Scarica Aspettative razionali e più Guide, Progetti e Ricerche in PDF di Macroeconomia Avanzata solo su Docsity! Macroeconomia III Appunti (2) su: Aspettative razionali e Nuova Macroeconomia Classica (F. Bagliano, 2006) La spiegazione della relazione fra disoccupazione e in‡azione nel breve e nel lungo periodo proposta da Friedman e Phelps e centrata intorno al concetto di tas- so naturale di disoccupazione attribuisce un ruolo essenziale alle aspettative degli operatori economici. Tuttavia, il processo di formazione di tali aspettative è di tipo essenzialmente “adattivo”: gli agenti (in particolare i lavoratori) formano le proprie aspettative sul livello dei prezzi e quindi sul salario reale guardando prin- cipalmente all’esperienza passata e “correggendo” gradualmente eventuali errori di previsione. Conseguenza immediata di un tale comportamento è la possibilità di prolungati periodi in cui vengono commessi errori di previsione sistematici, con sopravvalutazioni o sottovalutazioni del livello dei prezzi ripetute nel tempo. A partire dagli anni ’70, si a¤erma l’utilizzo nei modelli macroeconomici di un’ipotesi più soddisfacente (e coerente con il grado di razionalità attribuito agli operatori economici in altri ambiti, come la massimizzazione del pro…tto o del- l’utilità) sulle modalità di formazione delle aspettative, nota con il nome di “as- pettative razionali” (rational expectations). Tale ipotesi, introdotta in modelli dell’economia che possiedono un livello “naturale” di attività, ha avuto importan- ti conseguenze sulla teoria del ciclo economico e rilevanti implicazioni di politica economica. In questi appunti si illustra il concetto mediante un confronto con l’ipotesi di aspettative adattive per poi analizzare alcuni modelli macroeconomici del ciclo che utilizzano tale ipotesi, proposti dalla cosiddetta “nuova macroecono- mia classica” (new classical macroeconomics) associata ai nomi di R. Lucas, T. Sargent, N. Wallace e R. Barro. 1. Aspettative adattive e aspettative razionali: un confron- to La valutazione dell’andamento futuro di alcune variabili economiche da parte degli agenti (consumatori, imprese, lavoratori, investitori) è elemento essenziale in molte teorie economiche (riguardanti ad esempio consumo, investimento, o¤erta di lavoro, scelte …nanziarie). Il meccanismo speci…co secondo cui tali aspettative vengono formulate è stato oggetto di diverse ipotesi, fra cui quella di aspetta- tive adattive (implicita nel modello di funzionamento del mercato del lavoro di Friedman-Phelps) esempli…cata dalla seguente equazione: pet; t+1 = p e t¡1; t + ¸ (pt ¡ pet¡1; t) 0 < ¸ < 1 (1.1) dove pet; t+1 è l’aspettativa di pt+1 (ad esempio il logaritmo del livello generale dei prezzi) formulata al tempo t. Il valore atteso di p per il periodo successivo viene modi…cato fra t e t+1 per una frazione ¸ dell’errore di previsione veri…catosi in t, pt ¡ pet¡1; t. Tale meccanismo di formazione delle aspettative genera la possibilità di errori “sistematici” di previsione. L’ipotesi alternativa di aspettative razionali si è sviluppata prooprio per evitare l’assunzione che gli agenti possano sistemati- camente compiere tali errori di previsione senza modi…care il meccanismo stesso di formazione delle aspettative descritto dalla (1.1). Secondo l’ipotesi di aspettative razionali abbiamo: pet; t+1 = E(pt+1 j t) ´ Etpt+1 (1.2) dove Et denota il valore atteso (nel senso di mathematical expectation) di pt+1 condizionale all’insieme di informazione disponibile per gli agenti al tempo t, t. Caratteristica essenziale delle aspettative razionali è che l’errore di previsione (o “sorpresa”) al tempo t+ 1 ha valore atteso al tempo t pari a 0: Et (pt+1 ¡Etpt+1) = 0 Nei modelli che utilizzano l’ipotesi di aspettative razionali assume notevole im- portanza la de…nizione dell’insieme di informazioni t: solitamente in t sono compresi i valori passati e correnti (al tempo t) di tutte le variabili oltre che la struttura dell’economia, racchiusa nelle equazioni che compongono il modello. Le aspettative formate “razionalmente” sono quindi coerenti con la struttura del modello economico che descrive l’economia, “come se” gli agenti utilizzassero l’in- sieme di equazioni del modello nel processo di formazione delle aspettative sulle variabili endogene determinate dalla soluzione del modello stesso. 2 Non compare qui nessuna variabile datata t ¡ i (i = 1; :::): il livello corrente dei prezzi è interamente determinato dal valore corrente di m (osservato dagli agenti, per cui Etmt = mt) e dai valori futuri di mt+i (i = 1; :::) attesi al tempo t. Ogni informazione utile a prevedere l’andamento futuro di m (e che sia disponibile per gli agenti al tempo t) ha un immediato e¤etto sul livello corrente dei prezzi. In questo senso la soluzione del modello con aspettative razionali è forward-looking mentre quella con aspettative adattive nella (1.8) è backward-looking. 1.3. Esempi Basandoci sulla (1.8) e sulla (1.12) possiamo ora studiare il comportamento del livello dei prezzi in risposta a variazioni della quantità di moneta m, esaminando alcuni casi tipici: (i) un aumento permanente al tempo t1 da ¹m a ¹m+ k; (ii) un aumento temporaneo della stessa entità dal tempo t1 al tempo t2; (iii) un aumento temporaneo (come nel caso precedente) ma già annunciato al tempo t0: Aumento permanente di m (Figura 1). La quantità di moneta, da sempre …ssa al livello ¹m, viene permanentemente aumentata a ¹m + k al tempo t1. Con aspettative adattive, …no a t1 ¡ 1 il livello dei prezzi è pari a ¹m; al tempo t1, il livello dei prezzi aumenta poiché è aumentato il livello corrente dim e, dalla (1.8), raggiunge il valore: pt1 = 1 1 + ®(1¡ ¸)k + ¹m (1.13) Dopo t1 il livello dei prezzi continua gradualmente a salire seguendo la (1.8) con mt = ¹m + k per t > t1 …no a raggiungere asintoticamente il nuovo livello stazionario ¹m+k. Con aspettative razionali, invece, secondo la (1.12), p raggiunge immediatamente il nuovo livello stazionario. 