Definizioni e Teoremi di Analisi Matematica 2, Domande di esame di Analisi Matematica II. Università degli Studi di Napoli Federico II
Salvatore_Capuozzo
Salvatore_Capuozzo
Questo è un documento Store
messo in vendita da Salvatore_Capuozzo
e scaricabile solo a pagamento

Definizioni e Teoremi di Analisi Matematica 2, Domande di esame di Analisi Matematica II. Università degli Studi di Napoli Federico II

28 pagine
1Numero di download
417Numero di visite
Descrizione
Questo file contiene tutte le definizioni e i teoremi necessari a passare l'esame orale di Analisi Matematica 2 da 6 CFU. In particolare, questi appunti provengono dal Corso di Laurea in Ingegneria Informatica dell'Unive...
5.99
Prezzo del documento
Scarica il documento
Questo documento è messo in vendita dall'utente Salvatore_Capuozzo: potrai scaricarlo in formato digitale subito dopo averlo acquistato! Più dettagli
Anteprima3 pagine / 28
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 28 totali
Scarica il documento
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 28 totali
Scarica il documento
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 28 totali
Scarica il documento
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 28 totali
Scarica il documento

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Università degli Studi di Napoli “Federico II” Ingegneria Informatica

Prof. Francesco Chiacchio --- Definizioni e teoremi di Salvatore Capuozzo

ANALISI MATEMATICA II SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Successioni di funzioni �������������������� ���� ⊆ ℝ ���� ���� ∈ ℕ ������������������������������������ ��������(����) ∶ ���� ∈ ���� → ℝ �������������������������������������������� �������� �������������������������������� �������������������� �������� ������������������������������������ �������������������� Convergenza puntuale (successioni) ������������ �������������������������������������������� �������� �������������������������������� ��������(����) �������������������������������� ���� ����(����) ������������������������������������������������ �������� ���� �������� ���� ���������������� �������� ∀���� > 0 ∀���� ∈ ���� ∃����: ����(����,����) ∈ ℕ ∶ ∀���� > ���� |��������(����)− ����(����)| < ���� ������������������������ �������� lim

����→∞ ��������(����) = ����(����)

Convergenza uniforme (successioni) ������������ �������������������������������������������� �������� �������������������������������� ��������(����) �������������������������������� ���� ����(����) ���������������������������������������������������� �������� ���� �������� ���� ���������������� �������� ∀���� > 0 ∀���� ∈ ���� ∃����: ����(����) ∈ ℕ ∶ ∀���� > ���� |��������(����)− ����(����)| < ���� Teorema di convergenza uniforme

��������(����) �������������������������������� ���� ����(����) ���������������������������������������������������� �������� ���� ⇔ lim����→∞�sup����∈���� |��������(����)− ����(����)|� = 0

DIMOSTRAZIONE �������������������������������������������� �������� ������������������������: ∀���� > 0 ∃����: ����(����) ∈ ℕ ∶ sup

����∈���� |��������(����)− ����(����)| < ����

���������������������������� �������� ������������������������ ������������������������ �������� ���� è �������� ���������������������������� ������������������������������������, �������� ℎ���� ����ℎ����: |��������(����)− ����(����)| ≤ sup ����∈����

|��������(����)− ����(����)| < ����

������������������������: |��������(����)− ����(����)| < ���� ∀���� > ���� ∀���� ∈ ���� DIMOSTRAZIONE �������������������������������������������� �������� �������������������������������������������� ��������������������������������: ∀���� > 0 ∀���� ∈ ���� ∃����: ����(����) ∈ ℕ ∶ ∀���� > ���� |��������(����)− ����(����)| < ���� ������������ �������������������������������������������� �������� ℎ���� ����ℎ����: |��������(����)− ����(����)| ≤ sup

����∈���� |��������(����)− ����(����)| < ����

������������������������: lim ����→∞ �sup ����∈����

|��������(����)− ����(����)|� = 0

Teorema di continuità del limite uniforme ������������ ��������(����) ∈ ����0([����,����]) ∀���� ∈ ℕ ��������(����) �������������������������������� ���� ����(����) ���������������������������������������������������� �������� [����,����] ⇒ ����(����) ∈ ����0([����, ����]) DIMOSTRAZIONE �������������������������������� ����0 ∈ [����.����] �������������������������������������������� ���� ���������������������������������������� ��������(����) �������� ��������(����0) �������� ������������������������ |����(����)− ����(����0)|: |����(����)− ��������(����) + ��������(����)− ��������(����0) + ��������(����0)− ����(����0)| ≤ |����(����)− ��������(����)| + |��������(����)− ��������(����0)| + |��������(����0)− ����(����0)| ������������ �������������������������������������������� �������� ������������������������ �������� ℎ����: |����(����)− ��������(����)| + |��������(����)− ��������(����0)| + |��������(����0)− ����(����0)| ≤ 2���� + |��������(����)− ��������(����0)| ���������������������������� ������������ ���������������������������� ��������(����) è �������������������������������� ∀���� ∈ ℕ,������������ �������������������������������������������� ��������������������������������: ∃�������� > 0 ∶ |���� − ����0| < �������� ⇒ |��������(����)− ��������(����0)| < ���� ������������������������ 2���� + |��������(����)− ��������(����0)| ≤ 3����, ������������������������ |����(����)− ����(����0)| < 3���� ��������ò ������������������������������������ ����ℎ����: lim

����→∞ lim ����→����0

��������(����) = lim����→����0 lim ����→∞ ��������(����)

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale ������������ ��������(����) ∈ ����0([����,����]) ∀���� ∈ ℕ

��������(����) → ����(����) ���������������������������������������������������� �������� [����, ����] ⇒ lim����→∞� ��������(����)�������� ����

���� = � � lim

����→∞ ��������(����)���������

����

���� = � ����(����)��������

����

����

DIMOSTRAZIONE

�� ��������(����)�������� ����

���� − � ����(����)��������

����

���� � ≤ � |��������(����)− ����(����)|��������

����

����

�������������������������������������������� �������� �������������������������������������������� ��������������������������������: ∀���� > 0 ∀���� ∈ [����, ����] ∃����: ����(����) ∈ ℕ ∶ ∀���� > ���� |��������(����)− ����(����)| < ����

� |��������(����)− ����(����)|�������� ����

���� ≤ � ������������

����

���� = ����(���� − ����)

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata ������������ ��������(����) ∈ ����1([����,����]) ∀���� ∈ ℕ ∃����0 ∈ [����,����] ∶ ��������(����0) → ���� ∈ ℝ

��������′(����) → ����(����) ���������������������������������������������������� �������� [����,����] ⇒ � ��������(����) → ����(����) ���������������������������������������������������� �������� [����,����]

� lim ����→∞ ��������(����)�

′ = lim ����→∞ ��������′(����)

DIMOSTRAZIONE

������������ �������� ���������������������������� ������������������������������������������������ ������������ ���������������������������� ������������������������������������: ��������(����) = ��������(����0) +� ��������′(����)�������� ����

����0

lim ����→∞ ��������(����) = lim����→∞���������(����0) +� ��������

′(����)�������� ����

����0 �

lim ����→∞ ��������(����) = ���� + lim����→∞� ��������

′(����)�������� ����

����0

lim ����→∞ ��������(����) = ���� +� ����(����)��������

����

����0 ≡ ����(����)

������������������������: |��������(����)− ����(����)| = ����������(����0) +� ��������′(����)�������� ����

����0 � − ����� +� ����(����)��������

����

����0 �� = ���������(����0)− ���� +� ��������′(����)��������

����

����0 − � ����(����)��������

����

����0 �

������������ �������������������������������������������������������� ��������������������������������������������: ���������(����0)− ���� +� ���������′(����)− ����(����)��������� ����

����0 � ≤ |��������(����0) − ����| + �� ���������′(����)− ����(����)���������

����

����0 �

������������ ��������������������������������������������: |��������(����0) − ����| + �� ���������′(����)− ����(����)��������� ����

����0 � ≤ ���� +� |��������′(����)− ����(����)|��������

����

���� ≤ ���� + ����(���� − ����)

������������������������ ��������(����) �������������������������������� ���������������������������������������������������� ���� ����(����) ����������������������������, ������������ �������� ���������������������������� ������������������������������������������������ ������������ ���������������������������� ������������������������������������ �������� ������������������������ ����ℎ����: ����′(����) = ����(����) ��������������������ò lim

����→∞ ��������(����) = ����(����) = ����′(����)

Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme ������������ ���� ⊆ ℝ ��������(����) → ����(����) ���������������������������������������������������� ⇔ ∀���� > 0 ∃����: ����(����) ∈ ℕ ∶ |��������(����)− ����ℎ(����)| < ���� ∀����, ℎ > ���� ∀���� ∈ ���� DIMOSTRAZIONE |��������(����)− ����ℎ(����)| = |��������(����)− ����(����) + ����(����)− ����ℎ(����)| ≤ |��������(����)− ����(����)| + |����(����)− ����ℎ(����)| < 2���� DIMOSTRAZIONE ⇐ ���������������������������� �������� �������������������������������������������� �������� ����������������ℎ����, è ������������ℎ���� ��������������������������������������������, ������������������������ ����′è �������������������������������������������� ��������������������������������: ∀���� > 0 ∃����: ����(����) ∈ ℕ ∶ lim

����→∞ |��������(����)− ����ℎ(����)| < ���� ∀����,ℎ > ���� ∀���� ∈ ����

������������������������: ∀���� > 0 ∃����: ����(����) ∈ ℕ ∶ |��������(����)− ����(����)| < ���� ∀���� > ���� ∀���� ∈ ���� Serie di funzioni ������������ ���� ⊆ ℝ ������������ ��������(����) ∶ ���� ∈ ���� → ℝ ������������ �������������������������������������������� �������� �������������������������������� �������������������� ���� ������������������������������������ �������������������� ������������������������������������ �������������������� �������� �������������������������������� ����(����) �������� �������������������������������������������� �������������������� �������������������� ��������������������������������: ����1(����) = ����1(����) ����2(����) = ����1(����) + ����2(����) ��������(����) = ����1(����) + ����2(����) +⋯+ ��������(����)

������������������������ ����(����) = ���������(����) ∞

����=1

Convergenza puntuale (serie)

������������ �������������������� �������� �������������������������������� ���������(����) ∞

����=1

�������������������������������� ���� ����(����) ������������������������������������������������ �������� ���� �������� ���� ���������������� ��������

��������(����) �������������������������������� ���� ����(����) ������������������������������������������������ �������� ���� Convergenza uniforme (serie)

������������ �������������������� �������� �������������������������������� ���������(����) ∞

����=1

�������������������������������� ���� ����(����) ���������������������������������������������������� �������� ���� �������� ���� ���������������� ��������

��������(����) �������������������������������� ���� ����(����) ���������������������������������������������������� �������� ����

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Convergenza totale (serie)

������������ �������������������� �������� �������������������������������� ���������(����) ∞

����=1

�������������������������������� ���� ����(����) ���������������������������������������������������� �������� ���� �������� ���� ���������������� �������� ∃�������� ∈ [0, +∞[ ∶

� |��������(����)| ≤ �������� ∀���� ∈ ℕ ∀���� ∈ ����

� �������� ∞

����=1 < +∞

Teorema sui gradi di convergenza

�������������������� ���� ⊆ ℝ ���� ���������(����) ∞

����=1

������������ �������������������� �������� �������������������������������� ������������ ���� ∈ ����

�������������������������������������������� ������������������������ �������� ���� ⇒ �������������������������������������������� �������������������������������� �������� ���� ⇒ �������������������������������������������� �������������������������������� �������� ���� �������������������������������������������� ������������������������ �������� ���� ⇍ �������������������������������������������� �������������������������������� �������� ���� ⇍ �������������������������������������������� �������������������������������� �������� ���� DIMOSTRAZIONE ������������ �������� �������������������������������� �������� ����������������ℎ���� ��������������������������������, ������������ �������������������� �������������������������������� ���������������������������������������������������� �������� ���� ���������������� �������� è �������� ����������������ℎ���� ������������������������,�������������������������������� �������� ������������ �������������������� ����ℎ���� �������������������������������� ����������������������������������������,���������������������������� ���������������������������� ����ℎ����: ∀���� > 0 ∃����: ����(����) ∈ ℕ ∶ |��������+����(����)− ��������(����)| < ���� ∀���� > ���� ∀���� ∈ ℕ ∀���� ∈ ���� ������������ �������������������������������������������� �������� �������������������������������������������� ������������������������ �������� ���������������������������� ����ℎ����: |��������+1(����) +⋯+ ��������+����(����)| ≤ |��������+1(����)| +⋯+ |��������+����(����)| ≤ ��������+1 +⋯+��������+���� < ���� ∀���� > �������� DIMOSTRAZIONE

������������������������������������ ��������(����) = (−1)����

����

���������(����) ∞

����=1

= � (−1)����

����

����=1

= ����

sup ����∈ℝ

|��������(����)− ����(����)| = ��−1 + 1 2 −

1 3

+⋯+ (−1)����

���� � − ����� < ���� ������������������������ ����′è �������������������������������������������� ��������������������������������

|��������(����)| = 1 ����

= ��������

���������

����=1

= � 1 ����

����=1

= +∞ ������������������������ ������������ ����′è �������������������������������������������� ������������������������

Teorema di continuità della somma ������������ ��������(����) ∈ ����0([����,����]) ∀���� ∈ ℕ

���������(����) ∞

����=1

�������������������������������� ���� ����(����) ���������������������������������������������������� �������� [����, ����] ⇒ ����(����) ∈ ����0([����, ����])

Teorema di integrazione termine a termine ������������ ��������(����) ∈ ����0([����,����]) ∀���� ∈ ℕ

���������(����) ∞

����=1

→ ����(����) ���������������������������������������������������� �������� [����,����] ⇒ � ����������(����) ∞

����=1

��������� ����

���� = �� ��������(����)��������

����

����

����=1

Teorema di derivazione termine a termine ������������ ��������(����) ∈ ����1([����,����]) ∀���� ∈ ℕ

���������(����) ∞

����=1

→ ����(����) ���������������������������������������������������� �������� [����,����] ⇒ ����������(����) ∞

����=1

� ′

= ���������′(����) ∞

����=1

Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor ������������ ���� ∈ ����∞([����,����])

∃����, ���� > 0 ∶ �����(����)(����)� ≤ ���� ∙ �������� ∀���� ∈ ]����, ����[ ⇒ ����(����) = � ����(����)(����0) ����!

(���� − ����0)���� ∞

����=0

∀����0 ∈ ]����, ����[ ∀���� ∈ ]����,����[

DIMOSTRAZIONE

���������������������������� �������� ������������������������ ������������ �������� �������������������� �������� ��������������������������������: �����(����)−� ����(����)(����0) ����!

