituire all’elemento di fluido un corpo omogeneo con la stessa forma. Non ci sono cambiamenti nelle forze dovute alla pressione esercitata dal fluido sull’oggetto, perché quest’ultimo ha la stessa forma dell’elemento prima considerato. Quindi, il fluido circostante continua ad esercitare una spinta idrostatica verso l’alto di intensità La forza peso, diretta verso il basso, ha un’intensità Pertanto la forza risultante è Se il corpo affonda (la forza è diretta come il peso). Se il corpo sale (la forza è diretta in direzione opposta al peso). Nell’ enunciazione tradizionale un corpo immerso in un liquido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del liquido spostato. Consideriamo ora un oggetto parzialmente sommerso In questo caso chiaramente abbiamo La spinta di Archimede è relativa solo al volume sommerso ed equilibra esattamente la forza peso dell’oggetto Quindi avremo È ÈG = mai = po VI Fa = po Vg Fa = po V8 Fg =p Vg F = ( p - po ) Vg p > po p < po pe po Vs : Fa = po Vsg Fg = pvg pvg = po Vsg ⇒ È = EQUAZIONE DI CONTINUITÀ In un flusso stazionario non ci possono essere punti in cui il fluido si accumuli; pertanto se una certa quantità di fluido entra in un tubo di flusso, altrettanta ne deve uscire. La quantità di fluido che transita attraverso l’area nel tempo Analogamente, la quantità di fluido che transita attraverso Pertanto dovremmo avere ESEMPIO Equazione di continuità Il cuore immette il sangue nell’aorta, che ha un raggio interno di 1.0 cm. L’aorta alimenta 32 arterie principali di raggio interno di 0.21cm. Se il sangue nell’aorta si muove alla velocità di 28 cm/s, con quale velocità media viaggia nelle arterie principali? Applichiamo l’equazione di continuità, supponendo che la densità del sangue sia costante. A , Dt è poiAiuta D , è pa Az V2 At Pi An V1 = pz A cui (equazione di continuità se il fluido è incomprimibile (pp = pa ) , la relazione diventa Ai V1 = A, V2 la portata volumetrica dell'orto è Qaovta = A- aorta Vaorta = Ir ' aorta ✓ aorta la portata volumetrica di ogni arteria principale è Qarteria= A arteria V arteria = IT v2arteria ✓arteria l' equazione di continuità implica Qaarta = 32 fanteria da cui otteniamo v2aorta V arteria = ✓aorta ≈ 20 cm /S 32 v2arteria TEOREMA DI BERNOULLI Il cosiddetto «teorema di Bernoulli» esprime la conservazione dell’energia nel caso di un fluido non viscoso in moto laminare e stazionario Consideriamo un tubo di flusso e il movimento del fluido nel tempo . Ogni elemento di fluido si sposta lungo il tubo ma l’effetto netto è come se si fosse spostata una massa m da un capo all’altro. Poiché il flusso è stazionario, vale l’equazione di continuità e quindi Per un fluido incompressibile la densità p è costante; pertanto possiamo riscrivere il teorema di Bernoulli in questo caso come La pressione in un fluido statico aumenta con la profondità: il teorema di Bernoulli generalizza la legge di Stevino al caso di fluido in movimento. Dal teorema di Bernoulli è semplice ricavare la legge di Stevino. Il fluido è in quiete e quindi per il teorema di Bernoulli abbiamo : At m=p, Anu , At =p2A , va Dt ⇒ m= pian Axn = padre DX 2 m il lavoro fatto dalle forze di pressione e ' tipi Anbu - pa Arbia =p,}, -pipa la variazione di energia potenziale è DU = mg (ya - ya ) = mgy , - mg , mentre la variazione di energia cinetica è DK = ! mv? - { mv ? dal principio di conservazione dell' energia si ha G- DK + DU pertanto pija - pa}, = ! mv : - È m? + mgy , - mg , p v2 ovvero p§ + ! mv' + mgv = costante ⇒ gg + -2g + y = costante Tutti e 3 i termini hanno le dimensioni di L : p • Fg è detta altezza piezometrica V2 • -2g è detta altezza di arresto • y è l'altezza del fluido pv ' pt 2- + ypg = costante pe =[ + y , pg=p≥ -1 + Yapg da cui segue la legge di Stevino pr =pe + pg ( y, - ya ) = pe + pgh TEOREMA DI TORRICELLI Un’altra applicazione del teorema di Bernoulli è la legge di Torricelli che afferma che la velocità di un liquido in uscita a profondità h è la stessa che se il liquido cadesse da una quota h, ovvero Dal teorema di Bernoulli abbiamo Poiché lo zampillo è piccolo, la superficie a è praticamente ferma, quindi