5 Figura 1: Aumento permanente di m. Aumento temporaneo di m (Figura 2). In questo caso la quantità di moneta è pari a ¹m …no a t1¡1, aumenta a ¹m+k solo da t1a t2¡ 1 e ritorna al precedente livello ¹m al tempo t2. Con aspettative adattive abbiamo l’andamento di p descritto nella …gura 2(a). L’aumento del livello dei prezzi è nuovamente dato dalla (1.13): infatti, poiché gli agenti non considerano il futuro andamento dim nel formulare le proprie aspettative su p, non vi è nessuna di¤erenza nella risposta di p ad aumenti permanenti e temporanei di m. Con aspettative razionali, invece, la risposta di p al tempo t1 è diversa dal caso di aumento permanente della quantità di moneta (…gura 2(b)). L’aumento di p al tempo t1 in risposta al mutato sentiero temporale di m è calcolabile utilizzando la (1.12) valutata in t1: pt1 = " 1¡ µ ® 1 + ® ¶t2¡t1# k + ¹m (1.14) Successivamente, fra t1 e t2, il livello dei prezzi diminuisce gradualmente …no a raggiungere di nuovo il valore iniziale pari a ¹m esattamente al tempo t2. E’ importante notare come, con aspetattive razionali, il livello dei prezzi mostri salti “discreti” solo quando si veri…cano eventi non previsti un periodo prima. E’ questo il caso dell’aumento di m al tempo t1; invece, la successiva diminuzione di m al tempo t2 è già contenuta nelle previsioni al tempo t1 e non determina infatti alcun nuovo aggiustamento discreto del livello dei prezzi. 6 Figura 2: Aumento temporaneo di m. (a) aspettative adattive; (b) aspettative razionali. Aumento temporaneo annunciato di m (Figura 3). L’aumento della quantità di moneta è identico al caso precedente, ma ora l’aumento temporaneo di m viene annunciato agli agenti in anticipo, al tempo t0. Si tratta quindi di un aumento temporaneo di m previsto sulla base dell’annuncio (credibile) delle autorità. Nel- l’ipotesi di aspettative adattive (…g. 3(a)), l’andamento del livello dei prezzi non subisce variazioni rispetto al caso precedente: l’annuncio di un evento futuro non modi…ca le aspettative degli agenti e quindi non ha alcun ri‡esso su p. Invece, nel caso di aspettative razionali (…g. 3(b)), gli agenti, nel formulare le proprie aspettative al tempo t0, tengono conto dell’annuncio di un aumento futuro di m. Applicando la (1.12) con m = ¹m + k fra t1 e t2, possiamo calcolare il livello dei prezzi in t0, cioè al momento dell’annuncio: pt0 = µ ® 1 + ® ¶t1¡t0 " 1¡ µ ® 1 + ® ¶t2¡t1# k + ¹m (1.15) Da notare: (i) l’unico salto “discreto” di p si veri…ca al momento dell’annuncio t0 (è proprio l’annuncio, infatti, l’unica “sorpresa” per gli agenti: tutto quanto 7 2. Informazione imperfetta e ciclo economico: il modello di Lucas (1973) L’ipotesi di aspettative razionali, eliminando la possibilità di errori di previsione sistematici da parte degli agenti economici, è stata ritenuta più soddisfacente anche da un punto di vista teorico ed è stata introdotta in numerosi modelli macroeconomici tesi a spiegare il meccanismo alla base delle ‡uttuazioni cicliche e in particolare la correlazione positiva fra variabili nominali (ad esempio aggregati monetari) e reali (output, occupazione). Uno dei primi modelli del ciclo economico che fa uso dell’ipotesi di aspettative razionali e attribuisce la correlazione fra vari- abili nominali e reali ad imperfezioni informative (diverse da quelle ipotizzate da M. Friedman) è dovuto a R. Lucas (Journal of Economic Theory 1972, American Economic Review 1973). L’economia (ideale) descritta dal modello di Lucas è composta da un elevato numero di mercati geogra…camente dispersi, in cui i produttori decidono la quan- tità da o¤rire in ogni periodo sulla base del confronto fra il prezzo del bene sul mercato locale in cui operano ed il livello generale dei prezzi in tutta l’economia.1 Solo un aumento del prezzo “locale” relativamente al livello generale dei prezzi spinge i produttori ad aumentare la produzione. In questa economia vi sono due fonti di disturbi stocastici, entrambe dal lato della domanda: da un lato uno shock aggregato, che colpisce in ugual misura tutti i mercati; dall’altro, uno shock di domanda locale colpisce ogni singolo mercato. Solo i disturbi di tipo aggregato hanno e¤etto sul livello generale dei prezzi, mentre il prezzo che si forma su ogni mercato locale risente non solo dei disturbi aggregati ma anche dello speci…co shock locale di domanda. Se i produttori su ciascun mercato potessero sempre osservare sia il prezzo sul proprio mercato sia il livello generale dei prezzi, essi reagirebbero soltanto alla di¤erenza fra i due livelli di prezzo (il prezzo “relativo”), che a sua volta segnalerebbe in maniera chiara il veri…carsi di shock alla domanda locale del prodotto. Il modello di Lucas è invece costruito sull’ipotesi essenziale che i produttori dispongano di informazione imperfetta sull’andamento dei prezzi: in particolare essi osservano il prezzo del bene sul proprio mercato ma non il livello generale dei prezzi nell’economia. Le decisioni di produzione dipendono quindi dalla dif- ferenza fra il prezzo osservato localmente e il livello generale dei prezzi atteso 1L’interpretazione dell’economia come composta da tanti mercati separati giusti…ca la denominazione di “modello delle isole di Lucas” spesso utilizzata in letteratura. 10 (razionalmente) dai produttori sulla base delle informazioni (incomplete) a loro disposizione. Questa idea si presta ad una semplice formalizzazione (che segue la versione del modello in Lucas 1973). 