(���� − ����0)���� ����−1

����=0

� = �����(����)(����)� ����!

|���� − ����0|����

������������ ����������������������������: �����(����)(����)� ����!

|���� − ����0|���� ≤ ���� ∙ ��������

����! |���� − ����0|���� ≤

���� ∙ ��������

����! |���� − ����|���� ����ℎ���� �������������������������������� ���� ����������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI Intorno di un punto ������������ ����� = (�����1, … ,���������) �������� �������������������� ������������������������������������������������ ���� ℝ���� ����′������������������������������������ ���������������� �������������������� è �������������������������������� ������������ì: ��������(�����) = {���� ∈ ℝ���� ∶ ‖���� − �����‖ < ����} Punti e insiemi ������������ Ω ⊆ ℝ���� ����� è �������������������� ���������������������������� ���� Ω ������ ∈ Ω̇� ⇔ ∃���� > 0 ∶ ��������(�����) ⊂ Ω ����� è �������������������� ���������������������������� ���� Ω ������ ∉ Ω̇� ⇔ ����� è �������������������� ���������������������������� ���� ℝ���� ∖ Ω ����� è �������������������� �������� ������������������������������������ �������� Ω (����� ∈ ����Ω)⇔ ����� ������������ è ����é ���������������������������� ����é ���������������������������� ���� Ω ����� è �������������������� �������� ���������������������������������������������������� ������������ Ω (����� ∈ ����Ω)⇔ ∀���� > 0 [Ω ∩ ��������(�����)] ∖ {�����} ≠ ∅ ����� è �������������������� ���������������������������� �������� Ω ⇔ ����� ∈ Ω �������� ������������ è �������� ���������������������������������������������������� ������������ Ω Ω �������� ���������������� ������������������������ �������� Ω = Ω̇ Ω �������� ���������������� ����ℎ���������������� �������� ℝ���� ∖ Ω è ������������������������ Ω è ����ℎ���������������� ⇔ Ω �������������������������������� �������������������� ���� ���������������� �������������������� �������� ���������������������������������������������������� �������� Ω è ������������������������, �������� ������������ ����ℎ������������������������ �������� ������������������������ ������������ Ω�

Ω ������������������������ �������� ���������������� �������������������������������� ⇔ ∄����1 ���� ����2 ������������������������ �������� ℝ���� ∶ � ����1 ∪ ����2 = Ω ����1 ∩ ����2 = ∅ ����1 ≠ ∅,����2 ≠ ∅

Ω �������� ���������������� �������������������������������� �������� ∃���� > 0 ∶ Ω ⊂ ��������(0) Ω �������� ���������������� �������������������������������� �������� è ����ℎ���������������� ���� �������������������������������� Ω �������� ���������������� �������������������������������� �������� ������������ ���������������� ������������������������ �������� �������������������� �������� �������������������������������� ������������������������������������������������ è �������������������������������������������� ������������������������������������ �������� Ω Limite di funzioni di più variabili ������������ ���� ∶ ���� ∈ Ω ⊆ ℝ���� → ����(����) ⊆ ℝ���� ������������ ����0 �������������������� �������� ���������������������������������������������������� ������������ Ω lim ����→����0

����(����) = ���� ∈ ℝ� ⇔ ∀����(����) ∃��������(����0) ∶ ∀���� ∈ [Ω ∩ ��������(����0)] ∖ {����0} ����(����) ∈ ����(����)

Condizione necessaria per l’esistenza del limite ������������ ���� ∶ Ω ⊆ ℝ2 → ℝ ���� ������������ (����0,����0) �������������������� �������� ���������������������������������������������������� ������������ Ω �������� lim

(����,����)→(����0,����0) ����(����,����) = ���� ∈ ℝ ������������������������ ∀���� ∈ ℝ lim

����→����0 ����(����,����(���� − ����0) + ����0) = ����

DIMOSTRAZIONE

�(⇒) ��������: ������������ (����,����)→(��������,��������)

����(����,����) = �����

������������ ���������������������������� ∀���� > 0 ∃���� = �������� > 0 ∶ ∀(����,����) ∈ [Ω ∩ ��������(����0,����0)] ∖ {(����0,����0)} |����(����, ����)− ����| < ���� �������� ���������������� è ������������������������:���������������������������� ���� ∈ ℝ,∀ε > 0 ∃��������′ > 0 ∶ ∀���� ∈ (����0 − ��������′ , ����0 + ��������′) ∖ {����0} |����(����,����(���� − ����0) + ����0)− ����| < ���� �������� �������������������������������� �������� (����0,����0) ������������ �������������������������������� �������������������� �������������������� �������������������� �������� ������������������������������������������������ �������������������������������� ���� è ���������������� �������������������� ���������������������������� �(���� − ����0)2 + (����(���� − ����0) + ����0 − ����0)2 = |���� − ����0|�1 +����2 < ���� ⇒ |���� − ����0| <

���� √1 +����2

,���������������� �������� ������������������������ ����

√1 +����2 è ���������������������������� �������� ��������′ ���������������������������������������� ���������������� ����������������

�(⇍) ��������: ������������ ����→�������� ����(����,����(���� − ��������) + ��������) = �����

�������������������������������������������� ����ℎ���� ������������ ������������������������ �������� lim (����,����)→(����0,����0)

����2 − ����2

����2 + ����2 , ������������������������ �������������������������������������������� ���� ������������ ��������

lim ����→0 ����(����,��������) = lim

����→0

����2 − ����2����2

����2 +����2����2 =

1−����2

1 +����2 , ������������������������ �������� ������������������������ è ���������������������������������������� ������������ ������������������������������������������������ �������������������������������� ����,������������

������������������������ ������������������������ ������������ ��������ò �������������������������������� Continuità di funzioni di più variabili ������������ ���� ∶ Ω ⊆ ℝ���� → ℝ ���� ������������ ����0 ∈ Ω ���� �������������������� �������� ���������������������������������������������������� ������������ Ω ���� è �������������������������������� �������� ����0 �������� ���� ���������������� �������� lim����→����0

����(����) = ����(����0)

Teorema di Weierstrass ������������ ���� ∈ ����0(����,ℝ) ���� ������������ ���� �������������������������������� �������� ℝ���� ������������������������ ∃�������� ���� �������� ∈ ���� ∶ ���� = ����(��������) ≤ ����(����) ≤ ����(��������) = ���� ∀���� ∈ ����

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Teorema di Cantor ������������ ���� ∈ ����0(����,ℝ) ���� ������������ ���� �������������������������������� �������� ℝ���� ������������������������ ���� è ���������������������������������������������������� ��������������������������������, ������������������������ ∀���� > 0 ∃���� = ����(����) > 0 ∶ |����(����1)− ����(����2) < ����| ∀����1,����2 ∈ ���� ‖����1 − ����2‖ < ��������, ������������������������ ���� ������������ ���������������������������� ������������ �������������������� �������� ���������������� �������� ���� Teorema dei valori intermedi ������������ ���� ���������������������������� �������������������������������� ���� �������������������������������� �������� ℝ���� ���� ������������ ���� ∈ ����0(����,ℝ) ������������������������ ���� ������������������������ �������������������� ���� ������������������������ �������������������������������� ������������ �������� ������������������������ ���� �������� ���������������������������� Derivate parziali in ℝ���� ������������ Ω ⊆ ℝ2, ������������ ���� ∶ Ω → ℝ ���� ������������ ���� = (����0, ����0) ∈ Ω̇

�������� �������������������������������� �������������������������������� �������� ���� �������������������������������� ���� ���� ������������ �������������������� ���� è �������� ������������������������ lim ℎ→0

����(����0 + ℎ, ����0)− ����(����0,����0) ℎ

= �������� ��������

(����0,����0)

�������� �������������������������������� �������������������������������� �������� ���� �������������������������������� ���� ���� ������������ �������������������� ���� è �������� ������������������������ lim ℎ→0

����(����0, ����0 + ℎ)− ����(����0, ����0) ℎ

= �������� ��������

(����0, ����0)

Gradiente ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∶ A → ℝ ���������������������������������������� �������� ���� �������� ������������������������������������ ������������������������������������ �������� ���� ������������ �������������������� ���� �������� ���������������������������� ∇���� �������� ������������ ���������������������������������������� ���������������� �������� �������������������������������� �������������������������������� �������� ���� Derivate parziali in ℝ���� ������������ Ω ⊆ ℝ����, ������������ ���� ∶ Ω → ℝ ���� ������������ ���� = (����1, … , ��������) ∈ Ω̇ �������� �������������������������������� �������������������������������� �������� ���� �������������������������������� ���� �������� ������������ �������������������� ���� è �������� ������������������������

lim ℎ→0

����(����1, … , �������� + ℎ, … ,��������)− ����(����1, … , �������� , … ,��������) ℎ

Derivabilità e continuità in ℝ���� (���� ≥ ����) �������� ℝ���� (���� ≥ 2) �������� ��������������������������������������������à ������������ ���������������������������� �������� ������������������������������������à DIMOSTRAZIONE �������������������������������������������� ����ℎ���� ������������ �������������������������������� ���������������������������������������� �������� ℝ���� (���� ≥ 2) ������������ è ������������������������ ��������������������������������

������������ ����(����, ����) = � 0 �������� (����,����) = (0,0)

�������� ����2 + ����2

�������� (����,����) ∈ ℝ2 ∖ {(0,0)}

����(����, 0) = 0 ⇒ �������� ��������

(0,0) = 0 ∀���� ∈ ℝ,����(0, ����) = 0 ⇒ �������� ��������

(0,0) = 0 ∀���� ∈ ℝ, ������������������������ �������� �������������������������������� è ����������������������������������������

�������������������������������� lim ����→0 ����(����,��������) = lim

����→0

��������2

����2 +����2����2 =

���� 1 +����2

, ������������������������ �������� ������������������������ è ���������������������������������������� ������������ ������������������������������������������������ �������������������������������� ����,������������ ������������������������ ������������������������ ������������ ��������ò ��������������������������������, ������������������������ �������� �������������������������������� ������������ è �������������������������������� Definizione di differenziabilità in ℝ���� ������������ ���� ∶ Ω ⊆ ℝ2 → ℝ ���� ������������ (����0,����0) ∈ Ω̇ ���� �������� ���������������� ������������������������������������������������������������ �������� (����0,����0) �������� �������������������������������� �������� �������������������������������� ����������������������������������������:

1) ∃��������(����0,����0) ���� ��������(����0, ����0) 2)lim

(ℎ,����)→(0,0)

����(����0+ℎ,����0+����)−����(����0,����0)−��������(����0,����0)ℎ−��������(����0,����0)����

√ℎ2+����2 = 0

Differenziabilità e continuità �������� ���� è ������������������������������������������������������������ �������� (����0, ����0) ������������������������ ���� è �������������������������������� �������� (����0,����0) DIMOSTRAZIONE �(⇒) ��������: ���� è ������������������������������������������������������������ �������� (��������,��������)� ������������ ���������������������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� ����(����0 + ℎ, ����0 + ����) = ����(����0, ����0) + ��������(����0, ����0)ℎ + ��������(����0,����0)���� + ���� ��ℎ2 + ����2�

����(����0 + ℎ,����0 + ����)− ����(����0, ����0) = ��������(����0, ����0)ℎ + ��������(����0, ����0)���� + ���� ��ℎ2 + ����2�

lim (ℎ,����)→(0,0)

[����(����0 + ℎ,����0 + ����)− ����(����0,����0)] = lim(ℎ,����)→(0,0) ���������(����0,����0)ℎ + ��������(����0,����0)���� + ���� � �ℎ2 + ����2��

lim (ℎ,����)→(0,0)

[����(����0 + ℎ,����0 + ����)− ����(����0,����0)] = 0

lim (ℎ,����)→(0,0)

����(����0 + ℎ,����0 + ����) = ����(����0,����0),������������������������ �������� �������������������������������� ���� è �������������������������������� �������� (����0,����0)

�(⇍) ��������: ���� è �������������������������������� �������� (��������,��������)� ������������������������������������ ����(����, ����) = �����2 + ����2, ����ℎ���� è �������������������������������� ������������ ������������ ���������������������������� �������������������������������� ����(����, 0) = |����|,������������������������ ∄��������(0,0), ���� ����(0,����) = |����|, ������������������������ ∄��������(0,0), ������������������������ ���� ������������ è ������������������������������������������������������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Teorema del differenziale ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2, ������������ ���� ∶ A → ℝ ���������������������������������������� �������� ���� ������������ (����0,����0) ∈ ���� ���� �������������������� �������� ���� �������� �������������������������������� �������� (����0, ����0) ������������������������ �������� �������������������������������� ���� è ������������������������������������������������������������ �������� (����0, ����0) DIMOSTRAZIONE

�������� ���������������� è ������������������������: lim (ℎ,����)→(0,0)

� ����(����0 + ℎ, ����0 + ����)− ����(����0,����0)− ��������(����0,����0)ℎ − ��������(����0,����0)����

√ℎ2 + ����2 � = 0

�������� ���������������������������������������� �������� ��������ò ���������������������������������������� ������������ì: [����(����0 + ℎ, ����0 + ����)− ����(����0 + ℎ,����0)] + [����(����0 + ℎ,����0) − ����(����0,����0)]− −��������(����0,����0)ℎ − ��������(����0, ����0)���� ���������������� ������������ ������������������������������������ ������������������������ è ������������������������������������ ������������������������������������ �������� ���������������������������� �������� ��������������������������������: ��������(����0 + ℎ, ����)���� + ��������(����, ����0)ℎ − −��������(����0,����0)ℎ − ��������(����0, ����0)���� = ���������(����0 + ℎ, ����)− ��������(����0, ����0)����� + [��������(����, ����0)− ��������(����0,����0)]ℎ

������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� lim (ℎ,����)→(0,0)

����������(����0 + ℎ, ����)− ��������(����0, ����0)� ����

√ℎ2 + ����2 + [��������(����, ����0)− ��������(����0,����0)]

ℎ √ℎ2 + ����2

� ≤

≤ lim (ℎ,����)→(0,0)

����������(����0 + ℎ, ����)− ��������(����0,����0)� |����|

√ℎ2 + ����2 + |��������(����,����0)− ��������(����0,����0)|

|ℎ|

√ℎ2 + ����2 �

|����|

√ℎ2 + ����2 ����

|ℎ|

√ℎ2 + ����2 ���������������� ��������������������������������, ���������������������������� ������������ �������� ������������������������������������à �������� �������� ���� �������� , ������������ ℎ ���� ���� ����ℎ���� ���������������������������� ���� ����������������

����0 + ℎ → ����0, ���� → ����0, ���� → ����0 ���� ����0 → ����0,������������������������ ����′������������������������������������������������ �������������������� ���� ���������������� ���� ������������ �������� ���������������������������� ������������ ������������������������������������

������������ℎ���� lim (ℎ,����)→(0,0)

� ����(����0 + ℎ,����0 + ����)− ����(����0, ����0)− ��������(����0, ����0)ℎ − ��������(����0, ����0)����

√ℎ2 + ����2 � = 0

Derivate successive ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2

���� �������� ���������������� ���������������������������������������� 2 �������������������� �������� ���� �������� � ���� è ���������������������������������������� �������� ���� �∃�������� ,�������� �������� �����

�������� ���� �������� ���������������� ���������������������������������������� �������� ���� �∃������������,������������ ,������������ , ������������ �������� �����

Teorema di Schwarz ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ������������ �������������������������������� ���������������������������������������� 2 �������������������� �������� ���� �������� ������������ ���� ������������ ���������������� �������������������������������� �������� (����0,����0) ∈ ���� ������������������������ ������������(����0,����0) = ������������(����0,����0) Funzioni composte ������������ ���� ���������������������������������������� �������� ℝ ���� �������������������� ����(����) ���� ����(����) �������������������������������� �������������������������������� ������������ ���� ∈ ���� �������� ������������������������������������ �������������������� ����′������������������������������������������������ ����(����) ∶ ���� ∈ ���� → �����(����),����(����)� ∈ ℝ2 ������������ ���� �������� ���������������������������� ������������������������ �������� ℝ2 ����ℎ���� �������������������������������� �������� ������������������������������������ ����(����),������������������������ ����(����) ∈ ���� ∀���� ∈ ���� ������������������������ �������� ������������������������������������ �������������������������������� �������������������������������� ���� ∶ ���� → ℝ�������� �������������������������������� ����(����) = ����(����(����)) Teorema di derivazione delle funzioni composte ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2, ������������ ���� ∶ A → ℝ ������������������������������������������������������������ �������� ���� ������������ ����(����) ∶ ���� ∈ ���� → ����(����) = �����(����), ����(����)� ∈ ���� ���� �������������������� ����(����) ���� ����(����) ���������������������������������������� �������� ���� ������������������������ ������������������������������������ ����(����) = ���������(����),����(����)� = ���������(����)� �������� ℎ���� ����ℎ���� ����′(����) = �������������(����)�����′(����) + �������������(����)�����′(����) DIMOSTRAZIONE ������������ ���������������������������� ����(���� + ℎ)− ����(����) = ���������(���� + ℎ),����(���� + ℎ)� − ���������(����),����(����)� ������������ �������� ���������������������������� ������������ ���������������������������������������������������� ��������ò è ������������������������ ���� �������������(����),����(����)�[����(���� + ℎ)− ����(����)] + +�������������(����),����(����)�[����(���� + ℎ)− ����(����)] + ���� ��[����(���� + ℎ)− ����(����)]2 + [����(���� + ℎ)− ����(����)]2� ������������������������������������ �������������������� ������������ ℎ > 0 �������� ℎ���� ����ℎ���� ����(���� + ℎ)− ����(����)