v = 0. Inoltre la pressione in a e in b è la stessa (ovvero la pressione atmosferica). Pertanto Applicazioni Consideriamo un flusso di un fluido incomprensibile in un condotto orizzontale. Poichè il condotto è piano l’equazione di Bernoulli si riduce ai soli due termini che contengono la velocità e la pressione: Quindi laddove la pressione è minore la velocità è maggiore. Poichè vale anche l’equazione di continuità Si ha che se Stenosi Aneurisma V = 2g h ' pv: pub Pat a- + yapg = Pb + a- + ybpg a poi -1 P + yapg = pt +[ + yspg ⇒ v5 = 2g (ya - yb) p -1£ pv2 = costante Q = Su = cost 5 , < 51 allora V2 > V1 e Pa < pi Pe + È pv? =p , -1 ! pv ! Se sa < S, allora V2 > v1 e pz < poi Per effetto del teorema di Bernoulli la stenosi tende a peggiorare 1 f pi + è pv } = pztj pv? Se Sa > 51 allora V2 < v1 e pz > pi Per effetto del teorema di Bernoulli l'aneurisma tende a peggiorare Per molti fluidi vale la legge di Newton Dove n è chiamata viscosità dinamica. Nel sistema internazionale s misura in: Nel sistema CGS si misura in: I fluidi che seguono la legge (lineare) di Newton sono noti come fluidi Newtoniani (acqua, aria e gas in genre sono fluidi essenzialmente newtoniani). Fluidi come il sangue sono più complessi e in certe condizioni (es. piccoli vasi) non seguono la legge di Newton. La viscosità dipende fortemente dalla temperatura: Nei gas aumenta con L’aumentare della temperatura per effetto dell’aumento del moto delle molecole Nei liquidi diminuisce con l’aumentare della temperatura (in quanto le forze di attrazione intermolecolari decrescono con il crescere di T) In molti casi la viscosità dell’aria (essendo molto piccola) può essere trascurata. Il fluido ideale ha n = 0. Un fluidico ideale scorre in un tubo cilindrico. Nel caso di un fluido ideale la velocità in un tubo cilindrico orizzontale con diametro costante la velocità è identica in ogni punto. Tutte le molecole viaggiano alla stessa velocità. Non vi sono variazioni di velocità, altezza e quindi, per il teorema di Bernoulli, non vi sono variazioni di pressione tra i capi del condotto. Per un fluido incomprensibile ma viscoso a contato con le pareti la velocità deve essere zero. Di conseguenza sarà massima al centro de tubo. Le molecole viaggiano a velocità diverse. Per poter vincere la resistenza dovuta alla viscosità ai capi del tubo ci deve essere una differenza di pressione La differenza di pressione è proporzionale alla forza viscosa e quindi alla velocità media del fluido v e alla lunghezza del tubo l e quindi: du t -- n Tdg [ ti ] = [ ML _ ' t - i] Pa . S = kg . m - 1 . s -1 g. cm -1 . S _ ' = paise 1 poise = a. 1 Pa . S ; ma T ' Dp = pi - Pz → Dp a ÙI Si osserva inoltre che : t' = È Vmax Caduta di pressione dovuta alla viscosità Tubo orizzontale Fluido viscoso Lavoro per vincere le forze d viscosità, l’energia meccanica non si conserva Caduta di pressione La velocità media e quindi la portata sono proporzionali al gradiente di pressione: La velocità media è sicuramente: Inversamente proporzionale a qualche potenza della viscosità Direttamente proporzionale a qualche potenza del raggio del tubo r Si potrebbe ipotizzare una relazione del tipo: Dove b è una costante adimensionale e le potenze a e b sono da determinare. LEGGE DI HAGEN - POISEUILLE Valida nel caso di flusso laminare La portata aumenta: All’aumentare della differenza di pressione All’aumentare del raggio del tubo La portata diminuisce: All’aumentare della viscosità Se il condotto ha una lunghezza maggiore Esempio: Una cardiologa riferisce al suo paziente che il raggio dell’arteria discendente anteriore sinistra del cuore è diminuito del 10%. Quale aumento percentuale nella caduta di pressione del sangue ai capi dell’arteria è necessario per mantenere il normale flusso di sangue attraverso l’arteria stessa? Per mantenere il normale flusso sanguigno dobbiamo avere : : Ap Dpaìl ⇒ Ìx ⇒ a = ÌA a -1 : Apra i > = 137¥, ⇒ a-- IA - BT-n.it" Apitr " Q -_ ÌA ' 8h1 ① : ① : DK it Dpnr! It Dpzr ! Qi = Qr ⇒ & = DI ⇒ snl, = 8h12 Siccome 11=12 , questa equazione implica Aper! =Dpari ; pertanto Dpi Dpi (È / " = Api ({g) " ≈ Api ✗ 1.52