2.1. La struttura del modello Ciascuno degli N mercati in cui è divisa l’economia opera in condizioni di con- correnza perfetta; su ciascun mercato il prezzo “locale”, perfettamente ‡essibile, porta in equilibrio domanda ed o¤erta in ogni periodo (ipotesi dimarket-clearing). Tale prezzo, sul mercato z, è indicato da pt(z).2 La quantità di prodotto o¤erta su ciascun mercato z, yt(z), è descritta dalla seguente funzione di o¤erta “locale” yt(z) = yn t + ° (pt(z)¡ E(pt j It(z))) ° > 0 (2.1) dove yn t rappresenta il livello “naturale” di produzione (uguale per tutti i mercati e determinato da fattori di lungo periodo come l’accumulazione di capitale e la crescita della popolazione) e il parametro ° ri‡ette le proprietà, anch’esse uguali in tutti i mercati, della tecnologia e dell’o¤erta di lavoro sul mercato locale (da qui la sua natura “strutturale”). I produttori o¤rono una quantità di output maggiore di yn t se il prezzo osservato localmente è maggiore del livello generale dei prezzi pt atteso dai produttori locali sulla base dell’insieme di informazioni a loro disposizione, It(z). Tali informazioni comprendono il valore osservato del prezzo locale pt(z) e le caratteristiche delle distribuzioni di probabilità di pt e pt(z). In particolare ipotizziamo che: pt = ¹pt + vt con vt » N(0; ¾2) (2.2) pt(z) = pt + zt = ¹pt + vt + zt con zt » N(0; ¿2) (2.3) Il livello generale dei prezzi pt è distribuito normalmente intorno ad una media ¹pt (perfettamente conosciuta dai produttori locali); vt denota il disturbo aggregato di domanda, con media nulla e varianza ¾2 (anch’essa conosciuta dai produttori). Il prezzo locale è la somma di pt e del disturbo locale di domanda zt (con media zero, varianza ¿ 2, e con la proprietà che la somma di tutti gli shock locali è pari a zero, PN 1 zt = 0, e quindi non in‡uenza il livello generale del prezzo; inoltre, non 2Nella formalizzazione descritta, lettere minuscole denotano il logaritmo della corrispondente variabile: ad esempio pt(z) ´ logPt(z). 11 vi è correlazione fra vt e zt). La distribuzione di pt(z) è quindi normale intorno a ¹pt e ha varianza ¾2 + ¿2. Per decidere l’o¤erta ottimale, i produttori locali utilizzano razionalmente le informazioni riguardanti la distribuzione di pt nella (2.2) e l’osservazione del prezzo locale pt(z) per formarsi un’aspettativa del livello generale dei prezzi. Tale aspettativa è razionale nel senso che è calcolata come valore atteso (mathematical expectation) di pt condizionale a pt(z) e alle proprietà delle distribuzioni: E(pt j pt(z)). Date le proprietà nella (2.2) e nella (2.3) le due variabili hanno la seguente distribuzione congiunta normale:µ pt pt(z) ¶ » N ·µ ¹pt ¹pt ¶ ; µ ¾2 ¾2 ¾2 ¾2 + ¿ 2 ¶¸ (2.4) dove la matrice raccoglie le varianze e la covarianza dei prezzi pt e pt(z). Data la distribuzione congiunta in (2.4) possiamo calcolare il valore atteso condizionale come:3 E(pt j pt(z)) = ¹pt + ¾ 2 ¾2 + ¿ 2 (pt(z)¡ ¹pt) = ¿ 2 ¾2 + ¿2 ¹pt + ¾2 ¾2 + ¿ 2 pt(z) ´ µ ¹pt + (1¡ µ) pt(z) (2.5) dove µ ´ ¿2 ¾2+¿2 . Il valore atteso dai produttori locali utilizza in modo ottimale l’informazione contenuta nel prezzo locale per inferire il livello generale dei prezzi pt. Il “peso” attribuito al prezzo locale nella formazione dell’aspettativa è dato da 1 ¡ µ ´ ¾2 ¾2+¿2 e dipende negativamente dalla varianza dello shock locale ¿ 2 e positivamente dalla varianza del disturbo aggregato ¾2. Intuitivamente, se lo shock aggregato ha varianza elevata rispetto al disturbo locale, il prezzo locale 3Nella derivazione della (2.5) si è utilizzata la seguente proprietà della distribuzione normale congiunta di due generiche variabili casuali x e y:µ x y ¶ » N ·µ ¹x ¹y ¶ ; µ ¾2x ¾xy ¾xy ¾ 2 y ¶¸ La distribuzione di x condizionato a y è ancora normale con media e varianza date da: x j y » N " ¹x+ ¾xy ¾2y (y ¡ ¹y) ; ¾2x ¡ (¾xy) 2 ¾2y # 12 l’espressione …nale per il livello dei prezzi di equilibrio: pt = E(mt)¡ yn t| {z } ¹pt + 1 1 + ° µ (mt ¡ E(mt))| {z } vt (2.11) La (2.11) permette di dare un contenuto economico alle deviazioni di pt dalla sua media ¹pt: esse sono determinate dalla componente inattesa della moneta (o domanda nominale), mt¡E(mt). In…ne, utilizzando la (2.10) e la (2.9) nell’o¤erta aggregata (2.7) otteniamo il livello di output di equilibrio: yt = yn t + ° µ 1 + ° µ (mt ¡E(mt)) (2.12) da cui si vede come solo la componente inattesa della domanda aggregata in‡uenza l’output, mentre la componente perfettamente prevista, E(mt), ha e¤etto solo sul livello generale dei prezzi pt. Il meccanismo economico che determina e¤etti reali di disturbi puramente nominali (la componente inattesa dimt) è basato sull’esistenza di informazione imperfetta da parte dei produttori sulla natura dei disturbi che si ri‡ettono sui prezzi locali. In questa situazione, un aumento non previsto della domanda nominale viene in parte attribuito ad un disturbo “locale”, che muove il livello dei prezzi sul singolo mercato relativamente al livello generale. La risposta ottimale dei produttori sarà un aumento dell’o¤erta, con conseguente aumento della produzione aggregata. Tale risposta è tanto più forte quanto più è elevata la variabilità (relativa) dei disturbi locali (data dal rapporto ¿ 2=¾2) e quindi quanto più elevato è µ. 2.2. Implicazioni Il modello di Lucas ha notevoli implicazioni in termini di politica economica e pratica econometrica. Il trade-o¤ fra output e in‡azione. Il modello fornisce un fondamento mi- croeconomico all’idea di Friedman che imperfezioni informative sono in grado di generare una correlazione positiva fra movimenti nelle variabili nominali (quantità di moneta o, più in generale, domanda aggregata nominale) e reali (occupazione, produzione). La versione di Lucas non si basa su un meccanismo adattivo di formazione delle aspettative ma ipotizza che gli operatori utilizzino razionalmente le informazioni 15 in loro possesso. Ne deriva una curva di Phillips che lega variazioni non previste della