ℎ = �������������(����)�

[����(���� + ℎ)− ����(����)] ℎ

+ �������������(����)� [����(���� + ℎ)− ����(����)]

ℎ +

+ ������[����(���� + ℎ)− ����(����)]2 + [����(���� + ℎ)− ����(����)]2�

��[����(���� + ℎ)− ����(����)]2 + [����(���� + ℎ)− ����(����)]2� ��� ����(���� + ℎ)− ����(����)

ℎ � 2

+ � ����(���� + ℎ)− ����(����)

ℎ � 2

���������������������������� �������� lim ℎ→0

����(���� + ℎ)− ����(����) ℎ

�������������������������������������������� ���������������� �������������������������������� �������� ����(����), �������� ���������������������������� ����ℎ����

����′(����) = �������������(����)�����′(����) + �������������(����)�����′(����)

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Derivate direzionali ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2, ������������ ���� ∶ A → ℝ ������������ �������������������������������� ������������������������������������������������������������ �������� (����0, ����0) ∈ ���� ���� ������������ ���� = (����1, ����2) ������������ ������������������������������������, ������������������������ �������� ���������������������������� �������� �������������������� ��������������������������������

������������������������ �������� ��������

(����0,����0) = � ���� �������� ����(����0 + ��������1, ����0 + ��������2)�

����=0 , ����ℎ���� ������������ �������� ���������������������������� �������� �������������������������������������������� �������������������� ��������������������������������

�������������������������������� �������������������� ��������(����0,����0)����1 + ��������(����0,����0)����2 = 〈∇����(����0, ����0), ����〉

������������ �������� �������������������������������������������������������� �������� ����������������ℎ���� − ��������ℎ���������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� � �������� ��������

(����0, ����0)� ≤ ‖∇����(����0, ����0)‖‖����‖ = ‖∇����(����0, ����0)‖

������������������������ − ‖∇����(����0,����0)‖ ≤ �������� ��������

(����0, ����0) ≤ ‖∇����(����0,����0)‖ ���� �������� ∇����(����0,����0) ≠ 0 �������� ���������������������������� ������������������������������������ ∇����(����0,����0) ������������������������ �������� ������������������������������������ �������� �������� �������������������� �������� ������������ �������� �������������������������������� �������������������������������������������� è ����������������������������,������������������������ �������� ���������������������������� ������������������������������������ −∇����(����0,����0) ������������������������ �������� ������������������������������������ �������� �������� �������������������� �������� ������������ �������� �������������������������������� �������������������������������������������� è ������������������������ �������� �������������������� ������������������������, �������� ������������ è �������������������� �������� ������������������������������������ ������������������������ �������� ������������������������������������ �������� ���������������������������� �������������������������������� Funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso ������������ ���� ������������������������ �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∶ A → ℝ ������������ �������������������������������� �������� ∇���� = (0,0) �������� ���� ������������������������ ���� è �������������������������������� �������� ���� DIMOSTRAZIONE �������������������� (����0, ����0) ∈ ���� ���� ������������������������ ���� �������� ������������ ������������������������������������������������: ����1 = {(����,����) ∈ ���� ∶ ����(����, ����) ≠ ����(����0,����0)} ���� ����2 = {(����,����) ∈ ���� ∶ ����(����, ����) = ����(����0,����0)},���������������� ���� = ����1 ∪ ����2,����1 ∩ ����2 = ∅,����2 ≠ ∅ ����1(����) ⇒ ����������������������������������������������������������������à �������� ���� ⇒ ����0(����),������������������������ ����1 = Å1,������������������������ ����1 è ������������������������ �������� (�̅���,�����) ∈ ����2 ������������������������ ∃��������(�̅���,�����) ⊂ ���� ∶ (����, ����) ∈ ��������(�̅���,�����) ������������������������ ����(����) = ����(�̅���(1− ����) + ��������, �����(1− ����) + ��������) ���� ∈ [0,1] ����(0) = ����(�̅���, �����) ���� ����(1) = ����(����,����) ����′(����) = ��������(�̅���(1− ����) + ��������, �����(1− ����) + ��������)(���� − �̅���) + ��������(�̅���(1− ����) + ��������, �����(1− ����) + ��������)(���� − �����) = 0 ∀���� ∈ [0,1] ���������������������������� �������� �������������������������������� è ��������������������,���� è ��������������������������������,������������������������ ����(�̅���, �����) = ����(����, ����),������������������������ ����2 è ������������������������ �������������������� ��������ò ���������������������������� ����ℎ���� ����1 = ∅,������������������������ ���� = ����2 ���� �������� �������������������������������� ���� è �������������������������������� �������� ���� Funzioni positivamente omogenee ������������ ���� �������� ���������������� �������� ℝ2,������������������������ �������� (����,����) ∈ ���� ������������������������ (��������, ��������) ∈ ���� ∀���� > 0, ���� ������������ ���� ∈ ℝ ������������ �������������������������������� ���� ∶ ���� → ℝ �������� ���������������� ���� − �������������������������������� �������� ����(��������, ��������) = ������������(����, ����) ∀���� > 0 Teorema di Eulero ������������ ���� ∶ ���� → ℝ ������������ �������������������������������� ������������������������������������������������������������ �������� �������� �������� ���������������� ������������������������ ���� ⊆ ℝ2 ������������������������ ���� è ���� − �������������������������������� �������� ���� ���������������� �������� ������������(����, ����) + ������������(����, ����) = ��������(����,����) ∀(����, ����) ∈ ����, ����ℎ������������������������ ������������ℎ���� ����������������������������à �������� ������������������������ DIMOSTRAZIONE

∀(����, ����) ∈ ���� ������������������������������������������������ �������� �������������������������������� ����(����) = ����(��������, ��������) ��������

������������ ���� > 0 ������������������������ �������� �������������������������������� ���� è ���� − �������������������������������� �������� ���� ���������������� �������� ����(����) = �������������������������������� ∀���� > 0, ������������������������ �������� ����′(����) = 0

���������������������������� ���� è ������������������������������������������������������������,�������������������������������� �������������������������������� ����ℎ���� �������������(��������, ��������) + ������������(��������, ��������)��������� − ����(��������, ��������)������������−1

����2���� = 0 ⇒

⇒ ��������������(��������, ��������) + ������������(��������, ��������)����� − ����(��������, ��������)�������������−1

����2���� = 0 ⇒

�������������(��������, ��������) + ������������(��������, ��������)����� − ����(��������, ��������)���� ��������+1

= 0 ⇒ ⇒ ����������������(��������, ��������) + ����������������(��������, ��������) = ��������(��������, ��������) ∀(����,����) ∈ ���� ∀���� > 0 ������������������������������������ �������� = ���� ���� �������� = ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ������������(����,����) + ������������(����, ����) = ��������(����, ����) ∀(����,����) ∈ ���� Omogeneità delle derivate parziali ������������ ���� �������� ���������������� ������������������������ �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ������������ �������������������������������� ���� − �������������������������������� �������� ���� �������� ���� è ������������������������������������������������������������ ������������������������ �������� ���� �������� ���������������� (���� − 1)− �������������������������������� �������� ���� DIMOSTRAZIONE ������������ �������������������������������������������� ����(��������, ��������) = ������������(����, ����) �������������������������������������������������������� �������������������������������� ���� ������������������������ �������� ���������������������������� ����ℎ���� ������������(��������, ��������) = ����������������(����, ����) ���� ������������(��������, ��������) = ����������������(����,����) ������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ��������(��������, ��������) = ��������−1��������(����, ����) ���� ��������(��������, ��������) = ��������−1��������(����,����)

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Formula di Taylor al II ordine con resto di Lagrange ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2, ������������ ���� ∈ ����2(����,ℝ) ���� ������������ (����, ����) ∈ ���� ������������ (ℎ,����) ∈ ℝ2 ∶ (���� + ����ℎ, ����+ ��������) ∈ ���� ∀���� ∈ [0,1] ������������������������ ∃���� ∈ (0,1) ∶ ����(���� + ℎ,���� + ����) = ����(����, ����) + ��������(����,����)ℎ + ��������(����,����)���� +

+ 1 2 �������������(��������)ℎ2 + 2������������(��������)ℎ���� + ������������(��������)����2�,���������������� �������� = (���� + ����ℎ, ���� + ��������)

DIMOSTRAZIONE ����(����) = ����(��������) = ����(���� + ����ℎ,���� + ��������) ����′(����) = ��������(��������)ℎ + ��������(��������)���� ����′′(����) = ������������(��������)ℎ2 + 2������������(��������)ℎ���� + ������������(��������)����2

������������ �������� ���������������������������� �������� ������������������������ �������� �������� ������������������������ ������������ �������������������� �������� ��������������������������������: ����(1) = ����(0) + ����′(0) + ����′′(����)

2 ���� ∈ (0,1)

������������������������ ∶ ����(���� + ℎ,���� + ����) = ����(����, ����) + ��������(����, ����)ℎ + ��������(����,����)���� + 1 2 �������������(��������)ℎ2 + 2������������(��������)ℎ���� + ������������(��������)����2�

Determinante hessiano ������������ ���� ������������ �������������������������������� �������� ������������ ������������������������������������ �������� ������������������������ ����2 �������� ������������������������������������ ������������������������������������������������ ℎ���������������������������� ��������(����,����) �������� ������������������������������������������������ �������������������� ���������������������������� ℎ���������������������������� ∇2����(����,����)

��������(����,����) = |∇2����(����, ����)| = � ������������ ������������ ������������ ������������

� = ������������������������ − ������������2

Formula di Taylor al II ordine con resto di Peano ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2, ������������ ���� ∈ ����2(����,ℝ) ���� ������������ (����, ����) ∈ ����

������������������������ ����(���� + ℎ,���� + ����) = ����(����, ����) + ��������(����, ����)ℎ + ��������(����, ����)���� + 1 2 �������������(����,����)ℎ2 + 2������������(����,����)ℎ���� + ������������(����, ����)����2�+

+����(ℎ2 + ����2) DIMOSTRAZIONE ������������ �������� ���������������������������� �������� ������������������������ ������������ �������������������� �������� �������������������������������� �������������������������������� ���������������������������������������� ����ℎ����:

� [������������(��������)− ������������(����,����)]ℎ2 = ����(ℎ2 + ����2) �������������(��������)− ������������(����,����)�ℎ���� = ����(ℎ2 + ����2) �������������(��������)− ������������(����, ����)�����2 = ����(ℎ2 + ����2)

⎩ ⎪⎪ ⎨

⎪⎪ ⎧ lim

(ℎ,����)→(0,0) [������������(��������)− ������������(����,����)]

ℎ2

ℎ2 + ����2 = 0

lim (ℎ,����)→(0,0)

�������������(��������)− ������������(����,����)� ℎ����

ℎ2 + ����2 = 0

lim (ℎ,����)→(0,0)

�������������(��������)− ������������(����, ����)� ����2

ℎ2 + ����2 = 0

���� ���������������������������� �������������������� ������������������������������������ ������������������������ ���������������� ������������������������������������������������, ℎ2

ℎ2 + ����2 ����

����2

ℎ2 + ����2 ���������������������������� ���� 1,������������������������

ℎ���� ℎ2 + ����2

�������������������� ���� 1 2

�0 ≤ (|ℎ| − |����|)2 = ℎ2 + ����2 − 2|ℎ����| ⇒ |ℎ����| ≤ ℎ2 + ����2

2 ⇒

|ℎ����| ℎ2 + ����2

≤ 1 2 � , ������������������������ ���������������� ��������������������

���� ���������������������������� �������� ℎ2 + ����2 ���� �������� �������������������������������������������� �������� ���������������������������� è ���������������������������������������� Definizioni di punti di estremo relativo per f ������������ ���� ⊆ ℝ2, ������������ ���� ∶ ���� → ℝ ������������ �������������������������������� ���� ������������ ���� = (����0, ����0) ∈ ���� �������� �������������������� ���� è �������� �������������������� �������� ���������������������������� (������������������������) �������������������������������� �������� ∃��������(����0, ����0) ∶ ����(����, ����) ≤ ����(����0,����0) (≥) ∀(����,����) ∈ ���� ∩ �������� Condizione necessaria al I ordine ������������ ���� ⊆ ℝ2 ���� ������������ ���� ∶ ���� → ℝ ������������ �������������������������������� ���������������������������������������� �������� (����0, ����0) ∈ �̇��� �������� (����0,����0) è �������� �������������������� �������� ���������������������������� �������������������������������� ������������ ����,������������������������ ��������(����0,����0) = ��������(����0, ����0) = 0 DIMOSTRAZIONE �������� ���������������������������� �������������������������������� �������� �������������������������������� �������������������������������� ������������ ����0 ������������������������������������ ������������′���������������� ���� ���� �������� �������������������������������� �������������������������������� ������������ ����0 ������������������������������������ ������������′���������������� ���� ������������ �������� �������������������������������� ���� ������������ ������������������������������������ ���������������� �������� ���������������������������������������� ���������������������������������������� �������� ���� ������������������������, ������������������������ ���������������������������� ����0 ���� ����0 ��������������������

�������� ���������������������������� �������������������������������� ������������������������������������������������������������ ������������ ����(����) = ����(����, ����0) ���� ������������ ℎ(����) = ����(����0,����), �������� �������������������������������� �������� ��������

(����0) ���� ����ℎ ��������

(����0) ���������������� ������������������������ ���� ����������������

���������������������������� �������� ��������

(����0) = ��������(����0,����0) ���� ����ℎ ��������

(����0) = ��������(����0, ����0), �������� ℎ���� ����ℎ���� ��������(����0,����0) = ��������(����0, ����0) = 0

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Condizione necessaria al II ordine ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2, ������������ ���� ∈ ����2(����,ℝ) ���� ������������ (����0, ����0) ∈ ���� �������� �������������������� �������� ������������������������ (����������������������������) �������������������������������� ������������ ����

������������������������ � ∇����(����0,����0) = 0� ������������(����0, ����0) ≥ 0 (≤) ��������(����0, ����0) ≥ 0

DIMOSTRAZIONE

������������������������������������ �������� �������������������������������� ���� = ����2 − ����4 ���� ����������������������������ℎ���������������� ����ℎ���� � ∇����(0,0) = 0� ������������(0,0) = 2 ≥ 0 ��������(0,0) = 0

, ������������������������ (0,0) �������������������������������� ������������������������

�������� �������������������� �������� ������������������������ ��������������������������������,���������������������������� ��������′���������������������������� ���������������������������� �������������������� ��������������������������������, ���������������������������� ����ℎ���� ������������ ���������������� ������������������������ ����������������′���������������� �������������������� ���� �������� �������������������������������� è ��������������������������������,������������������������ ������������ ���������������� ������������������������ ����������������′���������������� �������������������� ���� �������� �������������������������������� è ��������������������������������, ������������������������, ���������������������������� �������� �������������������� (0,0) ����′���������������������������� �������������������� ����������������,������������ ������������������������ �������� ���������������������������� ������������ �������������������� ���������������� ����ℎ���� ����(����,����) ≤ ����(0,0) ∀(����,����) ������������������������ ���������������� ����ℎ���� ����(����, ����) ≥ ����(0,0) ∀(����, ����),������������������������ (0,0) ������������ è ����é �������������������� �������� ���������������������������� ����é �������������������� �������� ������������������������ Condizione sufficiente al II ordine ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2, ������������ ���� ∈ ����2(����,ℝ) ���� ������������ (����0, ����0) ∈ ����

�������� � ∇����(����0, ����0) = 0� ������������(����0,����0) > 0 (<) ��������(����0, ����0) > 0

������������������������ (����0, ����0) è �������� �������������������� �������� ������������������������ (����������������������������) �������������������������������� ������������ ����

DIMOSTRAZIONE ������������ > ���� ⇔ ������������ > ���� �������������������� �������� ���������������������������������������� �������� ����������������, �������������������������������������������� ����ℎ���� �������� ������������(����0, ����0) > 0 ������������������������ �������������������������������������������� ������������ℎ���� ������������(����0, ����0) > 0 ��������(����0,����0) > 0 ⇒ ������������(����0, ����0)������������(����0, ����0)− ������������2 (����0, ����0) > 0 ⇒ ������������(����0,����0)������������(����0,����0) > ������������2 (����0, ����0), ���������������� �������� ���������������������������� ������������������������ è �������������������������������������������� �������������������������������� ���� ������������������������ �������� ���������������� ����������������ℎè è �������� �������������������������������� ������������������������ �������������������� ������������(����0,����0)������������(����0,����0) > 0,�������� �������� �������������������������������������������� ����ℎ���� ������������(����0, ����0) > 0 ������������������������ ������������ℎ���� ������������(����0,����0) > 0 ���������������������������������������� �������������������������������������������� �������� ���������������� è ������������������������: ∃��������(0,0) ∶ ����(����0 + ℎ,����0 + ����)− ����(����0, ����0) ≥ 0 ∀(����,����) ������������ �������� ���������������������������� �������� ������������������������ ������������ �������������������� �������� �������������������� �������� ℎ���� ����ℎ����

����(����0 + ℎ,����0 + ����)− ����(����0, ����0) = 1 2 �������������(����0, ����0)ℎ2 + 2������������(����0,����0)ℎ���� + ������������(����0,����0)����2� + ����(ℎ2 + ����2)

���������������� ����ℎ���� ������������(����0,����0) > 0, ∆ 4

= ������������2 (����0, ����0)− ������������(����0,����0)������������(����0,����0) = −��������(����0, ����0) ���� ���������������������������� ��������(����0, ����0) > 0, −��������(����0,����0) < 0 ������������������������ ������������ℎ2 + 2������������ℎ���� + ����������������2 > 0 ∀(ℎ,����) ∈ ℝ2 ∖ {(0,0)} ������������ ���� = {(ℎ,����) ∈ ℝ2 ∶ ℎ2 + ����2 = 1} �������������������������������� ���� ������������ ����(ℎ, ����) = ������������(����0, ����0)ℎ2 + 2������������(����0,����0)ℎ���� + ������������(����0,����0)����2 ���������������������������� ���� è �������������������������������� �������� ℝ2,������������ �������� ���������������������������� �������� �������������������������������������������� ∃�ℎ� ,������ ∈ ���� ∶ ����(ℎ,����) ≥ �����ℎ� ,������ = ���� > 0

���� �������������������� ������������ ���������������������������� ���� ���������������� ������������ ���������������� � ℎ

√ℎ2 + ����2 = ℎ� ,

���� √ℎ2 + ����2

= ������ , ������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ����

������������ ℎ2

ℎ2 + ����2 + 2������������

ℎ���� ℎ2 + ����2

+ ������������ ����2

ℎ2 + ����2 ≥ ���� ∀(ℎ,����) ∈ ℝ2 ∖ {(0,0)}

������������������������ ������������ℎ2 + 2������������ℎ���� + ����������������2 ≥ ����(ℎ2 + ����2)

���������������� ����ℎ���� ����(����0 + ℎ, ����0 + ����)− ����(����0,����0) = 1 2 �������������(����0,����0)ℎ2 + 2������������(����0, ����0)ℎ���� + ������������(����0, ����0)����2�+ ����(ℎ2 + ����2),

�������� ℎ���� ����ℎ���� ����(����0 + ℎ,����0 + ����)− ����(����0, ����0) ≥ ���� 2

(ℎ2 + ����2) + ����(ℎ2 + ����2)

���������������� ����ℎ���� lim (ℎ,����)→(0,0)

����(ℎ2 + ����2) ℎ2 + ����2

= 0,∀���� > 0 ∃�������� > 0 ∶ −���� < ����(ℎ2 + ����2) ℎ2 + ����2

< ���� ∀(ℎ,����) ∈ �������������(0,0)� ∖ {(0,0)}

������������������������������������ ���� = ���� 4

�������� ���������������������������� ����ℎ���� ∃�������� > 0 ∶ − ���� 4

< ����(ℎ2 + ����2) ℎ2 + ����2

< ���� 4

∀(ℎ, ����) ∈ �������������(0,0)� ∖ {(0,0)}

������������������������ ���� 2

(ℎ2 + ����2) + ����(ℎ2 + ����2) ≥ ���� 2

(ℎ2 + ����2)− ���� 4

(ℎ2 + ����2) = ���� 4

(ℎ2 + ����2) ����ℎ���� è �������������������������������������������� �������������������������������� ���� ������������������������ �������� ����������������,������������������������ ∃������������(0,0) ∶ ����(����0 + ℎ,����0 + ����)− ����(����0,����0) ≥ 0 ∀(ℎ,����) ∈ ��������(0,0)

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

CURVE ED INTEGRALI CURVILINEI Curve �������� ������������������������������������ �������������������� ������������ ������������������������������������������������ �������������������������������� ���� ∶ ���� → ℝ2,���������������� ���� è �������� ���������������������������������������� �������������������� �������������������� �������������������� �������� ������������������������������������ ����ℎ���� ������������������������������������ �������� ���������������������������������������� �������� ���� ���������������� �������������������� ������������������������������������ ����������������������������������������ℎ���� �������� ������������������������������������ ����(����)����������������′������������������������������������������������ ���� è �������������������� �������������������������������� �������������������� �������������������� ������������ �������������������� �������� ���������������� �������������������������������� ��������, �������������������������������� �������������������� ������������ �������������������� �������������������������������� ����1 ���� ����2 �������� ���� �������� ������������ ������������ ������������������������ ���������������������������� ������������′���������������������������������������� ����, ���������������������������� ����(����1) ≠ ����(����2) ������������ �������������������� �������������������������������� �������� �������� ���������������������������������������� ����ℎ���������������� ���� �������������������������������� ���� = [����, ����] �������� ���������������� ����ℎ���������������� �������� ����(����) = ����(����) ������������ �������������������� �������������������������������� �������� �������� ���������������������������������������� ����ℎ���������������� ���� �������������������������������� ���� = [����, ����] �������� ���������������� �������������������������������� �������� ����′������������������������������������������������ ���� è �������� ������������������������ ����1 �������� ���� ���� �������� ∀���� ∈ (����,����) �������� ���������������������������� ����′(����) è ���������������������������� ������������ ���������������������������� �������������������� �������� ���� ∶ [����, ����] → ℝ è ������������ �������������������������������� ���� ������������ ������������������������������������ �������� ������������������������ ����1, �������� �������������������� �������������������� �������� ������������������������������������ ����������������������������������������ℎ���� ����(����) = �����,����(����)� ℎ���� ���������������� �������������������������������� �������� ���������������������������� �������� ����, è �������������������������������� ���� �������� ���������������� �������������������� ���������������������������� Retta tangente a una curva ������������ �������������������� �������������������������������� ������������ ���� �������������������� ����(����0) ���� ����(����0 + ∆����) �������� ������������ �������������������� ℎ���� ������������������������������������ ����������������������������������������ℎ����

� ����(����) = ����(����0) + (���� − ����0)

����(����0 + ∆����)− ����(����0) ∆����

����(����) = ����(����0) + (���� − ����0) ����(����0 + ∆����)− ����(����0)

∆����

�������� �������� �������������������� �������� ������������������������������������ �������� �������������������������������� ������������ ���� ������������ ��������������������, �������� ���������������������������� ����′������������������������������������ �������������������� �������������������� �������������������������������� ����������������

�������������������� ���� ������������ �������������������� ����(����0), ���������������������������� �������������������������������� �������� ������������������������ �������� ���������������������������� � ����(����) = ����(����0) + (���� − ����0)����′(����0) ����(����) = ����(����0) + (���� − ����0)����′(����0)

�������� ���������������������������� ����′(����0) �������� ���������������� ���������������������������� ��������������������������������,������������������������ ����(����0) = ����′(����0) ‖����′(����0)‖

= � ����′(����0) ‖����′(����0)‖

, ����′(����0) ‖����′(����0)‖

� �������� ����������������

���������������������������� ��������������������������������

������������������������ ����(����0) = � ����′(����0) ‖����′(����0)‖

,− ����′(����0) ‖����′(����0)‖

� è �������� ���������������������������� ���������������������������������������� ���� ����(����0) ���� �������� ���������������� ���������������������������� ����������������������������

Lunghezza di una curva ������������ ���� ∈ ����0([����, ����],ℝ2) ���������������� �������� �������������������������������� [����,����], è ������������������������������������ ������������������������������������ �������� ���������������������������������������� ���� ������������������������������������ ������������ ���������������������������� �������������������� ���������������������������������������� ������������

��������������������������������, �������� ���������������� ���������������� �������� �������������������������������������������� �������� ��������������������,������������������������ ����(����) =��[����(��������)− ����(��������−1)]2 + [����(��������) − ����(��������−1)]2 ����

����=1

������������ ��������������������������������������������, �������� ����������������ℎ���������������� �������� ���� è ���������������� ����������������′���������������������������� ������������������������������������ �������� ����(����), ������������������������ ����(����) = sup ����∈���� ����(����)

Teorema di rettificabilità delle curve C1

�������� ���� ∈ ����1([����, ����],ℝ2) ������������������������ ����(����) = � ‖����′(����)‖�������� ����

���� = � ������′(����)�

2 + �����′(����)�

2 ��������

����

���� < +∞

ESEMPIO DI UNA CURVA DI LUNGHEZZA INFINITA ����(����) = �����,����(����)� ������������ ���� ∈ [0,1]

����(����) = � 0 �������� ���� = 0

sin ���� 2����

�������� ���� ∈ ]0,1]

�������������������������������� ����������������′���������������������������� ���� = 0 �������� ℎ���� ����ℎ����:���� = �������� < ��������−1 < ⋯ < �������� = 1

2���� + 1 < ⋯ < ����0 = ���� = 1

�������� �������������������� ���� ������������ �������������������� �������� ������������à ���������������������������������������� � 1

2���� + 1 ,

1 2���� + 1

sin� ���� 2

(2���� + 1)��

������������������������ ����(��������) = � 1

2���� + 1 ,

1 2���� + 1

sin � ���� 2

+ ���������� = � 1

2���� + 1 ,

1 2���� + 1

cos(��������)� = � 1

2���� + 1 ,

1 2���� + 1

(−1)����� �������� ����������������ℎ���������������� �������������������� �������������������� ���� è �������������������������������� ���� ������������������������ �������������������� �������������������� �������������������� ������������ ����������������������������������������, ������������������������

����(����) ≥��(�������� − ��������−1)2 + � (−1)����

2���� + 1 −

(−1)����−1

2(���� − 1) + 1 � 2����

����=1

>��� (−1)����

2���� + 1 −

(−1)����−1

2(���� − 1) + 1 � 2����

����=1

=�� 1

2���� + 1 −

1 2���� − 1

� ����

����=1

=�� 2���� − 1− (2���� + 1)

4����2 − 1 �

����

����=1

= 2�� 1

4����2 − 1 �

����

����=1

= +∞,������������������������ ������������ �������� ���������������������������� ������������ ������������������������������������ ����(����) = +∞

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Curve generalmente regolari (regolari a tratti) ������������ �������������������� ���� ∶ [����,����] → ℝ2 �������� ���������������� ������������������������������������������������ ��������������������������������, ���� �������������������������������� ���� ������������������������, �������� ������������������������ ������������ ���������������������������������������� {���� = ����0 < ����1 < ⋯ < �������� = ����} ����������������′���������������������������������������� [����,����] ���������������� ����ℎ���� �������� �������������������� �������� = ����|[��������−1,��������] è �������������������������������� ∀���� ������������������������, �������� ���� ∶ [����, ����] → ℝ2 è ������������ �������������������� ������������������������������������������������ ��������������������������������, �������� ������������ ����������������ℎ���������������� �������� ���������������������������� ������������ì:

����(����) =�� ‖����′(����)‖�������� ��������

��������−1

����

����=1

Curve equivalenti ������������ �������������������� ���� ∶ ���� → ℝ2 ���� ���� ∶ ���� → ℝ���� �������� ������������������������ �������������������������������������������� �������� ������������������������ �������� �������������������������������������������� �������������������������������������������� �������� ������������������������������������,�������������������� ������������ ������������������������������������������������ ���� ∶ ���� → ���� �������� ������������������������ ����1, ���������������� ����ℎ���� ����′(����) ≠ 0 ∀���� ∈ ����, ������������ ������������ �������� �������������������� ����(����) = ���������(����)�,������������������������ ������������ℎ���� ������������ ������������������������������������������������ ����−1 ∶ ���� → ���� �������� ������������������������ ����1, ���������������� ����ℎ���� (����−1)′(����) ≠ 0 ∀���� ∈ ����, ������������ ������������ �������� �������������������� ����(����) = ���������−1(����)� Verso di percorrenza (orientamento) �������� ���������������� �������������������� �������������������������������� ������������������������������������ �������� �������������������� �������� ��������������������������������������������,���� ������������������������������������������������, ���������������������������� �������������������� �������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� �������������������������������������������� �������� ���������������� ����ℎ���� �������� �������������������� ����1 = ����(����1) ���������������������������� �������� �������������������� ����2 = ����(����2) ������������ �������������������� ���������������������������� ������������ ������������������������������������ ���� (�������������������� �������������������� ���� ������������������������������������) �������� ����1 < ����2 Lunghezza di due curve equivalenti ������������ �������������������� ���������������������������������������������������� �������������������������������������������� ℎ���������������� �������� ������������������������ ����������������ℎ���������������� DIMOSTRAZIONE

���������������������������������������� ����ℎ���� �������� �������������������� ���� ������������ ��������������������������������, ���������������������������� ���� è ���������������������������������������������������� ����(����) = � ������′(����)� 2

+ �����′(����)� 2 ��������

����

����

���������������������������� �������� �������������������� ���� ���� ���� ��������������������������������������������, �������� ℎ���� ����ℎ���� ����(����) = ���������−1(����)�,������������������������ �������� ���������������������������������������� �������������������� �������������������� ���� �������������������������������� ���� ������������������������ �������� ���� ���������������� ����(����) = ���������−1(����)� ���� ����(����) = ���������−1(����)�

�������� ���������������� �������������������������������� �������������������������������� ���� ���� ���������������� ������������������������������������������������������������ �������� ��������

= ����′�����−1(����)� ��������−1(����) ��������

���� �������� ��������

= ����′�����−1(����)� ��������−1(����) ��������

������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ����′�����−1(����)� = �������� ��������

��������−1(����) ��������

���� ����′�����−1(����)� = �������� ��������

��������−1(����) ��������

������������������������������������ ������������������������ ������������������������ �������� ����(����), ���������������������������� ����ℎ���� �������� = ��������−1(����) ��������

��������, �������� ℎ���� � �� �������� �������� � 2

+ � �������� �������� � 2 ��������

−1(����) ��������

��������� −1(����) �������� �

�������� ����(����)

����(����)

�������� �������� ����������������������������à ��������−1(����) ��������

��������� −1(����) �������� �

��������ò ������������������������ �������������������������������� 1 ���� − 1 ���� ���������������������������� �������������������� ������������������������������������ �������� ����(����)

������������������������ �������� �������������������������������� ���� ���������������� �������� ℎ���� � ������′(����)� 2

+ �����′(����)� 2 ��������

����

���� = � ������′(����)�

2 + �����′(����)�

2 ��������

����

����

Ascissa curvilinea ������������ ���� ∶ [����,����] → ℝ2 ������������ �������������������������������� ���������������������������������������������������������������� �������������������� �������������������� �������������������������������� ���� ���� ������������ ����0 ∈ [����,����]

�������� �������������������������������� ����(����) = � ������′(����)� 2

+ �����′(����)� 2 ��������

����

����0 , ����ℎ���� �������������������������������������������� ���������������� ����������������ℎ���������������� ����������������′���������������� �������� ��������������������

������������������������������������������������ ����(����0) ���� �������� �������������������������������� �������������������� ����(����), è ������������������������������������������������ ������������������������������������,���������������������������������������� ���������������� ����ℎ���� �������� ��������

> 0 ∀����, ������������������������ ���� = ����(����) è �������� �������������������������������������������� �������������������������������������������� �������� ������������������������������������ ���� ∶ [����,����] → [����(����), ����(����)] �������� ������������������������������������ ���� è �������������������� ���������������������������� ���������������������������������������� �������� ���� = ����(����) è �������� �������������������������������������������� ���������������������������� �������� ���� = ����(����) ���� ����(����) = ���������(����)�,������������������������ ���������������������������� ����ℎ����

����′(����) = ����′�����(����)� �������� ��������

= ����′�����(����)� �����′�����(����)��

, ������������������������ ‖����′(����)‖ = 1 ∀���� ∈ [����(����), ����(����)],������������������������ ����′(����) è �������� ����������������������������

�������������������������������� ���������������� �������������������� ������������ �������������������������������� �������������������� �������� ���������������������������� ���������������������������������������� ����

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Integrale curvilineo ������������ ���� ������������ �������������������� �������������������������������� ���� ������������ ���� ∶ [����, ����] → ℝ2 �������� ������������ ���������������������������������������������������������������� �������������������������������������������� ������������ ��������(����) = ����([����,����]) ⊂ Ω ������������������������ �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∈ ����0(Ω,ℝ) ����′������������������������������������ ���������������������������������������� �������������������� �������������������������������� ���� ������������������������ ���������������� �������������������� ���� è �������������������������������� �������������������� ����������������������������

������������� ����

= � ���������(����)�‖����′(����)‖�������� ����

����

�������������������������������� ���������������������������� ������������������������������������ ����ℎ���� �������� ���������(����)� = 1 ������������������������ ����′������������������������������������ ���������������������������������������� �������������������������������������������� ���������������� ����������������ℎ����������������

�������������������� ��������������������,������������������������ ������������� ����

= ����(����)

������������ ������������������������������������ ���������������������������������������� ������������������������ �������� ���������������� ��������������������������������à: 1)∫ (�������� + ��������)������������ = ���� ∫ ���������������� + ���� ∫ ����������������

2)�∫ ���������������� � ≤ max(����,����)∈��������(����)|����(����, ����)|����(����)

3) �������� ����~���� ������������������������ ∫ ���������(����)�‖����′(����)‖���������������� = ∫ ���������(����)�‖���� ′(����)‖����������������

Baricentro di una curva ������������ ���� ∶ [����,����] → ℝ2 ������������ �������������������� �������������������������������� �������������������������������� ���� ������������������������

�������� ������������������������������������ ���������������������������������������� �������������������� �������������������� ���� �������� �������������������� �������� ���������������������������������������� �������� = � 1 ����(����)

������������� ����

, 1 ����(����)

������������� ���� �

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

FUNZIONI IMPLICITE Teorema del Dini (delle funzioni implicite) ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2,���� ∈ ����1(����,ℝ) ������������ (����0,����0) ∈ ���� ∶ ����(����0,����0) = 0 ���� ��������(����0,����0) ≠ 0 ������������������������ ∃���� > 0, ���� > 0 ∶ ����(����, ����) = 0 ������������������������������������ �������������������������������������������������������� ������������ �������������������������������� ����(����) ∶ ���� ∈ ��������(����0) → ���� ∈ ��������(����0), ���������������� ��������(����0) = (����0 − ����,����0 + ����), ��������(����0) = (����0 − ����, ����0 + ����) ���� ���� = ����(����), ������������è ������������ �������������������������������� ���������������� ����ℎ���� ���������,����(����)� = 0 ∀���� ∈ (����0 − ����,����0 + ����)

����������������������������, �������� ℎ���� ����ℎ���� ���� è ���������������������������������������� �������� ��������(����0) ���� ����ℎ���� ����′(����) = − �������������,����(����)� �������������,����(����)�

DIMOSTRAZIONE ������������������������������������ �������� ���� ������������ ��������(����0, ����0) > 0, ������������������������, ������������ �������� ������������������������������������à �������� ��������(����,����),∃���� > 0 ∶ ��������(����,����) > 0 �������� ��������(����0) × ��������(����0) ������������������������ ����(����0,����) è ������������������������������������������������ ������������������������������������ �������� ��������(����0) ����, ���������������� ����ℎ���� ����(����0,����0) = 0, �������� ℎ���� ����ℎ���� ����(����0,����0 − ����) < 0 ���� ����(����0,����0 + ����) > 0 ������������ �������� ���������������������������� �������������������� ���������������������������������������� ������������ ��������������������, ∃���� ∈ ]0, ����[ ∶ ����(����, ����0 − ����) < 0 ���� ����(����,����0 + ����) > 0 ∀���� ∈ ��������(����0) ������������������������ �������� �������������������������������� ���� → ����(����, ����) è ������������������������������������������������ ������������������������������������ ���� ������������������������ ������������������������ ���������������������������� ���������������� ���������������������������� �������� ��������(����0) ������������ �������� ���������������������������� ������������ ������������������������ ������������������������������������, ∃! ���� ∈ ��������(����0) ∶ ����(����,����) = 0,������������������������ è �������������������� ���������������������������� ����′������������������������������������ �������������������� �������������������������������� ������������������������������������ ���� = ����(����) ������������������������������������à �������� ���� ������������������������������������ �������� �������������������� ���� ∈ ��������(����0),�������� ������������ℎ���� ���� + ℎ ∈ ��������(����0) �������� ℎ è ���������������������������������������������������������������� ���������������������������� ������������������������ �������� ���������,����(����)� = 0 ������������������������ ������������ℎ���� ��������� + ℎ,����(���� + ℎ)� = 0 ���������������������������������������� �������� ���������������������������� �������� �������������������� ���� ����(����) = ���� ����� + ����ℎ,����(����) + ���������(���� + ℎ)− ����(����)�� ������������ ���� ∈ [0,1] �������� ℎ���� ����ℎ���� ∃(����, ����) ∶ ����′(����) = ����(1)− ����(0) = ��������� + ℎ,����(���� + ℎ)� − ���������,����(����)� = 0 ������������������������ ∃(����, ����) ������������������������������������������������ �������� �������������������������������� �������� ���������������������������� �����,����(����)� ���� ����� + ℎ,����(���� + ℎ)�,������������������������ ������������������������������������������������ ���� ��������(����0) × ��������(����0), ���������������� ����ℎ���� ����′(����) = ��������(����, ����)(���� + ℎ − ����) + ��������(����, ����)�����(���� + ℎ)− ����(����)� = 0

������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ����(���� + ℎ)− ����(����) = − ��������(����, ����) ��������(����, ����)

ℎ ⇒ |����(���� + ℎ)− ����(����)| = |��������(����, ����)| ���������(����, ����)�

|ℎ|

������������ ���� = max ��������(����0)��������(����0)

|��������| ���� ���� = min��������(����0)��������(����0) ���������� ,������������������������

|��������(����, ����)| ���������(����, ����)�

|ℎ| ≤ ���� ����

|ℎ|, ����ℎ���� ������������ ℎ → 0 �������� ���� ����������������, ������������������������

lim ℎ→0 ����(���� + ℎ) = ����(����),������������������������ �������� �������������������������������� ���� è ��������������������������������

��������������������������������������������à �������� ���� ������������ �������� ������������������������������������à �������� ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ����(���� + ℎ) → ����(����),������������ ���������������������������� �������� ���� �������� ���������������� ��������������������������������, ������������������������

lim ℎ→0

����(���� + ℎ)− ����(����) ℎ

= lim ℎ→0 �− ��������(����, ����) ��������(����, ����)

� = − �������������,����(����)� �������������,����(����)�

, ������������������������ �������� �������������������������������� ���� è ���������������������������������������� �������� ��������(����0), ������������

����′(����) = − �������������,����(����)� �������������,����(����)�

Punto a gradiente non nullo di un insieme degli zeri ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2,���� ∈ ����1(����,ℝ) ������������ ���� = {(����, ����) ∈ ���� ∶ ����(����, ����) = 0} ����′���������������������������� �������������������� ���������������� �������� ���� �������� ∇����(����0, ����0) ≠ 0 ������������������������ �������� �������� ���������������������������� �������� (����0,����0) ����′���������������������������� ���� �������������������������������� ������������ �������� ���������������������������� �������� ������������ �������������������� �������������������������������� ���� �������������������������������� �������� ������������ �������������������� �������������������������������� �������� (����0, ����0) è ��������(����0,����0)(���� − ����0) + ��������(����0,����0)(���� − ����0) = 0 DIMOSTRAZIONE ���������������������������������������� ����ℎ���� ��������(����0,����0) ≠ 0, ������������ �������� ���������������������������� ������������ ���������������� ����′���������������������������� ���� �������������������������������� �������� �������� ���������������������������� �������� (����0,����0) ������������ �������� ���������������������������� �������������������� �������������������������������� ����(����) �������� ������������������������ ����1,������������������������ ������������ �������� ���������������������������� �������� ������������ �������������������� �������������������������������� ���� ��������������������������������,

���������������� ����ℎ���� ����(����0) = ����0 ���� �������� ������������ �������������������������������� è ����′(����0) = − ��������(����0, ����0) ��������(����0,����0)

����′������������������������������������ �������������������� �������������������� �������������������������������� è ���� = ����0 + ����′(����0)(���� − ����0) ⇒ ���� − ����0 = − ��������(����0,����0) ��������(����0,����0)

(���� − ����0) ⇒

��������(����0, ����0)(���� − ����0) = −��������(����0, ����0)(���� − ����0) ⇒ ��������(����0, ����0)(���� − ����0) + ��������(����0, ����0)(���� − ����0) = 0

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Massimi e minimi vincolati: moltiplicatori di Lagrange ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2, �������������������� ���� ���� ���� ∈ ����1(����,ℝ) ���� ������������ ∇���� ≠ (0,0) �������� ���� ������������ ���� = {(����, ����) ∈ ���� ∶ ����(����, ����) = 0} ����′���������������������������� �������������������� ���������������� �������� ���� ������������������������ ������������������������ �������������������� ������������ ������������������������������������ ������������ ���������������������������� �������� ���� ����������������′���������������������������� ����, ����ℎ���� ���������������� �������������������� ���������������������������� ������������������������������������������������ ���� ������������������������������������, �������� ������������������������ �������� ������������������������������������ ������������������������������������ �������������������� ���������������������������������������� ����(����,����) = 0 ����′���������������������������� ���� �������������������������������� ������������ �������� ���������������������������� �������� ������������ �������������������� �������������������������������� ���� �������������������������������� ����(����) = �����(����),����(����)�,������������������������ ���������������������������� ������������ ���������������������������� ������������������������������������������������ ���������������������������� ���������������������������� ������������ ���������������������������� �������� Φ(����) = ���������(����),����(����)�,������������������������ �������� ����0 è �������� �������������������� �������� ���������������������������� ��������������������������������,������������������������ Φ′(����) = 0,������������������������ ��������(����0,����0)����′(����0) + ��������(����0,����0)����′(����0) = 0 ���������������� ������������������������������������ �������������������������������� ���� �∇����(����0,����0),����′(����0)� = 0,������������������������ ∇����(����0, ����0) ⊥ ����′(����0) ���������������������������� ∇����(����0,����0) ⊥ ����′(����0), �������� ℎ���� ����ℎ���� ∇����(����0, ����0) ∥ ∇����(����0,����0),������������������������ ∃���� ∈ ℝ ∶ ∇����(����0,����0) = ����∇����(����0,����0)

������������������������ �������� ��������ò �������������������������������� �������� ���������������������������� ����ℎ���� ������������ℎ���� ���� �������� ����: � ��������(����,����) = ������������(����,����) ��������(����,����) = ������������(����,����) ����(����, ����) = 0

⇒ � ℒ���� = ��������(����,����)− ������������(����, ����) = 0 ℒ���� = ��������(����,����)− ������������(����, ����) = 0

ℒ���� = ����(����,����) = 0

���� �������������������� �������� ���������������������������� �������������������� �������������������������������� ���� ������������ �������� ���������������������������� ���� ���������������� �������������������� ���������������������������� �������������������� �������������������������������� �������������������������������������������� ℒ(����,����, ����) = ����(����, ����)− ��������(����,����) Derivata seconda di una funzione implicita ������������ ���� ∈ ��������(����,ℝ) ���� ���� ∈ ��������(��������(����0),ℝ)

�������� ������������ �������� ���������������������������� ������������ ���������������� ����′(����0) = − ��������(����0,����0) ��������(����0,����0)

������������������������

����′′(����) = −� ������������� + ������������(����′(����0)��������� − ��������������������� + ������������(����′(����0)�

���������� 2 � =

= −� �������� ������������� + ������������ �−

�������� �������� �� − �������� ������������� + ������������ �−

�������� �������� ��

���������� 2 � = −

⎜ ⎛�������������������� − �������������������� − �������������������� +

������������(��������)2 ��������

���������� 2

⎟ ⎞

=

= −� ����������������������

2 − 2���������������������������� + ������������(��������)2

���������� 3 �

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

FORME DIFFERENZIALI LINEARI Forme differenziali lineari ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2 �������� ������������������������������������ �������������������� ���������������������������������������������������� ���������������������������� ������������ ������������������������������������������������ ������������ ���������������� ����(����, ����) = ����(����,����)�������� + ����(����,����)�������� ������������ Γ ������������ �������������������� �������������������������������� ���� ������������������������ �������� ���������������������������������������������������������������� �������������������������������������������� �������� ������������������������������������ ������������������������������������ �������������������� �������������������� ���������������������������������������������������� ������������������������ ���������������� �������������������� Γ ����′������������������������������������

����� Γ

= � ����������(����),����(����)�����′(����) + ���������(����), ����(����)�����′(����)��������� ����

����

������������ ����(����) = �����(����),����(����)� ∶ ���� ∈ [����,����] → ℝ2 ���� ���� = �����(����,����),����(����,����)� �������� ℎ���� � 〈���������(����)�,����′(����)〉�������� ����

���� = �〈����,����〉�������� Γ

����′������������������������������������ �������� ������������ �������������������� ���������������������������������������������������� ���������������� �������� ���������������� ��������������������������������à: 1)∫ ����Γ = −∫ ����−Γ 2) ������������������������������������ Γ �������� �������������������� �������������������������������� ���� ������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ∫ ����Γ = ∑ ∫ ����Γ����

���� ����=1

3)∫ ��������1 + ��������2Γ = ���� ∫ ����1Γ + ���� ∫ ����2Γ 4)�∫ ����Γ � ≤ ����(Γ) maxΓ �����

2(����, ����) + ����2(����, ����) Forme differenziali esatte ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∈ ����0(����)

���� �������� ���������������� ������������������������ �������� ���� �������� ∃���� ∈ ����1(����,ℝ) ∶ � ��������(����, ����) = ����(����,����) ��������(����,����) = ����(����,����)

∀(����,����) ∈ ����,������������������������ �������� ���� = ��������

Primitive di una forma differenziale esatta ������������ ���� ������������������������ �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∈ ����0(����) ������������ �������������������� ���������������������������������������������������� ������������������������ �������� ��������1 = ��������2 = ���� ������������������������ ����1 − ����2 = �������������������������������� �������� ����,������������������������ �������������������� �������� ������������������������������������ �������� ������������������������������������ �������� ������������ ������������ ����′�������������������������������� �������� ������������ �������������������������������� DIMOSTRAZIONE ������������ ���������������������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� ∇(����1 − ����2) = (0,0),������������������������ ����1 − ����2 ���������������� ������������������������ ������������ �������������������������������� Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali ������������ ���� ������������������������ �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∈ ����0(����) ������������������������ �������� �������������������������������� ������������������������������������������������ ���������������� ��������������������������������������������:

1) ���� è ������������������������ 2)∫ ����Γ = 0 ∀ �������������������� Γ ������������������������������������������������ �������������������������������� ������������ ��������(Γ) ⊂ ���� ����ℎ���������������� 3)∫ ����Γ1 = ∫ ����Γ2 ∀ �������������������� Γ1 ���� Γ2 ������������������������������������������������ �������������������������������� ������������ ��������(Γ1, Γ2) ⊂ ���� ����ℎ���� ℎ���������������� ������������������������ ���������������������������� ���� ������������������������ �������������������� �������� ��������������������������������������������

DIMOSTRAZIONE

�(����) ⇒ (����)� �������� ���� = �������� ������������������������ ������������ �������������������������������������������� ����� Γ

= ���������(����)� − ���������(����)�

���������������������������� �������� �������������������� è ����ℎ����������������,������������ ���������������������������� ����������������������������������������, ������������������������ ����� Γ

= 0

�(����) ⇒ (����)� �������� �������� ������������ �������������������� ℎ���������������� ������������ ������������������������ ���������������������������� ���� �������� ������������������������ �������������������� �������� ��������������������������������������������, ������������������������ �������� ��������ò ������������������������������������ ������������ �������������������� ����ℎ���������������� ���������������������������������������� ������������ �������������������� ������������ ��������������������

������������������������ ������������ ���������������������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� � ���� Γ1⋃(−Γ2)

= 0 ⇒ � ���� Γ1

+� ���� −Γ2

= 0 ⇒ � ���� Γ1 − � ���� Γ2

= 0 ⇒ � ���� Γ1

= � ���� Γ2

�(����) ⇒ (����)� ������������ (����0, ����0) ∈ ���� ���� ������������ ����(����,����) = ����� Γ

, ���������������� Γ è �������� �������������������� ������������������������������������������������ ����0 ���� ���� ∈ ����

���������������������������������������� �������� �������������������������������� �������������������������������� �������������������� �������������������������������� ����(����) = (���� + ����,����) ������������ ���� ∈ [0,ℎ] ���� ���������������������������� �������� ���� �������� ���������������� ���������������� ����ℎ���� ���� + ���� ∈ ����, ������������ì ������������������������������������ ������������ ℎ ���� ���������������������������� �������� ������������������������ ������������ ℎ ����ℎ���� �������������������� ���� ���������������� �������� ℎ���� ����ℎ����

lim ℎ→0

����(���� + ����,����)− ����(����,����) ℎ

= lim ℎ→0

∫ [����(���� + ����,����)����′ + ����(���� + ����, ����)����′]��������ℎ0 ℎ

���������������������������� ������������ �������������������������������������������� ����′ = 1 ���� ����′ = 0 �������� ℎ���� ����ℎ���� lim ℎ→0

∫ ����(���� + ����, ����)��������ℎ0 ℎ

���� ⇔ ����(����, ����)

�������� ����������������������������à lim ℎ→0

����(���� + ����, ����)− ����(����, ����) ℎ

�������������������������������������������� ���� ��������(����, ����),���������������� ����ℎ���� è ������������������������������������ ������������������������������������ ������������������������ ������������������������������������������������ ������������ℎ���� ���� ����, �������� ℎ���� ����ℎ���� ���� è ������������������������������������������������������������ �������� ���� ���� ���� = ��������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Teorema sulle forme differenziali esatte ������������ ���� ������������������������ �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∈ ����0(����) ������������ �������������������� ���������������������������������������������������� ������������������������

������������������������ ∀ �������������������� Γ �������������������������������� ���� ������������������������ ������������ ��������(Γ) ⊂ ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ����� Γ

= ���������(����)� − ���������(����)�,����������������

����(����) = (����(����),����(����)) ������������ ���� ∈ [����, ����] DIMOSTRAZIONE

���������������� ����ℎ���� ���� = ������������ + ������������,����� Γ

= � ����������(����),����(����)�����′(����) + ���������(����), ����(����)�����′(����)��������� ����

���� =

= � ��������������(����), ����(����)�����′(����) + �������������(����),����(����)�����′(����)��������� ����

���� = � �

���� �������� ���������(����), ����(����)�� ��������

����

���� = ���������(����)� − ���������(����)�

Forme differenziali chiuse ������������ ���� ������������������������ �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∈ ����1(����) ���� �������� ���������������� ����ℎ���������������� �������� ���� �������� �������� = �������� �������� ���� Chiusura ed esattezza delle forme differenziali ������������ ���� ������������������������ �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∈ ����1(����) �������� ���� è ������������������������ ������������������������ è ������������ℎ���� ����ℎ����������������,�������� �������� ���� è ����ℎ���������������� ������������ è �������������������� ����ℎ���� ������������ ������������ℎ���� ������������������������ DIMOSTRAZIONE �(⇒) ��������: ���� è ������������������������� ���������������� ����ℎ���� ���� = ��������,�������� = ���� �������� ���� ���� �������� = ���� �������� ���� ���������������������������� ���� ∈ ����1(����),���� ∈ ����2(����,ℝ),������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ������������ = �������� �������� ���� ���� ������������ = �������� �������� ���� ���������������� ����ℎ���� ������������ = ������������, �������� = ��������,������������������������ ���� è ����ℎ����������������

�(⇍) ��������: ���� è ������������������������� ������������ ���� = −���� ����2 + ����2

�������� + ����

����2 + ����2 �������� ������������ ���� = ℝ2 ∖ {(0,0)}

���������������������������� �������� = �������� = ����2 − ����2

(����2 + ����2)2 ���� ���� ∈ ����∞(����), �������� ��������ò ���������������� ����ℎ���� ���� è ����ℎ����������������

���������������������������� ���� > 0,�������������������������������� �������������������������������� ���������������������������������������� �������� ������������������������ ����������������������������: ����� = ���� cos �������� = ���� sin ���� ������������ ���� ∈ [0,2����]

������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ����� Γ

= � � −���� sin ���� ����2

(−���� sin ����) + ���� cos ���� ����2

(���� cos ����)� �������� 2����

0 = � 1��������

2����

0 = 2����

���������������������������� ����� Γ ≠ 0,���� ������������ è ������������������������

Insieme semplicemente connesso �������� ������������������������ �������������������������������� ���� �������� ℝ���� �������� ���������������� ���������������������������������������������������� �������������������������������� �������� ������������ ���������������� �������������������� Γ ������������������������������������������������ �������������������������������� �������������������������������� ���� ����ℎ���������������� ������������ ��������(Γ) ⊂ ���� �������� ��������ò �������������������������������������������� Γ ������������ ������������������������������������à �������� �������� �������������������� �������������������� ������������������������ �������������������� �������� ���� Forme differenziali in un aperto semplicemente connesso di R2 ������������ ���� ������������������������ ���������������������������������������������������� �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∈ ����1(����) �������� ���� è ����ℎ���������������� �������� ���� ������������������������ è ������������ℎ���� ������������������������ �������� ���� DIMOSTRAZIONE

�������������������������������� ���������������������������������������� ����ℎ���� ∀ �������������������� Γ ������������������������������������������������ ��������������������������������, �������������������������������� ���� ����ℎ���������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� ����� Γ

= 0

������������ ���� = ������������(Γ), ������������������������ ���� ∈ ����1(����)

�������������������� ���������������������������� �������� ������������������������������������à, �������� ��������ò ���������������� ����ℎ���� Γ = +��������, ������������������������ ����� Γ

= ������������� + ������������ Γ

= � ������������ + ������������ +��������

������������ �������� ���������������������������� �������� ������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� � ������������ + ������������ +��������

=���������� − ������������������������� ����

���������������������������� ���� è ����ℎ����������������,���������� − ������������������������� ����

= 0, ������������������������ ����� Γ

= 0,������������������������ ���� è ������������������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Teorema sulle forme differenziali radiali ������������ ���� ������������������������ �������� ℝ2 ���� ������������ ���� = �����2 + ����2 ������������ �������������������� ���������������������������������������������������� ���� �������� ������������������������������������ ���������������������������� �������� è ������������ ���������������� ���� = ����ℎ(����)�������� + ����ℎ(����)�������� ������������ ℎ(����) ∈ ����0(ℝ+,ℝ) �������� ���� è ����������������������������,������������������������ è ������������������������ DIMOSTRAZIONE

������������ ����(����) = �����ℎ(����)�������� , ������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ����′(����) = ����ℎ(����) = �����2 + ����2ℎ ������2 + ����2�

������������ ���� = ����(����) = ���� ������2 + ����2� ,������������������������ �������� = ����′ ������2 + ����2� ����

�����2 + ����2 = ����ℎ ������2 + ����2� = ����

������������������������������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� �������� = ����ℎ ������2 + ����2� = ����, ������������������������ �������� = ���� Teorema sulle forme differenziali a coefficienti omogenei ������������ ���� �������� ���������������� �������� ℝ2,������������������������ �������� ���� ∈ ���� ������������������������ �������� ∈ ���� ∀���� ∈ ���� ∀���� > 0, ���� ������������ ���� ∈ ����1(����) ������������ �������������������� ���������������������������������������������������� ����ℎ���������������� �������� ���� ���� ������������ ������������������������������������������������ �������������������� �������������������������������� �������� ������������������������ ����1 ���� ��������������������������������, ������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ������������(����, ����) + ������������(����, ����) = ��������(����,����),�������� �������������������� ���� ≠ −1

������������������������ ���� è ������������������������ ���� �������� �������������������������������� ���� = ��������(����,����) + ��������(����, ����)

���� + 1 è ������������������������������������ �������� ����

DIMOSTRAZIONE

������������ ���� = ��������(����, ����) + ��������(����, ����)

���� + 1 �������� ℎ���� ����ℎ����

�������� ��������

= ����(����, ����) + ������������(����,����) + ������������(����,����)

���� + 1

���������������������������� �������� �������������������� ���������������������������������������������������� è ����ℎ���������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� �������� ��������

= ����(����, ����) + ������������(����,����) + ������������(����, ����)

���� + 1

������������������������,������������ �������� ���������������������������� �������� ������������������������, �������� ℎ���� ����ℎ���� �������� ��������

= ����(���� + 1) ���� + 1

= ����

������������������������������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� �������� ��������

= ����, ������������������������ �������� = ����

Forme differenziali nello spazio e campi irrotazionali ������������ ���� = ������������ + ������������ + ������������ ������������ �������������������� ���������������������������������������������������� �������� ������������������������ ����1(����) ����������������′������������������������ ���� �������� ℝ3 ���� ������������ ���� ������������ ������������ ������������������������������������ ���������������� �������������������� ���������������������������������������������������� �������� ���������������� ����ℎ���������������� �������� �������� = �������� ,�������� = �������� ���� �������� = �������� ������������������������ �������� �������������������� ���������������������������������������������������� è ������������������������, �������� �������������������� ���� = (����,����, ����) �������� ���������������� ����������������������������������������������������, ����������������ℎé ���������������������������� ����ℎ����

���������������� = 0, ���������������������������� ���������������� = ��

����̂ ����̂ ����� ���� ��������

���� ��������

���� ��������

���� ���� ����

�� = ����̂ � �������� �������� − �������� �������� �+ ����̂ �

�������� �������� − �������� �������� �+ ����� �

�������� �������� − �������� �������� � ���� ���������������������������� ���� è ������������������������,

è ������������ℎ���� ����ℎ����������������,������������������������ �������� �������������������������������������������� ������������ ������������������������������������ �������������������� ���������������� ���� �������� ������������������������ ������������ �������������������� �������� ���������������� �������� ������������������������, �������� �������������������� ����ℎ���� ℎ���� �������������������� ���� = ������������ + ������������+ ������������ ������������������������ �������� ���������������� ������������������������������������������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

INTEGRALI MULTIPLI Domino normale

������������ −∞ < ���� < ���� < +∞ ���� �������������������� ����(����),����(����) ∈ ����0([����,����],ℝ) ���������������� ����ℎ���� ����(����) ≥ ����(����) �������� ������������������������������������ ���������������������������� ���������������������������� �������������������������������� ������������′���������������� ���� ����′���������������������������� �������� ℝ2 ���� = {(����, ����) ∈ [����, ����] × ℝ,����(����) ≤ ���� ≤ ����(����)} ����′���������������� �������� ���������������� ���������������������������� ���������������������������� �������� ���������������������������� ������������ì:

����(����) = � [����(����)− ����(����)]�������� ����

����

������������ −∞ < ���� < ���� < +∞ ���� �������������������� ����(����),����(����) ∈ ����0([����,����],ℝ) ���������������� ����ℎ���� ����(����) ≥ ����(����) �������� ������������������������������������ ���������������������������� ���������������������������� �������������������������������� ������������′���������������� ���� ����′���������������������������� �������� ℝ2 ���� = {(����, ����) ∈ ℝ × [����, ����], ����(����) ≤ ���� ≤ ����(����)} ����′���������������� �������� ���������������� ���������������������������� ���������������������������� �������� ���������������������������� ������������ì:

����(����) = � [����(����)− ����(����)]�������� ����

����

Partizione di un dominio normale ������������ ���� ���������������������������� ����������������������������, �������� ����������������������������, �������������������������������� ������������′���������������� ���� ������������ ���������������������������������������� �������� ���� �������� ������������������������ ���������������������������� è �������� ���������������������������� ������������������������ ���� = {����1,����2, …����ℎ} �������� ������������������������ ���������������������������� �������������������������������� ������������′���������������� ���� ����ℎ���� �������������������������������� �������� �������������������������������� ����������������������������������������:

1) �̇������� ∩ �̇������� = ∅ ∀���� ≠ ���� 2)⋃ ��������ℎ����=1 = ����

�������� ������������������������ ���������������������������������������� �������� ℎ���� �������� ��������������������������������à ����������������′������������������������������������à �������������������� ������������������������,������������������������ ����(����) =� ����(��������) ℎ

����=1

Diametro di un dominio normale ������������ ���� ���������������������������� ���������������������������� �������������������������������� �������� ℝ2 �������� �������������������������������� �������� ���������������� ���������������������������� �������� ���������������������������� ������������ì:����������������(����) = max

����1,����2∈���� ����������������(����1,����2),

���������������� ����1 = (����1, ����1),����2 = (����2,����2) ���� ����������������(����1,����2) = �(����2 − ����1)2 + (����2 − ����1)2 Lemma sulle partizioni di un dominio normale ������������ ���� �������� ���������������������������� ����������������������������,�������� ����������������������������, �������������������������������� ������������′���������������� ���� ∀���� > 0 ������������������������ ������������ ���������������������������������������� �������� ���� �������� ������������������������ ���������������������������� �������������������������������� ������������′���������������� ���� ���������������� ����ℎ���� ������������������������������ < ���� ∀����, ���� DIMOSTRAZIONE ������������������������������������������������ ����′���������������������������������������� [����,����] �������� ������������������������ ����������������������������: ���� = ����0 < ����1 < ����2 < ⋯ < �������� = ����

���������������� ���������������������������������������� ���������������� ������������������������ �������������������������������� �������� ���������������������������������������� ������������������������,������������������������ �������� − ��������−1 = ���� − ���� ����

∀���� ������������ ������������������������������������������������ �������� �������������������������������� �������������������������������� �������� [����,����] ���������������� ����ℎ���� ����(����) = ����0(����) ≤ ����1(����) ≤ ����2(����) ≤ ⋯ ⋯ ≤ ��������(����) = ����(����) ∀���� ∈ [����, ����]

������������ℎ���� �������� ������������������������ ���������������� �������� ������������������������ �������������������� �������������������������������� ������������������������������������������������,������������������������ ��������(����) = ����(����) + ���� ����

[����(����)− ����(����)] ∀����

������������������������ �������� ������������������������ ���������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� ��������(����)− ��������−1(����) = [����(����)− ����(����)]

���� ∀����

������������������������������������������������ �������� ���������������������������� ������������ �������������������������������� �������� ������������ = �(����, ����) ∈ ℝ2 ∶ ��������−1 ≤ ���� ≤ �������� ,��������−1(����) ≤ ���� ≤ ��������(����)�

�������� ℎ���� ����ℎ���� ������������ ⊆ ������������ = [��������−1, ��������] × � min[��������−1,��������] ��������−1(����) , max[��������−1,��������]

��������(����)� , ������������������������ ∀���� > 0, ������������ ���� ����������������������������������������������������������������

������������������������, �������� ℎ���� ����ℎ���� ������������������������������ < ������������������������������ = 1 ���� �(���� − ����)2 + (���� −����)2 < ����

δ(x) γ(x)

d

c

D

D

β(x)