domanda nominale a deviazioni della produzione dal suo livello naturale. L’adozione dell’ipotesi di aspettative razionali porta alla sostituzione della dis- tinzione di Friedman fra curva di Phillips di breve e di lungo periodo con quella fra curva di Phillips valida per la componente inattesa della domanda e curva di Phillips valida per variazioni attese: quest’ultima non mostra alcun trade-o¤ fra in‡azione e output. La “critica di Lucas”. La derivazione della curva di o¤erta e dei livelli di prezzi e output di equilibrio ha mostrato che la relazione fra movimenti nelle variabili nominali e reali dipende non solo da parametri “strutturali” (che ri‡ettono carat- teristiche dell’economia che non vengono alterate da variazioni nel processo che genera la domanda aggregata e in particolare dalle politiche economiche di gestione della domanda e quindi sono parametri “policy-invariant” come ° nel modello), ma anche da parametri che si modi…cano se le proprietà della domanda aggregata e le politiche economiche in atto subiscono variazioni (e per questo vengono de…niti “non strutturali”). E’ il caso del parametro µ, che concorre insieme a ° a de- terminare l’e¤etto sull’output di movimenti inattesi della domanda aggregata (la “pendenza” della curva di o¤erta) e che dipende dalle varianze relative dei disturbi locali ed aggregati, su cui la politica monetaria può direttamente avere in‡uen- za. In questa situazione, la relazione fra prezzi e output non è una caratteristica stabile dell’economia ma può variare a seconda della politica economica adotta- ta. Questa idea (espressa da Lucas nell’articolo “Econometric policy evaluation: a critique”, Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy 1976) è nota come “critica di Lucas” ai modelli economici (ed econometrici) tradizionali, in cui le relazioni di comportamento degli agenti economici venivano implicitamente trattate come invarianti al mutare delle politiche economiche. Un esempio di applicazione empirica ispirata a questa critica è o¤erta dal test del modello di Lucas (1973) presentato dallo stesso autore. Dalla (2.12) il coe¢ciente che lega in equilibrio l’output alla componente inattesa della domanda aggregata può essere espresso, utilizzando la de…nizione di µ, in termini delle varianze ¾2 e ¿2: ° µ 1 + ° µ = ° ¿ 2 ¾2 + (1 + °) ¿2 (2.13) A parità di ¿ 2 e ° il coe¢ciente è decrescente in ¾2. L’idea del test è veri…care se, confrontando economie caratterizzate da un diverso livello di variabilità della domanda aggregata (¾2), vi è una sistematica correlazione negativa fra le stime di ¾2 e del coe¢ciente stimato dalla (2.12). L’evidenza empirica presentata da 16 Lucas per un campione di paesi sostanzialmente conferma questa implicazione del modello. Il punto messo in luce da Lucas è generale e, nei modelli con aspettative razion- ali, è conseguenza immediata del fatto che gli operatori, nel formare aspettative sulle variabili rilevanti, incorporano anche ciò che sanno sul tipo di politiche eco- nomiche in atto. Dal punto di vista della pratica econometrica, ne deriva che i parametri che de…niscono tali politiche contribuiscono a determinare anche il com- portamento degli agenti. Mutamenti nelle politiche economiche si ri‡ettono quindi sui parametri delle equazioni che descrivono il comportamento degli agenti eco- nomici, rendendo inappropriati i valori stimati sulla base dell’esperienza passata per simulare gli e¤etti delle nuove politiche. 17 Secondo la (3.5) la moneta reagisce sistematicamente in maniera “anticiclica” (dato il coe¢ciente negativo ¡±) a deviazioni della produzione dal suo livello naturale nel periodo precedente; "t denota la componente non sistematica e non prevedibile (Et¡1"t = 0) dell’o¤erta di moneta. Per risolvere il modello composto dalle (3.3), (3.4) e (3.5) utilizziamo una delle tecniche di soluzione dei modelli con aspettative razionali, ilmetodo dei coe¢cienti indeterminati. Imponendo l’uguaglianza fra domanda ed o¤erta aggregate ed utilizzando an- che la regola monetaria (3.5), otteniamo una prima espressione per il livello dei prezzi di equilibrio: pt = µ 1 ®+ ° ¶ [(° ¡ ¯)Et¡1pt + ¯ Et¡1pt+1 + ®mt¡1 ¡ ±® yt¡1 + ® "t + vt ¡ ut] (3.6) Qui il livello dei prezzi è funzione di variabili passate (mt¡1 e yt¡1), di disturbi contemporanei ("t, vt e ut) e delle aspettative (formate sulla base dell’insieme di informazioni disponibili al tempo t ¡ 1) dello stesso livello dei prezzi al tempo t e t + 1. La tecnica di soluzione che qui utilizziamo consiste nell’ipotizzare una soluzione (lineare) per il livello dei prezzi pt con coe¢cienti da determinare in modo che tale soluzione soddis… la (3.6). Date le variabili che compaiono nel lato destro della (3.6), possiamo ipotizzare una soluzione per il livello dei prezzi del tipo: pt = ¼1mt¡1 + ¼2yt¡1 + ¼3"t + ¼4vt + ¼5ut (3.7) dove ¼1, ::: ¼5 sono per ora generici coe¢cienti da determinare. Dalla (3.7) pos- siamo costruire i termini nelle aspettative Et¡1pt e Et¡1pt+1 (ricordando che i disturbi "t, vt e ut sono processi stocastici non prevedibili un periodo prima): Et¡1pt = ¼1mt¡1 + ¼2yt¡1 (3.8) Et¡1pt+1 = ¼1Et¡1mt + ¼2Et¡1yt = ¼1mt¡1 ¡ ¼1± yt¡1 (3.9) dove si sono utilizzate le (3.4) e (3.5) per esprimere i valori attesi al tempo t¡ 1 di mt e yt. Ora è possibile uguagliare la (3.7) e la (3.6), una volta sostituiti i termini nelle aspettative del prezzo con le loro espressioni date dalle (3.8) e (3.9), 20 ottenendo: ¼1mt¡1 + ¼2yt¡1 + ¼3"t + ¼4vt + ¼5ut = ° ¡ ¯ ®+ ° (¼1mt¡1 + ¼2yt¡1) + ¯ ®+ ° (¼1mt¡1 ¡ ¼1±yt¡1) + 1 ®+ ° (®mt¡1 ¡ ®±yt¡1 + ®"t + vt ¡ ut) (3.10) L’ultimo passo della soluzione consiste ora nel trovare i valori dei coe¢cienti (…no ad ora indeterminati) ¼ che soddisfano l’equazione (3.10). A questo scopo si deve risolvere il sistema di equazioni costruito uguagliando i coe¢cienti sulla stessa variabile nei membri di sinistra e di destra della (3.10). Abbiamo quindi: mt¡1 : ¼1 = ° ¡ ¯ ®+ ° ¼1 + ¯ ®+ ° ¼1 + ® ®+ ° ) ¼1 = 1 yt¡1 : ¼2 = ° ¡ ¯ ®+ ° ¼2 ¡ ¯± ®+ ° ¼1 ¡ ®± ®+ ° ) ¼2 = ¡± "t : ¼3 = ® ®+ ° vt : ¼4 = 1 ®+ ° ut : ¼5 = ¡ 1 ®+ ° sistema da cui si deriva la soluzione …nale per il livello dei prezzi pt: pt = mt¡1 ¡ ±yt¡1 + 1 ®+ ° (® "t + vt ¡ ut) (3.11) Dalla (3.11) possiamo ricavare la “sorpresa” nei prezzi che, secondo la curva di 21 o¤erta (3.4), provoca deviazioni della produzione dal suo livello naturale: pt ¡ Et¡1pt = 1 ®+ ° (® "t + vt ¡ ut) (3.12) In…ne, sostituendo la (3.12) nella curva AS (3.4) otteniamo la forma …nale per la produzione al tempo t: yt = ° ®+ ° (® "t + vt ¡ ut) + ut (3.13) Il livello di produzione di equilibrio si discosta dal livello naturale solo in con- seguenza di variazioni non prevedibili nella quantità di moneta ("t) e di disturbi alla domanda e all’o¤erta aggregate (vt e ut). La particolare regola di politica monetaria seguita dal policymaker, sintetizzata dal parametro ± (che misura il grado di anticiclicità della politica stessa), non entra in alcun modo a determinare il livello di output. Risulta quindi impossibile utilizzare la politica monetaria per …ni di stabilizzazione del reddito. Si noti che, se si abbandonasse l’ipotesi di processo stocastico white noise a media nulla per gli shock (da cui l’implicazione che i disturbi sono completamente imprevedibili), allora solo la parte non prevista di "t e vt avrebbe un e¤etto sulla produzione, mentre, per ciò che riguarda lo shock di o¤erta ut, oltre alla parte non prevista -che ha e¤etti reali attraverso la “sorpresa” nel livello dei prezzi secondo la (3.12)-, anche la parte prevista dello shock in‡uenzerebbe la produzione, in quanto l’intero disturbo ut sposta la curva di o¤erta aggregata (3.4). Da formulazioni come la (3.13) deriva la più nota proposizione associata alle teorie della NMC: la politica monetaria non può essere utilizzata sistematicamente per in‡uenzare la produzione. Ogni regola di tipo feedback è prevedibile da parte degli agenti, che basano le proprie scelte di (o¤erta di lavoro e) produzione su aspettative razionali che includono le caratteristiche della regola stessa, e non è quindi in grado di determinare scostamenti della produzione dal livello naturale. Solo variazioni non previste degli strumenti di politica monetaria (qui, la quantità di moneta) hanno e¤etti sulla produzione, in ogni caso limitati ad un solo periodo di tempo. Il tipo di “curva di Phillips” che risulta dai modelli della NMC è quindi verticale per la componente attesa della politica monetaria e mostra una corre- lazione positiva fra output e prezzi solo per la parte imprevedibile della politica stessa. 22 se conosciuto) ciò che potrà avvenire in futuro. Per convincersi di questa caratter- istica delle aspettative si può risolvere l’equazione (4.4) con le tecniche introdotte nella “Digressione matematica” più avanti, esprimendo il tasso di in‡azione attesa in un generico istante T ; ¼e(T ), in funzione dei tassi di in‡azione veri…catisi nel passato a partire da un istante “iniziale” t0 e poi facendo tendere t0 a ¡1. Si ottiene così: ¼e(T ) = ¸ TZ ¡1 ¼(t) e¡¸ (T¡t)dt. (4.5) L’in‡azione attesa in T è quindi una media dei tassi di in‡azione e¤ettivi del pas- sato; il segno positivo di ¸ garantisce che il valore di ¼e(T ) sia “…nito”, poiché ai tassi di in‡azione più lontani nel passato viene assegnata un’importanza sempre minore nella formazione delle aspettative in T . La natura di ¼e(T ) come me- dia ponderata dei tassi di in‡azione passati è confermata dal fatto che i “pesi” attribuiti ai termini ¼(t) nella (4.5) sommano a uno: TR ¡1 ¸e¡¸(T¡t)dt = 1. 8 Il sistema di equazioni che ora descrive completamente l’economia è formato dalla (4.3) e dalla (4.4). Per risolverlo, eliminiamo ¼ sostituendone il valore dal- la (4.3) nella (4.4), ottenendo la seguente equazione dinamica che esprime la variazione dell’in‡azione attesa _¼e in funzione del livello atteso di in‡azione ¼e e 8La soluzione della (4.4) e la sua interpretazione sono immediate se torniamo al caso di tempo misurato in intervalli discreti, in cui la revisione delle aspettative diviene: ¼et+1 ¡ ¼et = ¸(¼t ¡ ¼et )) ¼et+1 = ¸¼t + (1¡ ¸)¼et ; (*) con 0 < ¸ < 1. Utilizzando la (*) per sostituire il valore passato dell’in‡azione attesa, ¼et , dopo k sostituzioni successive otteniamo: ¼et+1 = ¸ k¡1X i=0 (1¡ ¸)i¼t¡i + (1¡ ¸)k¼et¡k : Continuando nelle sostituzioni, per k ! 1 l’ultimo termine nel livello dell’in‡azione attesa si annulla e ¼et+1 è esprimibile come media ponderata di tutti i tassi di in‡azione del passato: ¼et+1 = ¸ 1X i=0 (1¡ ¸)i¼t¡i ; con somma dei “pesi” pari a 1: ¸ P1 i=0(1¡ ¸)i = 1. 25 del tasso di crescita esogeno della moneta ¹: : ¼ e (t) = ¸ 1¡ ®¸ (¹(t)¡ ¼ e(t)). (4.6) Possiamo innanzitutto individuare la situazione di equilibrio stazionario dell’e- conomia, in cui, per dato valore di ¹ costante nel tempo, il mercato della moneta è in equilibrio senza ulteriori variazioni dell’in‡azione e¤ettiva ed attesa. Ponendo : ¼ e = 0 nelle (4.3) e (4.4) otteniamo immediatamente il tasso di in‡azione preva- lente in equilibrio stazionario: ¼ = ¹ = ¼e. In questa situazione non vi sono errori di previsione e quindi non si veri…cano revisioni delle aspettative in‡azionistiche con conseguenti variazioni della quantità domandata di moneta. La dinamica dell’economia al di fuori dell’equilibrio stazionario dipende dal valore assunto dal termine ®¸. Dalla (4.6) notiamo che solo se ®¸ < 1 un valore ¼e > ¹ comporta una diminuzione dell’in‡azione attesa ( _¼e < 0), conducendo il sistema verso l’equilibrio stazionario in cui ¼e = ¹ (e lo stesso vale nel caso di ¼e < ¹). A¢nché l’equilibrio sia stabile, quindi, è necessario