α(x) a b

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Integrali doppi ������������ ���� ���������������������������� ����������������������������, �������� ����������������������������, �������������������������������� ������������′���������������� ���� ���� ������������ ���� ∶ ���� → ℝ ������������ �������������������������������� �������������������������������� ������������ ���� ������������ ���������������������������������������� �������� ���� �������� ������������������������ ���������������������������� �������������������������������� ������������′���������������� ���� ������������ ����(����) =�����(��������) inf��������

���� ����

�������� �������������������� ������������������������������������ ���� ������������ ����(����) =�����(��������) sup �������� ����

����

�������� �������������������� ������������������������������������

���������������� ������������ ����′������������������������������������ �������� ����������������������������, ����(����1) ≤ ����(����2) ������������ ���������������� ������������������������ �������� ���������������������������������������� ����1 ���� ����2 �������� ���� ������������ ���������������������������� {����(����1)} ���� {����(����2)} ���������������� ��������������������������������, ������������������������ �������� sup

����1 {����(����1)} = inf����2

{����(����2)} , �������� ���������������� ����ℎ���� ���� è

�������������������������������������������� �������� ���� ���� ����′�������������������������������� �������� �������������������������������������������� �������� ����ℎ���������������� ������������������������������������ ������������������������ ���� �������� ������������������������ ������������ �����(����, ����)���������������� ����

Formule di riduzione ������������ ���� ���������������������������� ���������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∈ ����0(����,ℝ)

�����(����,����)���������������� ����

= � �� ����(����,����)�������� ����(����)

����(����) ���������

����

���� �������� ���� = {(����,����) ∈ [����,����] ×ℝ,����(����) ≤ ���� ≤ ����(����)}

�����(����,����)���������������� ����

= � �� ����(����, ����)�������� ����(����)

����(����) ���������

����

���� �������� ���� = {(����,����) ∈ ℝ × [����, ����], ����(����) ≤ ���� ≤ ����(����)}

DIMOSTRAZIONE ������������ ���� ���������������������������� ���������������������������� �������������������������������� ������������′���������������� ���� ∀���� > 0 ������������������������ ������������ ���������������������������������������� �������� ���� �������� ������������������������ ���������������������������� �������������������������������� ������������′���������������� ���� ���������������� ����ℎ���� ������������������������������ < �������� ∀����, ����

������������ ����′������������������������������������à �������������������������������� ���� �������� ���� ���� ���� �������� �������� ℎ���� ����ℎ����� �� ����(����, ����)�������� ����(����)

����(����) ���������

����

���� =�� �� ����(����,����)��������

����(����)

����(����) � ��������

��������

��������−1

����

����=1

=

=� � �� ����(����,����)�������� ��������(����)

��������−1(����) ���������

��������

��������−1

����

����,����=1

�������������������� ������������ = min������������ ����(����, ����) ���� ������������ = max������������

����(����,����) �������� ������������������������ ���� �������� ���������������������������� �������� ���� ������������ �������������������������������������������� ������������

������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ���������������������(����)− ��������−1(����)� ≤ � ����(����,����)�������� ��������(����)

��������−1(����) ≤ ���������������������(����)− ��������−1(����)� ∀���� ∈ [��������−1,��������]

������������ � ���������(����)− ��������−1(����)��������� ��������

��������−1 ≤ � �� ����(����,����)��������

��������(����)

��������−1(����) � ��������

��������

��������−1 ≤ ������������ � ���������(����)− ��������−1(����)���������

��������

��������−1

������������������������������ ≤ � �� ����(����, ����)�������� ��������(����)

��������−1(����) ���������

��������

��������−1 ≤ ������������������������������

� ������������������������������ ����

����,����=1

≤ � � �� ����(����,����)�������� ��������(����)

��������−1(����) ���������

��������

��������−1

����

����,����=1

≤ � ������������������������������ ����

����,����=1

� ������������������������������ ����

����,����=1

≤ � �� ����(����, ����)�������� ����(����)

����(����) ���������

����

���� ≤ � ������������������������������

����

����,����=1

����������������ℎé � ������������������������������ ����

����,����=1

���� � ������������������������������ ����

����,����=1

���������������� �������������������� ������������������������������������, �������� ℎ���� ������������ℎ���� ����ℎ����

� ������������������������������ ����

����,����=1 ≤ �����(����, ����)���������������� ����

≤� ������������������������������ ����

����,����=1

������������������������ � ����(����, ����)���������������� ����

− � �� ����(����,����)�������� ����(����)

����(����) � ��������

����

���� � < �������������� − �������������������������������

����

����,����=1

���������������������������������������� ���� ������������������������ ������������ ���������������� ����ℎ���� ������������������������������ < �������� ∀����, ����, �������� ��������ò ������������������������������������ �������� ���������������������������� �������� ������������������������,������������������������

� ������������� − ������������������������������� ����

����,����=1 < ����� ������������������

����

����,����=1 = ��������(����)

������������������������ � ����(����, ����)���������������� ����

− � �� ����(����,����)�������� ����(����)

����(����) � ��������

����

���� � < ��������(����), ������������è �����(����, ����)����������������

����

= � �� ����(����,����)�������� ����(����)

����(����) � ��������

����

����

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Integrabilità delle funzioni continue ������������ ���� �������� ���������������������������� ���������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∶ ���� ⊂ ℝ2 → ℝ ������������ �������������������������������� �������������������������������� ������������������������ ���� è �������������������������������������������� �������� ���� Teorema di Cantor ������������ ���� �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∶ ���� → ℝ ������������ �������������������������������� �������������������������������� �������� ∀���� > 0 ∃�������� > 0 ∶ ����������������(����1,����2) < �������� ∀����1,����2 ∈ ���� ������������������������ |����(����1)− ����(����2)| < ����, ������������������������ �������� �������������������������������� è ���������������������������������������������������� �������������������������������� Baricentro di un dominio ������������ ���� ���������������������������� ���������������������������� �������� ℝ2

�������� ���������������������������������������� �������� ���������������� ���������������������������� è �������������������������������� �������� ���������������� ����������������������������������������: (��������, ��������) = � ∬ ������������������������ ����(����)

, ∬ ������������������������ ����(����)

Primo teorema di Guldino ������������ ���� �������� ������������������������ �������������������������������� �������������������� ������������������������������������ �������� �������� ������������������������ ���� �������� �������� ���������������������������� ���������������������������� ���� ������������ �������������������� ���������������������������� �������� �������� ���������������� ���� ������������ ������������������������������������������������ �������� ���������������������������� ���� ������������������������ �������� ������������������������ ����(����) è ���������������� �������������������� ���������������������������� ����(����) = ����(����)��������(��������),���������������� ����(����) è ����′���������������� �������� ���� ���� ��������(��������) è �������� ����������������ℎ���������������� ����������������′���������������� �������� ���������������������������������������������������� ������������������������������������ �������������������� ������������������������������������ ������������ ���������������������������������������� Dominio regolare ������������ ���� �������� ���������������������������� ����������������������������,�������� ���������������������������� �������������������������������� ������������′���������������� ����, ���������������������������������������������������� �������������������� �������������������� ���� = {(����, ����) ∈ [����, ����] × ℝ,����(����) ≤ ���� ≤ ����(����)} �������� ���������������� ����ℎ���� ���� è �������� ���������������������������� �������������������������������� �������� �������� �������������������������������� ����(����) ���� ����(����) ���������������� �������� ������������������������ ����1 �������� [����,����] ���� �������� ����(����) < ����(����) ∀���� ∈ [����,����] �������� ���������������������������� �������������������������������� ���� è ������������ �������������������������������������������� ����′�������������������������������� �������� ������������������������ ������������������������ �������� ������������������������ ����������������������������, �������������������������������� ������������′���������������� ���� ���� ������������′���������������� ����, �������������������������������� ����1,����2, … ,��������,���� ������������ ���� ������������ �������������������� �������� �������������������� ���������������������������� �������� ������������������������ �������� ���� è �������� ���������������������������� ��������������������������������, �������� ������������ ������������������������������������ �������� è ������������������������ �������� �������� ������������������������ ������������������������ �������� �������������������� ������������������������������������������������ ��������������������������������,������������������������ ���������������������������� ���������������������������� �������������������������������� ���� �������� �������������������� ���� ���������������� ��������������������, ������������������������ �������� ��������ù �������� ������������������������ ������������������������ �������� �������������������������������������������������������� �������� ���������������� �������������������� è �������������������������������� ������������ℎ���� �������� ���������������������������� ���������������������������� ���� ���� �������� �������������������������������� ������������������������ ������������������������������������ �������� ������������������������������������ �������� ���������������� �������� ������������ ���������������������������� ���� �������������������� ����′���������������������������� �������� ���� �������� ������������ ���������������� ����′������������������������������������������������ �������� ���������������� �������������������������������� ���� �������� ������������������������ ������������ + �������� Formule di Gauss-Green ������������ ���� ���������������������������� �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∈ ����1(����,ℝ) ������������������������ �������� ℎ���������������� �������� �������������������������������� ��������������������������������������������:

1)∬ ���������������������������� = ∫ ������������+�������� 2)∬ ���������������������������� = −∫ ������������+��������

DIMOSTRAZIONE ������������������������������������ ���� ���������������������������� �������������������������������� ���� ���� ���� ��������������������������������,������������������������ ���� = {(����,����) ∈ ℝ × [����,����], ����(����) ≤ ���� ≤ ����(����)}

������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� + �������� =���������

4

����=1

������������������������� ����

= � �� ��������(����, ����)�������� ����(����)

����(����) ���������

����

���� =

= � [����(����(����),����)− ����(����(����),����)]�������� ����

����

� ������������ +��������

= ������������� ����1

+ ������������� ����2

+ ������������� ����3

+ ������������� ����4

���������������������������� �������� ����2 ���� ����4 ����′ = 0,������������������������������������ ����ℎ����

� ������������ +��������

= ������������� ����1

+ ������������� ����3

������������ ����� = ����(����)���� = ���� ������������ ���� ∈ [����,����] ������������������������������������ ����1,������������������������ ������������ � ���� = ����(����) ���� = ���� ������������ ���� ∈ [����, ����] ������������������������������������ − ����3, ������������������������

� ������������ +��������

= � ����(����(����), ����)�������� ����

���� − � ����(����(����), ����)��������

����

���� = � [����(����(����),����)− ����(����(����),����)]��������

����

����

γ2

γ1 γ3

γ3

d

c

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Formula di calcolo dell’area ������������ ���� ���������������������������� �������������������������������� �������� ℝ2

������������������������ ����(����) = 1 2 � −������������ + ������������ +��������

DIMOSTRAZIONE

������������ �������� ���������������������������� �������� �������������������� − �������������������� ������������������������� ����

= � ������������ +��������

���� ������������������������� ����

= − � ������������ +��������

�������� ℎ���� ����ℎ���� ����(����) = � ������������ +��������

= − � ������������ +��������

, ������������������������ 2����(����) = � ������������ +��������

− � ������������ +��������

,������������������������

����(����) = 1 2 � −������������ + ������������ +��������

Formule di integrazione per parti ������������ ���� ���������������������������� �������������������������������� �������� ℝ2 ���� �������������������� ���� ���� ���� ∈ ����1(����,ℝ) ������������������������ �������� ℎ���������������� �������� �������������������������������� ��������������������������������������������:

1)∬ �������������������������������� = −∬ �������������������������������� + ∫ ����������������+�������� 2)∬ �������������������������������� = −∬ �������������������������������� − ∫ ����������������+��������

DIMOSTRAZIONE

������������ �������� ���������������������������� �������� �������������������� − �������������������� �(��������)�������������������� ����

= � ���������������� +��������

������������������������ ���������������������������������������������������� �������������������������������������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� �(��������)�������������������� ����

=�(������������ + ������������)���������������� ����

������������������������ ����������������������������� ����

= −����������������������������� ����

+ � ���������������� +��������

���� �������� ������������ �������� ������������������������ ������������������������������������������������ ������������ �������� ���������������������������� ����������������������������

Teorema della divergenza in R2 ������������ ���� ���������������������������� �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� = (����1,����2) ∈ ����1(����,ℝ2)

������������������������ ��������������������������������� ����

= � 〈����,��������〉�������� +��������

, ���������������� ���������������� = ��������1 ��������

+ ��������2 ��������

�������� ���������������� ���������������������������������������� �������� ����

DIMOSTRAZIONE

������������ �������������������������������������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� ��������������������������������� ����

=�� ��������1 ��������

+ ��������2 �������� � ����������������

����

������������ �������� ���������������������������� �������� �������������������� − �������������������� �� ��������1 ��������

+ ��������2 �������� �����������������

����

= � −����2�������� + ����1�������� +��������

�������� �������� �������������������� ���� ℎ���� ���������������������������� ���� ���� ����, �������������������������������� �������������������������������� ����ℎ���� ���� = ����(����) ���� ���� = ����(����) ������������ ���� ∈ [����,����]

�������� ���������������������������� �������������������������������� ���������������� �������������������� ������������à ���������������������������������������� ���� = � ����′

�(����′)2 + (����′)2 ,

����′

�(����′)2 + (����′)2 � ,������������������������ �������� ����������������������������

���������������������������� ������������à ���������������������������������������� �������� = � ����′

�(����′)2 + (����′)2 ,

−����′

�(����′)2 + (����′)2 �

������������������������ �������� ℎ���� � 〈����,��������〉�������� +��������

= � � ����1����′

�(����′)2 + (����′)2 −

����2����′

�(����′)2 + (����′)2 ��(����′)2 + (����′)2��������

����

���� = � −����2�������� + ����1�������� +��������

Formula di Stokes (del rotore in R2) ������������ ���� ���������������������������� �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� = (����1,����2) ∈ ����1(����,ℝ2)

������������������������ ��������������������������������� ����

= � ����1�������� + ����2�������� +��������

, ���������������� ���������������� = ��������2 �������� − ��������1 ��������

�������� ���������������� ������������������������ �������� ����

DIMOSTRAZIONE

������������ �������������������������������������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� ��������������������������������� ����

=�� ��������2 �������� − ��������1 �������� �����������������

����

������������ �������� ���������������������������� �������� �������������������� − �������������������� �� ��������2 �������� − ��������1 �������� �����������������

����

= � ����1�������� + ����2�������� +��������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Formula di Jordan �������� ���������������������������� �������� ������������ �������������������� ���� �������� ℝ2, �������������������������������� ���� ����ℎ����������������, è �������� ������������������������������������ �������� ������������ ������������������������ ������������������������������������ �������� ℝ2,�������� ������������ ������������ è �������������������������������� ���� �������� ������������������������ ������������ ������������(����) Teorema di cambiamento di variabili negli integrali doppi �������������������� ���� ���� ���� ������������������������ �������������������������������� �������� ℝ2

������������ Φ ∶ ����� = ���� (����,����)

���� = ����(����, ����) ∈ ���� 1(����,ℝ2) ������������ �������������������� (������������ ������������������������������������������������ �������� ℝ2 ���� ℝ2) �������������������������������������������� ������������ ������������������������������������������������

������������������������������������ ���������������������������� �������� ���������������� �������� ����

������������������������ ∀���� ∈ ����0(����,ℝ) �������� ℎ���� ����ℎ���� � ����(����, ����)���������������� Φ(����)≡����

=����������(����, ����),����(����, ����)� �det ����(����,����) ����(����,����)

� ���������������� T

,����������������

det ����(����,����) ����(����,����)

= �

�������� ��������

�������� ��������

�������� ��������

�������� ��������

� = �������� �������� �������� �������� − �������� �������� �������� ��������

Integrali tripli ������������ ���� ���������������������������� ���������������������������� ������������ �������������������� ����,���� �������������������� ����(����,����) ���� ����(����, ����) ∈ ����0(����,ℝ) ���������������� ����ℎ���� ����(����, ����) ≤ ����(����,����) ∀(����, ����) ∈ ���� �������� ������������������������������������ ������������ì �������� ���������������������������� ���������������������������� �������������������������������� �������� �������������������� ����, ����: ���� = {(����, ����, ����) ∈ ���� × ℝ,����(����, ����) ≤ ���� ≤ ����(����, ����)}

�������� ������������������������ �������� ����,�������������������� ������������ℎ���� ������������������������ �������� ����, �������� ���������������������������� ������������ì:����(����) =�[����(����,����)− ����(����, ����)]���������������� ����

������������ ���� ∈ ����0(����,ℝ)

�������� ������������������������������������ ������������������������������������ ������������������������ �������� ������������������������ ����������������������������� ����

=��� ������������ ����(����,����)

����(����,����) � ����������������

����

Determinante jacobiano in coordinate polari

�������� ������������������������ ���������������� ���� = ���� ���� ���� = ����,������������������������ ����′������������������������������������������������ ������������������������ è ������������������������: Φ ∶ ����� = ���� cos �������� = ���� sin ����

������������������������ �������� ������������������������������������������������ ������������������������������������ è ������������������������: det �cos ���� −���� sin ����sin ���� ���� cos ���� � = ���� cos 2 ���� + ���� sin2 ���� = ����

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE Superfici regolari ������������ ���� �������� ������������������������ �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� �������� ������������ ����ℎ������������������������ ����′������������������������������������������������ ���� ∈ ����1(����,ℝ3) è �������������������� ���������������������������������������� �������������������������������� �������� �������������������������������� �������� �������������������������������� ����������������������������������������:

1) �������� �������������������������������������������� �������� ���� ���� �̇��� è �������������������������������������������� 2) ∀(����, ����) �������� �̇��� �������� ���������������������������� ������������������������������������

����(����1,����2,����3) ����(����, ����)

=

⎜ ⎜ ⎛

��������1 ��������

(����,����) ��������1 ��������

(����,����)

��������2 ��������

(����, ����) ��������2 ��������

(����,����)

��������3 ��������

(����, ����) ��������3 ��������

(����,����)⎠

⎟ ⎟ ⎞

ℎ���� �������������������� 2

����������������������������, �������������������� ��������(����, ����) = � ��������1 ��������

(����,����), ��������2 ��������

(����,����), ��������3 ��������

(����, ����)� ���� ��������(����, ����) = � ��������1 ��������

(����,����), ��������2 ��������

(����,����), ��������3 ��������

(����, ����)�,

�������� ���������������������������� ���������������������������������������� �������������������������������� ���� ���������������� ����ℎ���� ���� ������������ ���������������������������� ���������������� �������������������������������������������� ������������������������������������������������,������������������������ �������� ���������������� �������������������������������� ���������������������������������������� è ���������������������������� ������������ ���������������������������� ��������������������: ��������(����, ����)⋀��������(����, ����) ≠ 0� Superficie cartesiana

����′������������������������������������������������ ���� ∶ � ���� = ���� ���� = ����

���� = ����(����, ����) ������������ ���� ∈ ����1(����,ℝ) è ������������ ���������������������������������������� ��������������������������������

���������������������������� ����(����, ����) = �����, ����, ����(����, ����)� è �������������������������������������������� ���� ���� ���������������������������� �������� = �1,0, �������� �������� � ���� �������� �0,1,

�������� �������� � ���������������� ��������������������������������������������

������������������������������������������������ Superficie di una sfera di raggio r ������������ ���� = [0,����] × [0,2����]

����′������������������������������������������������ ���� ∶ � ���� = ���� sin���� cos ���� ���� = ���� sin���� sin���� ���� = ���� cos����

������������ ���� ∈ [0,����] ���� ���� ∈ [0,2����] è ������������ ���������������������������������������� ��������������������������������

���������������������������� ����′������������������������������������������������ è �������������������������������� ���� �������� �������������������������������� ���������������������������������������� �������� �������� = ����(cos���� cos ���� , cos���� sin���� ,− sin����) ���� �������� = ����(− sin���� sin���� , sin���� cos ���� , 0) è ������������������������ ���� ����2 sin���� , ����ℎ���� ������������ �������� ���������������������������� �������� �̇��� Piano tangente e versore normale ������������ ���� ∈ ����1(����,ℝ3) ������������ ���������������������������������������� �������������������������������� �������� �������������������� �������������������������������� �������� �������� �������������������� ����0 �������� ������������ ���������������������������������������� �������������������������������� è ������������������������ �������������������������������� ������������ ���������������������������� �������� ���� �������� , ������������������������ �������� ���������������������������� ���������������������������� �������� ����0, ����ℎ���� è ���������������������������������������� �������� �������������������� �������������������������������� ������������ �������������������� ����0, è ���������������� �������������������� ����������������������������

����(����0) = ��������(����0,����0)⋀��������(����0,����0)

|��������(����0,����0)⋀��������(����0,����0)|

�������������������� ����(����,����) = � ����(����, ����) ����(����,����)

� ,����(����,����) = � ����(����,����) ����(����,����)

� ���� ����(����,����) = � ����(����,����) ����(����, ����)

� , ������������������������ ����′������������������������������������ ������������ �������������������� ��������������������������������

������������ �������������������� ����0 è ����0(���� − ����0) + ����0(���� − ����0) + ����0(���� − ����0),������������������������ �������� ���������������������������� ���������������������������� �������� ������������������������ ������������ì:

����(����0) = � ����0

�����02 + ����02 + ����02 ,

����0 �����02 + ����02 + ����02

, ����0

�����02 + ����02 + ����02 �

������������ ����������������������������, ����′������������������������������������ ������������ �������������������� �������������������������������� �������� �������� �������������������� �������� ������������ ���������������������������������������� ���������������������������������������� è �������������������������������� ��������������������

���������������������������������������� ����0,����0 ���� ����0 ����ℎ���� �������� ������������������������������������ ������������ �������������������������������� ���������������������������������������� ��������� ∧ ��������� = � ����̂ ����̂ ����� 1 0 �������� 0 1 ��������

� = −������������̂ − ������������̂+ �����

���� ����ℎ���� ���������������������������� ������������������������������������������������ ������������ (���� − ����0), (���� − ����0) ���� (���� − ����0) = ����� − ����(����0, ����0)�,������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� −��������(����0,����0)(���� − ����0)− ��������(����0, ����0)(���� − ����0) + ���� − ����(����0,����0) = 0 ���� = ����(����0,����0) + ��������(����0,����0)(���� − ����0) + ��������(����0,����0)(���� − ����0), ����ℎ���� è ���������������������������� ����′������������������������������������ ������������ �������������������� �������������������������������� ������������ �������������������������������� �������� ������������ ������������������������������������ ������������������������ �������� ���������������������������� ���������������������������� è �������������������������������������������� �������������������� ����������������������������

����(����0) = 1

�1 + |∇����(����0, ����0)|2 �−��������(����0, ����0),−��������(����0,����0), 1�

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Superfici di rotazione ������������ ���� ������������ �������������������� �������������������� ���� ������������ ���� ������������ �������������������� �������� ���������������� ���������������������������������������� �������� ������������������������������������ ���������������������������������������� �������� ������������������������������������ �������������������������������� �������������������� �������������������� ���� �������� �������������������� ���������������������������������������� �������������������� �������������������������������������������� ������������������������������������ ������������ �������������������� �������� ���� ���������������������������� ������������ ������������������������������������ �������� ������������������������ ���� ���������������������������� ������������′���������������� ���� Area di una superficie ������������ ���� �������� ���������������������������� �������������������������������� �������� ℝ2 ���� ������������ ���� ∶ ���� → ℝ3 ������������ ���������������������������������������� ��������������������������������

������������������������ ����′���������������� �������������������� ���������������������������������������� è �������������������������������������������� �������������������� ���������������������������� ����(����) =���������� ∧ ������������������������� ����

������������������������ ������������ ������������������������������������ ���������������������������������������� �������� ���������������������������� è ������������������������: ����(����) =��1 + |∇����|2���������������� ����

Secondo teorema di Guldino ����′���������������� �������������������� ���������������������������������������� �������������������������������� �������������������� ������������������������������������ �������� �������� ������������������������ ���� �������� ������������ �������������������� �������������������������������� ���� è ���������������� �������������������� ����������������ℎ���������������� �������������������� �������������������� �������������������������������� ������������������������������������������������ ������������ �������� ����������������ℎ���������������� ����������������′���������������� �������� ���������������������������������������������������� ������������������������������������ �������������������� ������������������������������������ ������������ ����������������������������������������

������������������������ ����(����) = � �� ����(����)������′(����)� 2

+ (����′(����))2�������� ����

���� ���������

����

0 = ����� ����(����)������′(����)�

2 + (����′(����))2��������

����

����

Integrali di superficie ������������ ���� ∶ ���� → ℝ3 ������������ ���������������������������������������� �������������������������������� ���� ������������ ���� = ����(����) �������� ������������ �������������������������������� ������������ ���� ∶ ���� → ℝ ������������ �������������������������������� ��������������������������������

������������������������ ������������� ����

=����������(����, ����)�|��������(����,����) ∧ ��������(����, ����)|���������������� ����

�������� ������������������������������������ ������������������������������������ �������� ���� ������������������������ ���� ����

Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie ������������ ���� ∶ ���� → ℝ3 ������������ ���������������������������������������� �������������������������������� �������� ������������������������������������ ����(����, ����) = �����(����, ����),����(����,����), ����(����, ����)�

������������ ���� = ����(����) �������� �������������������������������� �������� ���� ���� ������������ ����(����,����) �������� ���������������������������� ���������������������������� ���� ���� ������������ �������������������� ����(����, ����) ����� = �������� ∧ ��������

|�������� ∧ ��������| �

�������� ���� ∶ ���� → ℝ3 è �������� �������������������� ���������������������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������� ����, �������� ���������������� ������������������������ ������������ �������������������� ���� ���������������������������������������� ���� �������������������� ������������������������������������ �������� ���� ����′������������������������������������

�〈����, ����〉�������� ����

=������1�����(����, ����)�����1(����,����) + ����2�����(����,����)�����2(����, ����) + ����3�����(����,����)�����3(����, ����)�|�������� ∧ ��������|���������������� ����

=

=������1�����(����,����)� � ����(����, ����) ����(����, ����)

�+ ����2�����(����, ����)� � ����(����,����) ����(����,����)

�+ ����3�����(����, ����)� � ����(����,����) ����(����,����)

�� ���������������� ����

=�����1����+ ����2���� + ����3�������������������� ����

Teorema della divergenza in R3 ������������ ���� ���������������������������� �������������������������������� �������� ℝ3 ���� ������������ ���� ∶ (����, ����, ����) ∈ ���� → (����1,����2,����3) ∈ ℝ3 �������� �������������������� ���������������������������������������� �������� ������������������������ ����1

������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ����������������������������������������� ����

= �〈����, ��������〉�������� ����

,���������������� ���������������� = ��������1 ��������

+ ��������2 ��������

+ ��������3 ��������

�������� ���������������� ���������������������������������������� �������� ����

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Equazioni differenziali ������������ ���� ���������������������������������������� �������� ℝ ���� ����(����) ���������������������������������������� ���� �������������������� �������� ���� ������������������������ �������� ������������������������������������ ������������������������������������ ���������������������������������������������������� ������������ �������������������������������� ������������������������������������ ������������ ���������������� ���� �����,����(����),����′(����), … ,����(����)(����)� = 0 ����′������������������������������������ ���������������������������������������������������� �������� ���������������� �������� �������������������� ���������������������������� �������� è �������������������������������������������� �������������������������������� ���������������� �������������������������������� �������� ������������������������ ���������������������������� ����(����)(����),������������������������ ������������ ������������ ���������������� ����(����)(����) = ����(����, ����(����),����′(����), … ,����(����−1)(����)) Problema di Cauchy �������� ������������������������������������ ����(����) ����ℎ���� �������������������������������� ����′������������������������������������ ���������������������������������������������������� ����(����)(����) = ���� �����,����(����),����′(����), … ,����(����−1)(����)� è ������������������������������������ ������������ �������������������������������� �������� ����������������ℎ����, ����ℎ���� �������� ������������������������ ������������ì:

⎩ ⎪⎪ ⎨

⎪⎪ ⎧����

(����)(����) = ���� �����,����(����),����′(����), … ,����(����−1)(����)�

����(����−1)(����0) = ��������−1 ����(����−2)(����0) = ��������−2

⋮ ����′(����0) = ����1 ����(����0) = ����0

Teorema di esistenza e unicità locale

������������ ����� ′(����) = ���������,����(����)� ����(����0) = ����0

�������� �������������������������������� �������� ����������������ℎ����

�������������������� ����0 ∈ ℝ ���� ����0 ∈ ℝ ���� ������������ ���� �������������������������������� �������� �������� ���������������������������� ���� × ���� = [����0 − ����,����0 + ����] × [����0 − ����, ����0 + ����]

�������� � ���� ∈ ���� 0(���� × ����)

∃���� > 0 ∶ |����(����, ����1)− ����(����, ����2)| ≤ ����|����1 − ����2| ∀���� ∈ ���� ∀����1,����2 ∈ ����

������������������������ �������� � ���� è �������������������������������� ���������������� ′���������������������������� ���� × ����

���� è ��������������������ℎ���������������������������� �������������������������������� ���� ���� ���������������������������������������������������� ������������ ���� ∈ ����

������������������������, ������������ ���� = max ��������

|����| ���� ���� = min ����×���� �����, ���� ���� � ,∃! ���� ∶ [����0 − ����,����0 + ����] → ℝ ������������������������������������ ������������ �������������������������������� �������� ����������������ℎ����

ESEMPIO (FUNZIONE CONTINUA NON LIPSCHITZIANA)

������������ ����� ′ = 2�|����| ����(0) = 0

�������� �������������������������������� �������� ����������������ℎ���� �������������������������������� ���� ��������′������������������������������������ ���������������������������������������������������� ������������ ���� ������������ ��������������������ℎ����������������������������

�������� ������������������������ ���������������� �������� �������������������������������� ����ℎ���� �������� �������������������������������� �������� ����������������ℎ���� ℎ���� �������������������������������� ������������������������������������: ����(����) = � −(���� − ℎ)2 �������� ���� ≤ ℎ

0 �������� ℎ < ���� < ���� (���� − ����)2 �������� ���� ≥ ����

Problema di Cauchy relativo a un sistema differenziale ������������ ����(����) = ���������, ����,����′,����′′, … ,����(����−1)� ��������′������������������������������������ ���������������������������������������������������� �������� ������������������������ ���� �������������������������������������������� �������������������������������� ���������������� �������������������������������� �������� ������������������������ ���������������������������� ����(����),������������ ���������������� ������������������������������������ �������� ���������������� �������� ���������������� ���������������������������� ���������������������������� �������� �������������������� �����0,����0,����0′ ,����0′′, … , ����0

(����−1)� ���� ������������������������������������ ������������ �������������������������������� ���� �������� ���� + 1 ������������������������������������, �������� ��������ò

�������������������������������������������� �������� �������������������������������� �������� ����������������ℎ����

⎩ ⎪ ⎨

⎪ ⎧����

(����) = ���������, ����,����′,����′′, … ,����(����−1)� ����(����0) = ����0 ����′(����0) = ����0′

⋮ ����(����−1)(����0) = ����0

(����−1)

������������������������ ������������������������������������ �������� ��������ò �������������������������������� ������������ℎ���� ���������������� ���������������������������� ���������������������������������������������������� �������� �������������������� ���������������������������� ������������ �������������������� ������������������������, �������������������������������������������� �������� ������������������������������������������������ ���� = ����1, ����′ = ����2,����′′ = ����3, … ,����(����−1) = ��������

������������ì ����′������������������������������������ �������������������������������� �������� ���������������������������� ����������������������������������������������������

⎩ ⎪ ⎨

⎪ ⎧

����1′ = �������� ����2′ = ����3 ⋮

��������−1′ = �������� ��������′ = ����(����,����1, … , ��������)

=

⎩ ⎪ ⎨

⎪ ⎧ ����1′ = ����1(����, ����1, … ,��������) ����2′ = ����2(����, ����1, … , ��������)

⋮ ��������−1′ = ��������−1(����, ����1, … ,��������) ��������′ = ��������(����, ����1, … ,��������)

�������� �������������������������������� ���������������������������������������� ����(����) = �����1(����),����2(����), … , ��������(����)� è ����′������������������������������������ ������������ ����������������������������

non sono stati rilasciati commenti
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 28 totali
Scarica il documento