imporre la condizione ®¸ < 1 sui parametri del modello. Sotto tale condizione di stabilità, la (4.6) assume la forma mostrata nel gra…co di sinistra nella Figura A1, in cui è anche illustrato il percorso convergente all’equilibrio per due possibili valori di partenza delle aspettative in‡azionistiche (gra…co di destra). Se la condizione di stabilità non è veri…cata, l’economia, una volta fuori dall’equilibrio, invece di ritornarvi tende a manifestare tassi di in‡azione e¤ettiva ed attesa continuamente crescenti o decrescenti. Intuitivamente, a seguito di una sottostima dell’in‡azione corrente (¼ > ¼e), un valore di ¸ elevato implica un forte aumento delle aspettative di in‡azione; se anche ® è elevato, si determina una notevole riduzione della domanda reale di moneta. Nella semplice economia che stiamo studiando, una riduzione della domanda di moneta comporta un aumento della domanda di beni, la cui produzione è …ssa: la conseguenza è un forte aumento dell’in‡azione che ampli…ca la sottostima iniziale, inducendo ulteriori revisioni al rialzo delle aspettative ed un allontanamento dalla situazione di equilibrio stazionario in cui non vi sono errori di previsione. Nell’analisi seguente faremo sempre uso della condizione di stabilità ®¸ < 1. 26 µ eπ& eπ t0t eπ µ eπ Figura A1: In‡azione attesa con aspettative adattive. Analizziamo ora la dinamica del sistema in risposta ad un incremento perma- nente del tasso di crescita della moneta da ¹1 a ¹2 attuato al tempo t0. Supponi- amo che, …no a t0, l’economia si trovi in una situazione di equilibrio al tasso di in- ‡azione (e¤ettivo ed atteso) ¼ = ¹1. L’aumento del tasso di crescita della moneta determina uno spostamento a destra della funzione che descrive la dinamica del- l’in‡azione attesa (4.6), come mostrato nella Figura A2(a): l’equilibrio stazionario corrispondente al più alto tasso di crescita monetaria, in cui nuovamente : ¼ e = 0, sarà raggiunto ad un tasso di in‡azione pari a ¹2. L’andamento dell’in‡azione attesa durante la convergenza al nuovo equilibrio è dato dall’equazione dinamica relativa a ¹2, valida per t ¸ t0. In corrisponden- za della posizione iniziale, in cui ¼e = ¹1, : ¼ e > 0 e l’in‡azione attesa aumenta gradualmente …no a raggiungere il nuovo livello di equilibrio ¹2, come mostrato dalla linea tratteggiata nella Figura A2(b). L’andamento dell’in‡azione e¤ettiva è ricavato considerando la situazione sul mercato della moneta, in cui domanda ed o¤erta devono essere continuamente in equilibrio. L’aumento del tasso atteso di in‡azione determina una immediata riduzione della domanda reale di moneta (membro di destra dell’equazione di equilibrio (4.3)) e un aumento della doman- da di beni che, con una produzione costante, genera un incremento del tasso di in‡azione. Per riportare l’equilibrio sul mercato monetario in presenza di una minore domanda reale di moneta, anche l’o¤erta reale di moneta deve diminuire; ma, poiché il tasso di crescita dell’o¤erta nominale è ora più elevato, l’in‡azione deve salire ad un livello superiore al nuovo equilibrio ¹2 per riequilibrare il mer- 27 l’unico livello di ¼ compatibile, in un generico istante t0, con l’equilibrio stazionario è: ¼(t0) = ¹. Come mostrato nella Figura A3, infatti, ogni valore ¼(t0) 6= ¹ conduce ad aumenti o diminuzioni sempre più accelerate di ¼. π& t0t µ π π µ π Figura A3: In‡azione attesa e aspettative razionali. Più in generale, per ogni possibile andamento futuro della crescita monetaria ¹(t), perfettamente conosciuto dagli agenti, possiamo individuare il percorso di- namico dell’in‡azione che permette di raggiungere l’equilibrio stazionario. Per far questo è necessario risolvere l’equazione dinamica (4.8), in modo da esprimere il tasso di in‡azione in ogni istante di tempo t0 coerente con le aspettative sull’an- damento futuro del tasso di crescita della moneta ¹. La digressione matematica qui sotto introduce i necessari strumenti analitici. Digressione matematica Consideriamo una generica variabile x(t) espressa in funzione del tempo t, qui misurato da una variabile continua. L’evoluzione nel tempo di x è descritta da : x(t) ´ dx(t) dt . In molti modelli economici dinamici (come nel semplice modello di iperin‡azione di questa Appendice), la dinamica delle variabili rilevanti è descritta da semplici equazioni di¤erenziali lineari del tipo: _x(t) = ¸x(t) + z(t), (4.9) 30 dove ¸ è una costante e z è una variabile, anch’essa funzione del tempo, che in‡uisce esogenamente sulla dinamica di x. Il problema è trovare una speci…ca funzione x(t) che, dati ¸ e z(t), soddis… l’equazione dinamica (4.9). Il procedimento di soluzione inizia con la moltiplicazione di ogni termine dell’equazione (4.9) per la funzione e¡¸t, ottenendo: : x(t) e¡¸t ¡ ¸x(t) e¡¸t = z(t) e¡¸t. (4.10) Consideriamo ora un generico intervallo di tempo compreso fra un istante “in- iziale” t0 ed uno “…nale” T ed integriamo i due membri dell’equazione (4.10): TZ t0 £ : x(t) e¡¸t ¡ ¸x(t) e¡¸t¤ dt = TZ t0 z(t) e¡¸tdt. (4.11) La soluzione dell’integrale di sinistra si ottiene facilmente osservando che la fun- zione da integrare, in parentesi quadra, è la derivata prima della funzione com- posta: x(t) e¡¸t. Assumiamo inoltre che la funzione z(t) sia tale da ammettere una soluzione …nita, su ogni possibile intervallo di tempo, per l’integrale sul lato destro della (4.11) Possiamo quindi scrivere: £ x(t) e¡¸t ¤T t0 = TZ t0 z(t) e¡¸tdt ) x(T ) e¡¸T ¡ x(t0) e¡¸t0 = TZ t0 z(t) e¡¸tdt. (4.12) Ora abbiamo due possibilità per ottenere la soluzione …nale per x: 1. Possiamo …ssare una condizione iniziale, cioè un valore per la variabile x al- l’istante t0, x(t0), e risolvere per il valore di x al termine dell’intervallo considerato, x(T ): x(T ) = x(t0) e¸(T¡t0) + TZ t0 z(t) e¸(T¡t)dt. (4.13) Se allunghiamo all’in…nito l’intervallo (t0, T ), considerando una condizione iniziale sempre più lontana nel tempo (t0 ! ¡1), il sistema descritto dalla (4.13) porta 31 ad un valore …nito per x(T ) solo se ¸ < 0. Nel caso contrario (¸ > 0), infatti, x(T ) non ammette un limite …nito quando t0 ! ¡1 ed il sistema ha una dinamica esplosiva. La condizione ¸ < 0 assicura la stabilità del sistema, in quanto x(T ) tende ad un valore …nito per t0 ! ¡1. In questo caso, la soluzione della (4.9) è: x(T ) = TZ ¡1 z(t) e¸(T¡t)dt. (4.14) Il valore …nale di x dipende quindi dall’andamento passato di z, da ¡1 all’istante T stesso. I valori assunti dalla funzione z in ciascun istante passato t contribuis- cono alla formazione di x(T ) in misura inversamente collegata alla distanza fra t e l’istante …nale T . La funzione esponenziale e¸(T¡t) infatti attribuisce un “peso” decrescente ai valori di z(t) più lontani da T . Il carattere “rivolto al passato” (backward-looking) della (4.14) giusti…ca l’utilizzo di questo tipo di soluzione al- l’equazione (4.12) nella formalizzazione di un comportamento “adattivo” degli agenti nella formazione delle aspettative, come nei paragra… 4.1 e 5.2 di questo capitolo. Esempio: consideriamo il caso sempli…cato in cui z(t) = z costante. Risolvendo l’integrale nella (4.13) otteniamo: x(T ) = x(t0) e ¸(T¡t0)¡z ¸ ¡ 1¡ e¸(T¡t0)¢ (4.15) Se ¸ < 0 il sistema è stabile e, data una qualsiasi condizione iniziale x(t0), x(T )! ¡ z¸ quando t0 ! ¡1. La situazione è descritta gra…camente nella Figura A3 (detta “diagramma di fase”), dove è rappresentata l’equazione dinamica (4.9), con ¸ < 0, nel piano ( : x, x). Il punto in cui : x = 0 individua l’equilibrio stabile del sistema: x = ¡ z ¸ . Le frecce indicano il movimento del sistema da posizioni non di equilibrio: se il valore di partenza di x è inferiore (superiore) a quello di equilibrio, : x > 0 ( : x < 0) e x aumenta (diminuisce) …no all’equilibrio, confermandone quindi la stabilità. 32 L’in‡azione in t0 è quindi una media dei futuri tassi di crescita della moneta, con “peso” decrescente al crescere della distanza da t0. Si può notare infatti che anche in questo caso la somma dei “pesi” nella (4.19) è pari a 1: 1R t0 1 ® e¡ 1 ® (t¡t0)dt = 1. 9 Con un andamento futuro di ¹ perfettamente conosciuto, l’evoluzione nel tempo del tasso di in‡azione è coerente con l’equilibrio continuo sul mercato monetario; inoltre, gli agenti non commettono, come nel caso di aspettative adattive, errori sistematici di previsione. Possiamo ora studiare la dinamica del sistema in seguito a diversi provvedimen- ti di politica monetaria che alterano il valore del tasso di crescita della moneta nel tempo, facendo attenzione a distinguere fra provvedimenti annunciati ante- riormente alla data di attuazione e provvedimenti completamente inattesi dagli agenti. Cominciamo dal caso analizzato in precedenza sotto l’ipotesi di aspettative adattive. Aumento inatteso e permanente del tasso di crescita della moneta. Con- sideriamo una variazione del tasso di crescita della moneta dal livello iniziale ¹1, in corrispondenza del quale l’economia si trova in equilibrio con ¼ = ¹1, ad un nuovo livello ¹2 > ¹1. Tale aumento, attuato nell’istante t0, è inatteso da parte degli agenti e ha natura permanente. Nel momento in cui ¹ aumenta, gli agenti possono immediatamente “ricalcolare”, utilizzando la (4.19), il livello di in‡azione 9Il medesimo ragionamento è valido se applicato alla versione in tempo discreto della (4.3) con perfetta previsione, ¹t¡¼t = ¡®(¼t+1¡¼t), da cui possiamo esprimere il tasso di in‡azione nel periodo t come: ¼t = 1 1 + ® ¹t + ® 1 + ® ¼t+1 : (*) Sostituendo ripetutamente l’in‡azione del periodo successivo utilizzando sempre la (*) otteniamo, dopo k sostituzioni: ¼t = 1 1 + ® k¡1X i=0 µ ® 1 + ® ¶i ¹t+i + µ ® 1 + ® ¶k ¼t+k : Per k !1, poichè (®=1 + ®) < 1, l’ultimo termine tende ad annullarsi e ¼t è esprimibile come media ponderata dei futuri tassi di crescita della moneta: ¼t = 1 1 + ® 1X i=0 µ ® 1 + ® ¶i ¹t+i ; con somma dei “pesi” pari a 1: 11+® P1 i=0 ³ ® 1+® ´i = 1. 35 che deve veri…carsi in t0 per consentire all’economia una evoluzione nel tempo in equilibrio convergente al nuovo equilibrio stazionario, in cui ¼ = ¹2. Poiché, sulla base delle informazioni disponibili, il nuovo tasso di crescita della moneta rimarrà immutato nel tempo al livello ¹2, la soluzione dà: ¼(t0) = ¹2. Il tasso di in‡azione si adegua immediatamente al nuovo livello di equilibrio stazionario, senza passare attraverso un graduale processo di aggiustamento. Ciò che distingue la dinamica dell’in‡azione con perfetta previsione rispetto a quella sotto l’ipotesi di aspetta- tive adattive non è il livello di in‡azione raggiunto in equilibrio stazionario (pari in entrambi i casi a ¹2) ma l’assenza di un percorso di aggiustamento caratterizzato da sistematica sottostima del tasso di in‡azione e¤ettivo. Nella Figura A5(a) la dinamica del sistema è descritta dalle due equazioni (4.8) corrispondenti ai due tassi di crescita della moneta ¹1 e ¹2. Al tempo t0 l’equazione rilevante per l’economia diviene quella corrispondente a ¹2; se, per assurdo, gli agenti non adeguassero in maniera razionale le proprie aspettative, il tasso di in‡azione rimarrebbe al livello iniziale ¹1, dando inizio ad un processo di crescente de‡azione ( : ¼ < 0) senza mai raggiungere una nuova posizione di equilibrio. Quando invece gli agenti adeguano le aspettative in modo forward- looking, il tasso di in‡azione aumenta in t0 al nuovo livello di equilibrio ¹2 (Figura A5(b)).10 10Dalla (4.2) si può notare che nel nuovo equilibrio stazionario, in corrispondenza di un più elevato tasso di in‡azione, la quantità reale di moneta è inferiore a quella presente nell’equilibrio iniziale. Questo aggiustamento, necessario per mantenere l’equilibrio sul mercato monetario, è ottenuto mediante un adeguamento discreto del livello dei prezzi nell’istante t0, tale da portare lo stock reale di moneta al nuovo (più basso) livello di equilibrio: m¡ p = ¹y ¡ ®¹2. 36 π& 0tt < 0t t 0tt ≥ µ (a) (b) π 1µ 2µ π 1µ 2µ π Figura A5: In‡azione con aumento inatteso permanente della crescita monetaria. Annuncio di un aumento futuro permanente del tasso di crescita della moneta. Ora supponiamo che al tempo t0 venga annunciato l’aumento del tasso di crescita della moneta da ¹1 a ¹2 a partire dal tempo t1, con t1 > t0. Gli agenti possono così incorporare nell’insieme di informazioni a disposizione quella relativa al futuro aumento del tasso di crescita della moneta (facciamo implicitamente l’ipotesi che l’annuncio sia ritenuto credibile). Se la modalità di formazione delle aspettative fosse adattiva, una tale informazione non avrebbe e¤etto sull’in‡azione attesa, e conseguentemente su quella e¤ettiva, durante tutto il periodo di tempo che intercorre fra l’annuncio, in t0, e l’attuazione dell’aumento in t1. Con aspettative orientate al futuro, invece, gli agenti reagiscono immediata- mente, al momento dell’annuncio, alla nuova informazione sul corso futuro della politica monetaria. Essi sono in grado di calcolare il nuovo livello di in‡azione di equilibrio al tempo t1, quando il tasso di crescita della moneta e¤ettivamente aumenterà: tale livello di equilibrio è, come visto in precedenza, proprio ¹2. In- oltre, gli agenti individuano il percorso che l’economia deve compiere per trovarsi, al tempo t1 nella situazione di equilibrio desiderata, cioè con ¼(t1) = ¹2. Per portarsi su questo percorso convergente al nuovo equilibrio è necessario un aumento del tasso di in‡azione già al momento dell’annuncio: ¼(t0) aumenta dal livello di equilibrio iniziale ¹1 ad un valore più elevato ma minore di ¹2. In 37 L’aumento dell’in‡azione in t0 rispetto al valore di equilibrio iniziale ¹1 è dunque direttamente proporzionale all’entità dell’aumento futuro di ¹, ¹2 ¡ ¹1, ed è in- versamente correlato con la distanza temporale fra il momento dell’annuncio e l’e¤ettiva attuazione dell’espansione monetaria, t1¡ t0. Inoltre, l’aumento dell’in- ‡azione in t0 è tanto più elevato quanto più la domanda di moneta è reattiva al tasso atteso di in‡azione, cioè quanto più è elevato (in valore assoluto) il parametro ®. 40 Esercizi 1. (Aspettative e dinamica dei prezzi) Supponete che il mercato di un bene sia descritto dalle seguenti funzioni di domanda ed o¤erta e dalla condizione di equilibrio (market clearing): qDt = a0 ¡ a1pt qSt = b0 + b1p e t¡1;t + ut qDt = q S t ´ qt dove qDt e q S t rappresentano rispettivamente la quantità domandata ed of- ferta del bene al tempo t, ut è un disturbo stocastico all’o¤erta del bene di tipo white noise distribuito normalmente, ut » N(0; ¾2u). Tutti i para- metri del modello sono positivi. La domanda del bene al tempo t dipende negativamente dal prezzo pt in maniera deterministica, mentre l’o¤erta al tempo t dipende positivamente dal prezzo atteso un periodo prima, pet¡1;t, ed è in‡uenzata dallo shock ut. (a) Determinate il livello del prezzo di equilibrio del bene pt e spiegatene la dipendenza dal prezzo atteso pet¡1;t. (b) Ipotizzando un meccanismo di formazione delle aspettative di tipo razionale, tale per cui pet¡1;t = Et¡1pt, trovate l’espressione per il prez- zo di equilibrio pt. Da che cosa è determinato l’errore di previsione in ciascun periodo t? (c) Calcolate ora il prezzo di equilibrio pt generato da un processo di formazione delle aspettative di tipo adattivo: pet¡1; t = ¸ pt¡1 + (1¡ ¸) pet¡2; t¡1 0 < ¸ < 1 e confrontatelo con il prezzo trovato con aspettative razionali. 2. (Modello di iperin‡azione di Cagan) Utilizzando il modello di Cagan analiz- zato nella Sezione 1 sotto l’ipotesi di aspettative razionali, trovate il livello dei prezzi pt sapendo che la quantità o¤erta di moneta segue un processo stocastico autoregressivo del tipo mt = ½mt¡1 + "t 41 dove "t è uno shock white noise e 0 < ½ < 1. E’ presente anche uno shock white noise ut alla domanda di moneta Come e perché il valore del parametro ½ in‡uisce sulla relazione fra moneta e prezzi (commentate i due casi ½! 1 e ½ ! 0)? Calcolate l’errore di previsione del prezzo al tempo t e veri…cate che non sia prevedibile sulla base di informazioni disponibili al tempo t¡ 1. 3. (Critica di Lucas). Si consideri un semplice modello macroeconomico for- mato dalle seguenti equazioni di o¤erta (AS) e domanda aggregata (AD): yt = ° (pt ¡ Et¡1pt) + ut (AS) yt = mt ¡ pt ; (AD) dove tutte le variabili sono espresse in logaritmi, y indica il livello del reddito (per semplicità si è posto ¹y = 0), p il livello dei prezzi,m la quantità nominale di moneta e Et¡1pt l’aspettativa (razionale) del livello dei prezzi al tempo t formata dal settore privato sulla base di tutte le informazioni disponibili …no al tempo t¡ 1. u denota uno shock di o¤erta con la proprietà: Et¡1ut = 0. Si supponga inoltre che le autorità monetarie utilizzino la seguente regola di comportamento, perfettamente conosciuta dagli agenti, per …ssare in ogni periodo la quantità di moneta: mt = ¹m+ pt¡1 + "t ; (MR) dove ¹m è un termine costante e " introduce una componente dell’o¤erta di moneta non prevedibile dagli agenti (Et¡1"t = 0). (a) Si dimostri che solo la componente stocastica della regola monetaria in‡uenza il livello del reddito; (b) si derivi un’espressione che lega il reddito yt al tasso di in‡azione e¤et- tiva ¼t ´ pt ¡ pt¡1. Qual è la natura dei parametri che compaiono in questa relazione? 4. (Nuova Macroeconomia Classica) Considerate la seguente versione sempli- …cata del modello NMC analizzato nella Sezione 3, composto dalle seguenti equazioni di domanda ed o¤erta aggregate: yt = ® (mt ¡ pt) + vt yt = ° (pt ¡ Et¡1pt) + ut 42