Definizioni e Teoremi di Geometria e Algebra, Domande di esame di Sistemi Giuridici Comparati. Università degli Studi di Napoli Federico II
Salvatore_Capuozzo
Salvatore_Capuozzo
Questo è un documento Store
messo in vendita da Salvatore_Capuozzo
e scaricabile solo a pagamento

Definizioni e Teoremi di Geometria e Algebra, Domande di esame di Sistemi Giuridici Comparati. Università degli Studi di Napoli Federico II

30 pagine
2Numero di download
636Numero di visite
Descrizione
Questo file contiene tutte le definizioni e i teoremi necessari a passare l'esame di Geometria e Algebra da 6 CFU. In particolare questi appunti provengono da appunti presi da lezioni di Geometria e Algebra del C.d.L. in...
3.99
Prezzo del documento
Scarica il documento
Questo documento è messo in vendita dall'utente Salvatore_Capuozzo: potrai scaricarlo in formato digitale subito dopo averlo acquistato! Più dettagli
Anteprima3 pagine / 30
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 30 totali
Scarica il documento
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 30 totali
Scarica il documento
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 30 totali
Scarica il documento
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 30 totali
Scarica il documento

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Università degli Studi di Napoli “Federico II” Ingegneria Informatica

Prof. Francesco Belardo --- Definizioni e teoremi di Salvatore Capuozzo

GEOMETRIA E ALGEBRA STRUTTURE ALGEBRICHE Operazione interna ������������ ���� �������� ���������������������������� ������������ �������������������� ������������ ���������������������������������������� ���������������������������� �������� ���� è ��������′������������������������������������������������ ����: ���� × ���� → ���� ������������ ���������������������������� ∗ Operazione associativa ����′���������������������������������������� ���������������������������� ∗ �������� ���� è �������������������������������������������� �������� (���� ∗ ����) ∗ ���� = ���� ∗ (���� ∗ ����) ∀����,����, ���� ∈ ���� Operazione commutativa ����′���������������������������������������� ���������������������������� ∗ �������� ���� è �������������������������������������������� �������� ���� ∗ ���� = ���� ∗ ���� ∀����, ���� ∈ ���� Struttura algebrica ������������ ���� �������� ���������������������������� ������������ �������������������� ������������ ������������������������������������ ������������������������������������ ������������ �������������������������������� ���� è ������������ ������������������������ (����; ∗),���������������� ∗ è ������������ ���������������������������������������� ���������������������������� �������� ���� Semigruppo ������������ ���� ������������ ������������������������������������ ������������������������������������ ������������ ���������������������������������������� ���������������������������� ∗ �������� ���������������� ���������������������������������������� è ��������������������������������������������, �������� ������������������������������������ �������� ���������������� ���������������������������������������� Monoide �������� ���������������������������������������� ���� �������� ���������������� ���������������������������� �������� è ������������������������ �������� �������������������������������� ������������������������ Gruppo �������� ���������������������������� ���� �������� ���������������� ������������������������ �������� ���������������� ������������ �������������������������������� è ������������������������������������������������������������ Gruppo abeliano �������� ������������������������ ���� �������� ���������������� ������������������������ �������������������������������� �������� �������� ������������ ���������������������������������������� è �������������������������������������������� Anello ������������ ���� �������� ���������������������������� ������������ �������������������� ���� �������������������� + ���� ∙ ������������ ������������ ���������������������������������������� ���������������������������� �������� �������������������� (����; +; ∙) �������� ���������������� ������������������������ ��������:

1) �������� ������������������������������������ (����; +) è �������� ������������������������ �������������������������������� 2) �������� ������������������������������������ (����; ∙) è �������� ���������������������������������������� 3) ���� ∙ (���� + ����′) = ���� ∙ ���� + ���� ∙ ����′ ∀����,����, ����′ ∈ ����

Anello commutativo �������� ������������������������ �������� ���������������� �������������������������������������������� �������� ����′���������������������������������������� ���������������������������� ∙ (�������� ������������������������������������������������������������) è �������������������������������������������� Anello unitario �������� ������������������������ ���� �������� ���������������� �������������������������������� �������� ������������������������ ����′�������������������������������� ������������������������ �������������������������������� ������������′���������������������������������������� ���������������������������� ∙ (���������������� ������������������������������������������������������������) Corpo ������������ ���� �������� ���������������������������� ������������ �������������������� ���� �������������������� + ���� ∙ ������������ ������������ ���������������������������������������� ���������������������������� �������� �������������������� (����; +; ∙) �������� ���������������� �������������������� ��������:

1) �������� ������������������������������������ (����; +) è �������� ������������������������ �������������������������������� 2) �������� ������������������������������������ (����∗; ∙) è �������� ������������������������ 3) ���� ∙ (���� + ����′) = ���� ∙ ���� + ���� ∙ ����′ ∀����, ����, ����′ ∈ ����

���������������� ����∗ ������������������������ ����′���������������������������� ���� ���������������������������� �������������������� 0 Campo ������������ ���� �������� ���������������������������� ������������ �������������������� ���� �������������������� + ���� ∙ ������������ ������������ ���������������������������������������� ���������������������������� �������� �������������������� (����; +; ∙) �������� ���������������� �������������������� ��������:

1) �������� ������������������������������������ (����; +) è �������� ������������������������ �������������������������������� 2) �������� ������������������������������������ (����∗; ∙) è �������� ������������������������ �������������������������������� 3) ���� ∙ (���� + ����′) = ���� ∙ ���� + ���� ∙ ����′ ∀����, ����, ����′ ∈ ����

���������������� ����∗ ������������������������ ����′���������������������������� ���� ���������������������������� �������������������� 0 Operazione esterna �������������������� ���� ���� ���� ���������������������������� ������������ �������������������� ������������ ���������������������������������������� ���������������������������� �������� ���� ������������ ������������������������������������ �������� ���� è ��������′������������������������������������������������ ����:���� × ���� → ���� ������������ ���������������������������� ∙

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Riassunto grafico delle strutture algebriche

Associativa Elemento neutro Inverso Commutativa

Elemento neutro Commutativa Inverso Inverso Commutativa

Gruppo abeliano

(A,*) associativa, commutativa, elemento neutro e inverso

Gruppo

(A,*) associativa, elemento neutro e inverso

Struttura algebrica base (Magma)

(A,*)

Monoide

(A,*) associativa ed elemento neutro

Semigruppo

(A,*) associativa

Anello

(A,+) gruppo abeliano (A,*) semigruppo e distributiva

Anello unitario

(A,+) gruppo abeliano (A,*) monoide e distributiva

Anello unitario commutativo

(A,+) gruppo abeliano (A,*) mon. comm. e distr.

Corpo

(A,+) gruppo abeliano (A,*) gruppo e distributiva

Campo

(A,+) gruppo abeliano (A,*) gruppo abeliano e distributiva

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

SPAZI VETTORIALI Spazio vettoriale ������������ ���� �������� �������������������� ���� ���� �������� ���������������������������� ������������ �������������������� �������������������� + ������������ ���������������������������������������� ���������������������������� �������������������� ������������������������������������ ���� ∙ ������������ ���������������������������������������� ���������������������������� ������������ ������������������������������������ �������� ���� �������������������� ������������������������������������������������������������ �������� ������������������������������������ (����; +; ∙) �������� ���������������� ������������������������ ���������������������������������������� ��������:

1) �������� ������������������������������������ (����; +) è �������� ������������������������ �������������������������������� 2) ���� ∙ (���� ∙ ����) = (���� ∙ ����) ∙ ���� ∀����,���� ∈ ���� ∀���� ∈ ���� 3)1 ∙ ���� = ���� ∀���� ∈ ���� 4) (���� + ����) ∙ ���� = ���� ∙ ���� + ���� ∙ ���� ∀����,���� ∈ ���� ∀���� ∈ ���� 5) ���� ∙ (���� + ����) = ���� ∙ ���� + ���� ∙ ���� ∀���� ∈ ���� ∀����,���� ∈ ����

Proprietà degli spazi vettoriali ������������ ���� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� ���������������������������� �������� �������������������������������� ��������������������������������à:

1)0 ∙ �̅��� = 0� ∀�̅��� ∈ ���� 2)(−1) ∙ �̅��� = −�̅��� ∀�̅��� ∈ ���� 3) ���� ∙ 0� = 0� ∀���� ∈ ���� 4) ���� ∙ �̅��� = 0� ⋀���� ≠ 0 ⇒ �̅��� = 0�

DIMOSTRAZIONE 1)0 ∙ �̅��� = (0 + 0) ∙ �̅��� = 0 ∙ �̅��� + 0 ∙ �̅���

0 ∙ �̅��� − (0 ∙ �̅���) = 0 ∙ �̅��� + 0 ∙ �̅��� − (0 ∙ �̅���) 0� = 0 ∙ �̅��� + 0� ⇒ 0� = 0 ∙ �̅���

2)0� = 0 ∙ �̅��� = �(−1) + 1� ∙ �̅��� = (−1) ∙ �̅��� + 1 ∙ �̅��� = (−1) ∙ �̅��� + �̅��� 0� + (−�̅���) = �(−1) ∙ �̅��� + �̅����+ (−�̅���) −�̅��� = (−1) ∙ �̅��� + (�̅��� + (−�̅���)) −�̅��� = (−1) ∙ �̅��� + 0� ⇒ −�̅��� = (−1) ∙ �̅���

3) ������������������������ �������� �������������������� 4) ���� ∙ �̅��� = 0� ���� ∙ �̅��� ∙ ����−1 = 0� ∙ ����−1 (���� ∙ ����−1) ∙ �̅��� = 0� 1 ∙ �̅��� = 0� ⇒ �̅��� = 0�

Sistema ordinato ������������ ���� − ������������ ���� = (�̅���1, … , �̅�������) �������� ����������������������������, ������������������������ ������������ �������������������������������� ��������������������������������, è �������������������� ������������ℎ���� ���������������������������� ��������������������������������, ���������������� ����′������������������������ �������������������������������� ���� �������������������������������������������� ����′������������������������ �������� ���� Combinazione lineare ������������ ���� = (�̅���1, … , �̅�������) �������� ���������������������������� �������������������������������� �������� ���������������������������� ���� ������������ (����1, … ,��������) ∈ �������� ������������ ���� − ������������ �������� ����������������������������

�������� ���������������������������� �̅��� =����������̅�������

����

����=1

�������� ���������������� ������������������������������������������������ ���������������������������� �������� ����,������������������������ ������������ ���������������������������� �̅���1, … , �̅������� ������������ ������������������������������������������������

����1, … ,�������� Relazione di dipendenza del sistema ordinato S �������� ���������������������������� �������������������������������� ���� �������� ���������������� �������������������������������������������� ���������������������������������������� �������� ������������������������ ������������ ���� − ������������ ������������ ������������������������ �������� ����������������������������

(����1, … ,��������) ∈ �������� ���������������� ����ℎ���� ���������������������������� ����������̅�������

����

����=1

= 0�

������������������������, �������� �������� ���������������������������� �������������������� 0� ���������������������������������������� �������� ����������������������������, ������������������������ �������� ���������������������������� è �������������������������������������������� ����������������������������������������, ����������������ℎé ������������ ������������������������������������������������ �������� �������������������� �������������������� ������������������������ ������������������������ ����ℎ���� ���������������������������������������� �������� ���������������������������� �������������������� �������� ���������������������������� �������� ���������������������������� �������������������� Vettori dipendenti da sistemi ordinati ������������ �̅��� �������� ���������������������������� ���� ���� = (�̅���1, … , �̅�������) �������� ���������������������������� ��������������������������������

������������������������ �̅��� ���������������������������� �������� ���� �������� ������������������������ ������������ ���� − ������������ �������� ���������������������������� (����1, … ,��������) ∈ �������� ���������������� ����ℎ���� ���������������������������� �̅��� =����������̅�������

����

����=1

�������� ��������������������������������������������, �������� ���������������������������� �������������������� 0� ���������������������������� �������� ���������������� ����������������������������,����������������ℎé è ������������������������������������ ������������������������������������ ���������������������������� �������������������� ���� ������������������������������������������������ �������� ������������������������ ���� 0,������������������������ �������� ���������������������������� ����ℎ���� ���������������������������������������� �������� �������� ���������������������������� ���������������������������� ������������ ���������������������������� ������������������������,����������������ℎé è ������������������������������������ ������������������������������������ ���������������������������� �������������������� ���� ������������������������������������������������ �������� ������������������������ ���� ���������������� ������������������������ ������������������������ ����ℎ���� ���������������������������������������� �������� ���������������������������� �������������������� �������� ��������������������������������������������������������, ����ℎ���� ���������������� ������������������������ �������������������� ������������������������ ���� 1

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Transitività di un vettore e due sistemi ������������ �̅��� �������� ���������������������������� ���� �������������������� ���� = (�̅���1, … , �̅�������) ���� ����′ = (�����1, … ,���������) ������������ ���������������������������� �������������������������������� �������� �̅��� ���������������������������� �������� ���� ���� ���������������� ���������������������������� �������� ���� ���������������������������� �������� ����′, ������������������������ �̅��� ���������������������������� �������� ����′ DIMOSTRAZIONE

�̅��� ���������������������������� �������� ���� ⇒ ∃����1, … ,�������� ∶ �̅��� =����������̅�������

����

����=1

���������������� ���������������������������� �������� ���� ���������������������������� �������� ����′ ⇒

⎩ ⎪⎪ ⎨

⎪⎪ ⎧�̅���1 =�����1�������������

����

����=1 ⋮

�̅������� =����������������������

����

����=1

����������̅�������

����

����=1

= ����1(����11�����1 + ����12�����2 +⋯+ ����1�������������) + ����2(����21�����1 + ����22�����2 +⋯+ ����2�������������) +⋯

⋯+ ��������(��������1�����1 + ��������2�����2 +⋯+ ���������������������) = = (����1����11 + ����2����21 +⋯+ ����������������1)�����1 + (����1����12 + ����2����22 +⋯+ ����������������2)�����2 +⋯ ⋯+ (����1����1���� + ����2����2���� +⋯+ ��������������������)��������� (����1����1���� + ����2����2���� +⋯+ ��������������������) = ��������

�̅��� =������������������

����

����=1

Sistema e vettori dipendenti �������� ���������������������������� ���� è ���������������������������������������� �������� ���� ���������������� �������� ������������������������ �������� ���������������������������� �������� ���� ����ℎ���� ���������������������������� ������������ ������������������������������������ DIMOSTRAZIONE

∃����1, … ,�������� ������������ �������������������� �������������������� ∶ ����������̅�������

����

����=1

= 0� ,������������ ���������������������������� ����1 ≠ 0,������������������������ �̅���1 =�(−����1)−1���������̅�������

����

����=2

Sistema ordinato linearmente indipendente �������� ���������������������������� �������������������������������� ���� = (�̅���1, … , �̅�������) �������� ���������������� �������������������������������������������� ������������������������������������������������ �������� ������������ è ����������������������������������������,������������������������ �������� ����′�������������������� ������������������������������������������������ ���������������������������� �������������������� �������� ���� è ������������������������ ������������������������, ������������������������ ���� ������������������������������������������������ �������������������� ��������������������

������������������������ ���������������� �������� �������������������������������� ������������������������������������������������: ����������̅�������

����

����=1

= 0� ⇔ �������� = 0 ∀����

Sistema indipendente massimale �������������������� ���� = (�̅���1, … , �̅�������) ���� ����′ = (�����1, … ,���������) ������������ ���������������������������� �������� ���������������������������� ���������������� ����ℎ���� ���� è ������������������������������������������������ ���� ������������������������������������ �������� ����′ ������������������������ ���� è ������������������������������������������������ ������������������������������������ �������� ����′�������� ���� ���������������� �������� ���������������� ���������������������������� �������� ����′���������������������������� �������� ���� ������������������������ ���������������� ����ℎ���� �������� ���������������������������� ������������������������������������������������ è ������������������������������������ ������������������������������������ ����ℎ���� ���������������������������������������� �������� ������������������������������������ �������������������� ���������������������������� ���������������������������������������� �������� ���������������������������� ���������������������������������������� Sistema di generatori di uno spazio vettoriale �������� ���������������������������� �������������������������������� ���� = (�̅���1, … , �̅�������) �������� ���������������� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� �������� ���� �������� ���������������� ���������������������������� �������� ���� ���������������������������� �������� ���� ������������������������ ���� ������������������������ ����, ������������������������ ���� ���������������������������� �̅���1, … , �̅������� ���������������� ���������������������������������������� �������� ����, ���� �������� ������������������������ ���� = ℒ(����) = ℒ(�̅���1, … , �̅�������) Sistema di generatori minimale �������� ���������������������������� �������������������������������� ���� = (�̅���1, … , �̅�������) �������� ���������������� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� �������������������������������� �������� ���� �������� ���� ���������������� �������� ����′�������������������� ������������������������������������������������ ���������������������������� �������������������� �������� ���� è ������������������������ ������������������������ ������������������������ ���������������� ����ℎ���� �������� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� è �������������������������������� ������������������������������������ ����ℎ���� �������������������������������� �������� ������������������������������������ ���������������������������� ���������������������������������������� �������� ���������������������������� ������������ ��������ù �������� ���������������������������������������� Spazio vettoriale finitamente generato ������������ ������������������������ ���������������������������������������� ���� �������� ���������������� �������������������������������������������� �������������������������������� �������� ���������������������������� �������� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� Base ordinata �������� ���������������������������� �������������������������������� ℬ = (�̅���1, … , �̅�������) �������� ���������������� ���������������� �������������������������������� ���� �������������������������������������������� �������� è ������������������������������������������������ ���� ������������������������ ����

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Teorema di caratterizzazione delle basi ������������ ���� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� ������������ ������������������������ �������� ���������������������������� �������������������������������� �������� ���������������������������� ℬ = (�̅���1, … , �̅�������) �������� ���� è ������������ ���������������� �������������������������������� �������� ���� ���������������� �������� ���������������� ������������ �������������������� �������������������������������� ����������������������������������������:

1) ℬ è �������� ���������������������������� ������������������������������������������������ ������������������������������������ �������� ���������������������������� �������� ���� 2) ℬ è �������� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� �������������������������������� �������� ���������������������������� �������� ���� 3) ∀�̅��� ∈ ���� ∃! (����1, … ,��������) ∈ �������� ∶ �̅��� = ∑ ���������̅���������������=1

DIMOSTRAZIONE

����������������� ⇒ (����)� ∀�̅��� ∈ ���� ∃����1, … ,�������� ������������ �������������������� �������������������� ∶ �̅��� =����������̅�������

����

����=1

⇒����������̅�������

����

����=1

− �̅��� = 0�

���������������������������� ���� ������������������������������������������������ ������������ ���������������� �������������������� �������������������� �������� �������� ������������������������ �������������������������������� �������� ���������������������������� ��������������������, �������� ���������������������������� è ����������������������������������������,������������������������ ℬ ���������������� ������������������������ �������� ���������������������������� ������������������������������������������������ ������������������������������������ �������� ���������������������������� �������� ���� ����������������� ⇒ (����)� ���������������������������������������� ����ℎ���� ℬ ������������ ������������ �������� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� �������������������������������� �������� ���������������������������� �������� ����, ����������������ì ℬ−

= (�̅���2, … , �̅�������)

������������������������ �������� ��������ò �������������������������������� ����ℎ���� �̅���1 =����������̅�������

����

����=2

, ����ℎ���� �������������������������������� ���� ����������̅�������

����

����=2

− �̅���1 = 0�

���������������������������� ���� ������������������������������������������������ ������������ ���������������� �������������������� �������������������� �������� �������� ������������������������ �������������������������������� �������� ���������������������������� ��������������������, �������� ���������������������������� è ����������������������������������������,������������������������ ℬ ���������������� ������������������������ �������� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� �������������������������������� �������� ���������������������������� �������� ���� ����������������� ⇒ (����)� ���������������������������������������� ����ℎ���� ���������������� ���������������������������� �������������������� ��������ù �������� ������������ ����������������������������������������������������������������:

�̅��� =����������̅�������

����

����=1

���� �̅��� =����������̅�������

����

����=1

⇒ 0� =�(�������� + ��������)�̅�������

����

����=1

���������������������������� ���������������� ������������������������������������������������ ���������������������������� ������������������������ �������� ���������������������������� ��������������������, �������������������� ���� ������������������������������������������������ ������������������������ ������������������������ �������������������� ������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ����: �������� = �������� ∀���� ⇒ �������� ���������������������������� �̅��� ℎ���� ���������������� ������������ ���������������������������������������������������������������� ((����) ⇒ ����������������) ℬ = (�̅���1, … , �̅�������) è �������� ���������������������������� ������������������������������������������������ ������������������������������������ �������� ���������������������������� �������� ����

∀�̅��� ∈ ���� ℬ+ = (�̅���1, … , �̅�������, �̅���) è ����������������������������������������, ������������������������ ∃����1, … ,�������� ������������ �������������������� �������������������� ∶ ����������̅�������

����

����=1

+ ��������+1�̅��� = 0�

��������+1 è ���������������������������� �������� ���������������� �������� ������������������������ �������� ���������������������������� ℬ è ������������������������������������������������, ������������������������ ������������ �������������������������������� �������� ���������������������������� �������������������� ������������������������������������ ����ℎ���� �������������������� ���� ������������������������������������������������ �������������������� ��������������������,������������������������ ℬ+ è ����������������������������������������, ������������������������ ���������������� �������������������� �������� ������������������������������������������������ ���������������������������� �������� ���������������� ����ℎ���� ������������ �������������������������������������������� ���������������� ������������������������ ������������������������������������������������������������ ��������+1

������������������������: − ��������+1�̅��� =����������̅�������

����

����=1

⇒ �̅��� =�(−��������+1)−1���������̅�������

����

����=1

(−��������+1)−1�������� = �������� ⇒ �̅��� =����������̅�������

����

����=1

, ������������������������ ℬ è ������������ ����������������

((����) ⇒ ����������������) ���������������������������������������� ����ℎ���� ℬ ������������ ������������ �������������������������������������������� ������������������������������������������������, ������������������������ ℬ ������������ è ���������������������������� ������������ ����������������

∃����1, … ,�������� ������������ �������������������� �������������������� ∶ ����������̅�������

����

����=1

= 0� ,������������ ���������������������������� ����1 ≠ 0,������������������������ �̅���1 =�(−����1)−1���������̅�������

����

����=2

������������ ����������������������������: ∃����1, … ,�������� ∶ �̅��� =����������̅�������

����

����=1

= ����1 � (−����1)−1���������̅�������

����

����=2

�+����������̅�������

����

����=2

=�[����1(−����1)−1�������� + ��������]�̅�������

����

����=2

����1(−����1)−1�������� + �������� = �������� ⇒ �̅��� =����������̅�������

����

����=2

,�������� ��������ò �������������������������������������������� ����′���������������������������� ����ℎ���� ℬ è �������� ���������������������������� �������� ����������������������������������������

��������������������������������, ������������������������ ℬ è ������������ ����������������

((����) ⇒ ����������������) �̅��� =����������̅�������

����

����=1

, ������������������������ ℬ = (�̅���1, … , �̅�������) è �������� ���������������������������� �������� ����������������������������������������

���������������������������� ���������������������������������������� ����ℎ���� ������������������������ ���������������������������� è ������������ℎ���� ������������������������������������������������

0� ∈ ����, ������������������������ ������������ ���������������������������� ∃! (����1, … ,��������) ∶ ����������̅�������

����

����=1

= 0�

���������������������������� ���������������� �������������������������������� �������� �������������������� ���������������������������� �������� ������������������������������������������������ ���� ����′���������������������������� �������� ������������������������������������������������ �������������������� �������������������������������� �������� ���������������������������������������� ����������������������������������������,ℬ ���������������� ������������������������ �������� ���������������������������� ������������������������������������������������ ������������������������������������,�������� �������������������������������������������� ℬ è ������������ ����������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Lemma di Steinitz ������������ ℬ = (�̅���1, … , �̅�������) ������������ ���������������� �������� ���� ���� ������������ ���� = (�����1, … ,���������) �������� ���������������������������� �������� ���������������������������� �������� ���� > ���� ������������������������ �������� ���������������������������� ���� è ���������������������������������������� DIMOSTRAZIONE ������������ �����1 �������� ���������������������������� ������������ �������������������� �������� ���� ���������������������������� ℬ è �������� ���������������������������� �������� ����������������������������������������,�����1 �������� ��������ò ������������������������������������ ���������������� ������������������������������������������������ ���������������������������� �������� ℬ,������������������������:

∃����1, … ,�������� ∶ �����1 =����������̅�������

����

����=1

�����1 ≠ 0�, ������������������������ ������������������������ �������� ������������������������������������������������ è ���������������������������� �������� ����������������, ������������ ���������������������������� ����1 ≠ 0

�����1 = ����1�̅���1 +����������̅�������

����

����=2

⇒ �̅���1 = (����1)−1�����1 − (����1)−1����������̅�������

����

����=2

������������������������ (�����1, �̅���2, … , �̅�������) è ������������ ���������������� ������������������������ ������������������������������������������������ �������� ��������ò ������������������������������������ �������������������������������������������������������� ���� ���������������� ���������������������������� �������� ����,������������������������ (�����1, … ,���������) è ������������ ���������������� �������������������������������� ���� �������������������������������� ��������ù �������������������������������� �������� ��������������������′������������������������ ����������������, ������������������������ ���������������� ���������������������������� �������� ���� ������������ ������������������������������������������������ ���������������� ���������������� ���������������������������� �������� �����1, … ,���������,������������������������ ���� è ���������������������������������������� Teorema di equipotenza delle basi ������������ ���� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� ������������ ������������������������ ���� �������������������������������������������� �������������������������������� �������� ���������������� �������� ���� ���������������� �������������������� �������������������������������������������� DIMOSTRAZIONE �������������������� ℬ ���� ℬ′ ������������ ���������������� �������� ����, ������������������������������������������������������������ �������� ����������������������������������������à ���� ���� ���� ������������ �������� �������������������� �������� ��������������������������������, ���������������������������� ℬ ������������ ������������ ����������������, �������� ���� ≤ ���� ������������������������ ℬ′ è ������������������������������������������������,������������������������ ���������������������������� ℬ′ ������������ ������������ ����������������, �������� ���� ≤ ���� ������������������������ ℬ è ������������������������������������������������ ���������������������������� ���������������� �������������������������������� ����������������, ���� = ����, ������������������������ �������� ������������ ���������������� ���������������� �������������������������������������������� Teorema di estrazione di una base ������������ ���� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� ������������ ������������������������ ���� ������������ ���� = (�̅���1, … , �̅�������) �������� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� �������� ���� �������� ���� �������� ��������ò �������������������������������� ������������ ���������������� �������� ���� DIMOSTRAZIONE �������� ���� è �������� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� �������������������������������� �������� ����, ������������������������ è ������������ ���������������� �������� ���� �������� ������������ì ������������ ��������������������, �������������������� ������������������������������������ ���������������� ���������������������������� ����ℎ���� ���������������������������� ���� ������������ �������������������������������� �������� �������������������������������� ������������ ���������������� �������������������������������� �������� ���� �������� ���� Dimensione di uno spazio vettoriale ������������ ���� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� �������������������������������������������� �������������������������������� �������� ���������������������������������������� �������� ���� (dim����) è 0 �������� ���� è �������� ������������������������ ������������������������,������������������������ è ������������������������ ���������������� ����������������������������������������à �������� ������������ ������������ ���������������� �������� ���� ������������ è ������������������������ Teorema di completamento di una base ������������ ���� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� �������������������������������������������� �������������������������������� ���� ������������ ���� = (�̅���1, … , �̅�������) �������� ���������������������������� ������������������������������������������������ �������� ���������������������������� �������� ���� ������������������������ �������������������������������� ������������ ���������������������������� �̅�������+1, … , �̅������� ���������������� ����ℎ���� �������� ���������������������������� ℬ = (�̅���1, … , �̅�������, �̅�������+1, … , �̅�������) ������������ ������������ ���������������� �������� ���� Sottospazio vettoriale ������������ ���� �������� ����− ������������������������ ���������������������������������������� ���� ������������ ���� ⊆ ���� �������� ������������������������������������������������ ���� �������� ���������������� �������������������������������������������� ���������������������������������������� �������� ���� �������� ���������������� �������������������������������������������� �������� �������������������������������� ����������������������������������������:

1)0� ∈ ���� 2) ∀����� , �̅��� ∈ ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ����� + �̅��� ∈ ���� 3) ∀���� ∈ ����,∀�̅��� ∈ ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� �����̅��� ∈ ����

Proprietà di due sottospazi ������������ ���� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� ���� �������������������� ���� ���� ���� ������������ ���������������������������������������� �������� ���� ���������������������������� �������� �������������������������������� ��������������������������������à:

1) �������� ���� ⊆ ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ���� +���� = ���� ∪���� =���� 2) �������� �������������������������������� ���� +���� = {�̅��� ∈ ���� ∶ ∃����� ∈ ����,∃����� ∈ ���� ∶ �̅��� = ����� +�����} 3) �������� ���� = 〈�����1, … ,���������〉 ���� ���� = 〈�����1, … ,���������〉 ������������������������ ���� +���� = 〈�����1, … , ���������,�����1, … ,���������〉

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Relazione sistemi di generatori – spazio vettoriale ������������ ���������������� ���������������������������� ���� ������������������������������������������������ ���� �������������������� ������������������������ ���������������������������������������� ����,ℒ(����) è �������� �������������������������������������������� �������� ���� DIMOSTRAZIONE ������������ ��������������������������������������������,�������� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� ���� = (�̅���1, … , �̅�������) �������� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� ���� è �������� ���������������������������� �������� ���������������������������� ����ℎ���� �������������������������������� �������� �������������������������������� ������������������������������������ ���������������������������� �������� ���� �������������������������������� ������������������������������������������������ ����������������������������

∀�̅��� ∈ ���� ∃(����1, … ,��������) ∈ �������� ∶ �̅��� =����������̅�������

����

����=1

������������ (�̅���1, … , �̅�������) ∈ ����

������������������������ ℒ(����) è ����′���������������������������� �������� ������������������������ ������������������������������������������������ ���������������������������� ����, ���������������������������� �������������������������������� �������� ���������������������������������������� ����ℎ���� �������������������������������������������� �������� �������������������������������������������� ����������������������������������������, è ������������ℎ���� �������� �������������������������������������������� �������� ���� Prodotto scalare × ∶ ���� × ���� → ℝ (�̅���,�����) → �̅��� × ����� = ���������������� + ���������������� + ���������������� = |����||����| cos ��������� DIMOSTRAZIONE �̅��� ×����� = �������������̅+ ������������̅+ �������������� × �������������̅+������������̅+�������������� = = ������������̅×������������̅+ ������������̅× ������������̅+ ������������̅× ������������� + +������������̅×������������̅+ ������������̅×������������̅+ ������������̅× ������������� + +������������� × ������������̅+ ������������� × ������������̅+ ������������� ×������������� ���� �������������������������������� ���������������������������� �������� ���������������������������� ���������������������������������������� ���������������� ��������������������,������������������������ �������� ���������������������������� ������������������������ �������������������� 1,������������������������: (���������������� + 0 + 0) + �0 + ���������������� + 0� + (0 + 0 + ����������������) = ���������������� + ���������������� + ����������������

���������������������������� cos ��������� = �̅��� × ����� |����||����|

, �������� ℎ���� ����ℎ���� cos ��������� = ���������������� + ���������������� + ����������������

���������2 + ��������2 + ��������2���������2 + ��������2 +��������2

Prodotto vettoriale × ∶ ���� × ���� → ℝ (�̅���,�����) → �̅��� ∧ ����� = ����������������� − ���������������������̅ − (���������������� − ����������������)����̅+ ����������������� − ���������������������� = |����||����| sin ��������� DIMOSTRAZIONE �̅��� ∧ ����� = �������������̅+ ������������̅+ �������������� ∧ �������������̅+ ������������̅+�������������� = = ������������̅ ∧ ������������̅+ ������������̅ ∧ ������������̅+ ������������̅ ∧ ������������� + +������������̅ ∧ ������������̅+ ������������̅ ∧ ������������̅+ ������������̅ ∧ ������������� + +������������� ∧ ������������̅+ ������������� ∧ ������������̅+ ������������� ∧ ������������� ���� �������������������������������� ���������������������������������������� �������� ���������������������������� ������������������������ ���������������� ��������������������,������������������������ �������� ���������������������������� ���������������������������������������� �������������������������������� ���������������������������� ���������������������������������������� �������� ������������, ������������������������: �0 + ��������������������� − ���������������������̅+ �−��������������������� + 0 + ���������������������̅+ ���������������������̅ − ��������������������̅+ 0� =

= ����������������� − ���������������������̅ − (���������������� − ����������������)���� ̅+ ����������������� − ���������������������� = ����̅ � �������� �������� �������� ��������� − ����̅ �

�������� �������� �������� ���������+ ����

� � �������� �������� �������� ���������

����ℎ���� �������������������������������������������� ���������������� �������������������������������� �������� ���������������������������� �������������������� �������� �������������������� ���������������� �������� � ����̅ ���� ̅ ����� �������� �������� �������� �������� �������� ��������

���������������������������� sin ��������� = �̅��� ∧ ����� |����||����|

, �������� ℎ���� ����ℎ���� sin ��������� = ����������������� − ���������������������̅ − (���������������� − ����������������)���� ̅+ ����������������� − ����������������������

���������2 + ��������2 + ��������2���������2 + ��������2 + ��������2

Prodotto misto �������� �������� �������������������������������� ��������′���������������������������������������� �������� ������������������������ ������������������������ ����� × �̅��� ∧ ����� , �������� �������������������� �������� �������������������������������� �������������������� ���� �������� ������������������������ �������������������� �������� �������������������������������� ���������������������������������������� ���� ������������ ������������������������ ����������������������������: ����� × (�̅��� ∧ �����) = ��������(�̅��� ∧ �����)���� + ��������(�̅��� ∧ �����)���� + ��������(�̅��� ∧ �����)���� =

= � �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� ��������

�������� �������������������������������� �������� ���������������������������� �������� �������� ���������������������������� è ���������������������������������������� ���������������� �������������������� ������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Teorema di Grassman ������������ ���� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� ���� �������������������� ���� ���� ���� ������������ ���������������� ���������������������������������������� �������������������������������������������� �������������������������������� ������������������������ ������������ℎ���� �������� �������������������������������������������� ���� +���� è �������������������������������������������� �������������������������������� ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� dim(���� +����) = dim���� + dim����− dim (���� ∩����) DIMOSTRAZIONE ������������ ���� ∩���� = 〈�̅���1, … , �̅�������〉 ���� = 〈�̅���1, … , �̅������� ,���������+1, … ,���������〉 ���� ���� = 〈�̅���1, … , �̅������� ,���������+1, … ,���������〉 �������������������������������������������� ����ℎ���� ���� +���� = 〈�̅���1, … , �̅������� , ���������+1, … , ���������,���������+1, … ,���������〉,������������������������ ����ℎ���� ℬ = [�̅���1, … , �̅������� ,���������+1, … , ���������,���������+1, … ,���������] è ������������ ���������������� �������� ���� +����

������������ �̅��� ∈ ���� +����,������������������������ ∃����� ∈ ����,����� ∈ ���� ∶ �̅��� = ����� + ����� =�(�������� + ��������)�̅�������

����

����=1

+ � �����������������

����

����=����+1

+ � �����������������

����

����=����+1

������������������������ ���� ���������������������������� �������� ℬ,������������������������ ℬ è �������� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� �������� ���� +����

���������������������������� ���������������������������������������� ����ℎ���� ℬ è ������������ℎ���� ������������������������������������������������,������������������������ ����ℎ���� �(�������� + ��������)�̅�������

����

����=1

+ � �����������������

����

����=����+1

+ � �����������������

����

����=����+1

= 0�

�������� ���� ���������������� �������� �������� + �������� = �������� = �������� = 0 ∀����, ����,����

������������������������������������������������ �������� = �������� + �������� ⇒����������̅�������

����

����=1

+ � �����������������

����

����=����+1

+ � �����������������

����

����=����+1

= 0�

�������� ℎ���� ����ℎ���� − � �����������������

����

����=����+1

=����������̅�������

����

����=1

+ � �����������������

����

����=����+1

���������������������������� �������� �������������������� ������������������������ ���������������������������������������� ���� ����, �������� ���������������������������� ���� ���� ���� ���� ������������ ������������������������ ���������������� ��������������������������������������������, �������� ��������������������

������������������������ �������������������������������� ������������′������������������������������������������������ ���� ∩����, ����ℎ���� �������������������������������������������� �������� ������������������������ ����������̅�������

����

����=1

− � �����������������

����

����=����+1

=����������̅�������

����

����=1

⇒ � �����������������

����

����=����+1

+����������̅�������

����

����=1

= 0�

���������������������������� ������������ ���� è �������������������������������� ������������ ����������������, � �����������������

����

����=����+1

= 0� �������� ���� ���������������� �������� �������� = 0 ∀����

���������������������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� − � �����������������

����

����=����+1

=����������̅�������

����

����=1

+ � �����������������

����

����=����+1

, ������������������������ �������� ��������ò ������������������������������������ �������� ������������������������ ������������������������������������������������

������������ �������������������������������� ���������������� �������������������������������������������� ����ℎ���� � �����������������

����

����=����+1

= 0� �������� ���� ���������������� �������� �������� = 0 ∀����

������������������������ ����������̅�������

����

����=1

= 0� ����, ���������������������������� ������������ ���� ∩���� è �������������������������������� ������������ ����������������, �������� = 0 ∀���� ⇒ ℬ è ������������ ���������������� �������� ���� +����

�������� ������������ ����������������������������������������à è: ���� + (���� − ����) + (���� − ����) = ���� + ���� − ����, ����ℎ���� �������������������������������������������� ���������������� ���������������������������� �������� �������������������������������� Somma diretta ������������ ���� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� ���� �������������������� ���� ���� ���� ������������ ���������������������������������������� �������� ���� �������� �������������������������������������������� ������������������������������������������������ ���� +���� �������� ���� ���� ���� �������� ���������������� �������������������� ���������������������������� (����⨁����) �������� ∀�̅��� ∈ ���� +���� ∃!����� ∈ ����,∃!����� ∈ ���� ∶ �̅��� = ����� +����� Caratterizzazione della somma diretta ������������ ���� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� ���� �������������������� ���� ���� ���� ������������ ���������������������������������������� �������� ���� �������� �������������������������������������������� ������������������������������������������������ ���� +���� �������� ���� ���� ���� è ������������ �������������������� ���������������������������� �������� ���� ���������������� �������� ���� ∩���� = {0�} DIMOSTRAZIONE �(⇒) ��������: ����+���� è �������������������� ����������������������������� ������������ �̅��� ∈ ���� ∩���� �������� �������������������� ���������������������������� �������� ����������������,������������������������ �̅��� ∈ ����,−�̅��� ∈ ���� ���� �������� ���������������������������� �������������������� �������� �������������������������������������������������������� �������� ������������ ���������������� �������������������������������� 0� = 0� + 0� = �̅��� + (−�̅���),������������������������ �̅��� ���������������� ������������������������ ������������������������ ���� ���������������� �(⇐) ��������: ����∩���� = {�����}� ������������ �̅��� ∈ ���� +���� ���������������������������������������� ������������ ���������������������������� ����ℎ���� ∃����� , �����′ ∈ ���� ∃����� ,�����′ ∈ ���� ∶ �̅��� = ����� +����� = �����′ +�����′ ⇒ ����� − �����′ = �����′ − ����� �������������������������������� ���� ������������������������ ������������������������������������������������ ���� ���� ∩����, ������������������������ ������������ ���������������������������� 0� = ����� − �����′ = �����′ − ����� ⇒ ����� = �����′ ���� ����� = �����′

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Applicazione lineare (omomorfismo) �������������������� ���� ���� ����′ ������������ �������������������� ���������������������������������������� �������� ������������ ������������������������ �������������������� ���� ���� ������������ ���� ∶ ���� → ����′ ������������ ������������������������������������������������ ������������ ���������������� �������������������� ���� è ������������ ������������������������������������������������ ���������������������������� �������� ���������������� ���������������������������������������� �������� �������������������������������� ����������������������������������������:

1) ����(����� + �̅���) = ����(�����) + ����(�̅���) ∀����� , �̅��� ∈ ���� 2) ����(�����̅���) = ��������(�̅���) ∀���� ∈ ���� ∀�̅��� ∈ ����

����ℎ���� �������������������������������������������� ���� ���������������� ����������������������������������������:����(��������� + �����̅���) = ��������(�����) + ��������(�̅���) ∀����,���� ∈ ���� ∀����� , �̅��� ∈ ���� ������������ ������������������������������������������������ ���������������������������� ���������������� �������� ���������������� ��������������������������������à:

1) ����(0�) = 0� 2) ����(−�̅���) = −����(�̅���) ∀�̅��� ∈ ����

Nucleo di f (kernel di f) ������������ ���� ∶ ���� → ����′ ������������ ������������������������������������������������ ���������������������������� �������� ������������������������������������������������ ker ���� = ����−1(0�) = {�̅��� ∈ ���� ∶ ����(�̅���) = 0�} �������� ���������������� ������������������������ �������� ���� �������� è �������������������������������������������� �������� ���� DIMOSTRAZIONE ������������ ������������������������ �������������������������������������������� �������� ����, �������� ������������������������������������������������ ���������������������������� ��������� + �����̅��� ���������������� �������������������������������������������� �������� ������������������������ �������� ����,������������������������ ����(��������� + �����̅���) = 0� ������������ ���������������������������� �������������������������������� ����ℎ���� �������� ����� , �̅��� ∈ ker ���� ������������������������ ����(�����) = ����(�̅���) = 0� ������������ �������� ��������������������������������à ����������������′������������������������������������������������ ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ����(��������� + �����̅���) = ��������(�����) + ��������(�̅���) = ���� ∙ 0� + ���� ∙ 0� = 0� Immagine di f ������������ ���� ∶ ���� → ����′ ������������ ������������������������������������������������ ���������������������������� �������� ������������������������������������������������ �������� ���� = ����(����) = {����′ ∈ ����′ ∶ ∃���� ∈ ���� ∶ ����(����) = ����′} �������� ���������������� �������������������������������� �������� ���� �������� è �������������������������������������������� �������� ����′ DIMOSTRAZIONE ������������ ������������������������ �������������������������������������������� �������� ����, �������� ������������������������������������������������ ���������������������������� ��������� + �����̅��� ���������������� �������������������������������������������� ������������′�������������������������������� �������� ����, ������������������������ ����(��������� + �����̅���) = ���������′ + �����̅���′ ������������ �����′, �̅���′ ∈ ����′ ������������ ���������������������������� �������������������������������� ����ℎ���� �������� ����� , �̅��� ∈ �������� ���� ������������������������ ����(�����) = �����′ ���� ����(�̅���) = �̅���′ ������������ �������� ��������������������������������à ����������������′������������������������������������������������ ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ����(��������� + �����̅���) = ��������(�����) + ��������(�̅���) = ���������′ + �����̅���′ Monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo ������������ ���� ∶ ���� → ����′ ������������ ������������������������������������������������ ����������������������������

� ���� ������������������������������������ = ������������������������������������������������ ���� ���������������������������������������� = �������������������������������������������� ���� �������������������������������� = ��������������������������������������������

Endomorfismo ������������ ���� �������� ����− ������������������������ ���������������������������������������� ������������ ������������������������������������������������ ���������������������������� ���� ∶ ���� → ���� �������� ���������������� ������������������������������������������������ Teorema di caratterizzazione dei monomorfismi ������������ ���� ∶ ���� → ����′ ������������ ������������������������������������������������ ���������������������������� ���� è �������� ������������������������������������������������ �������� ���� ���������������� �������� ker ���� = {0�} DIMOSTRAZIONE �(⇒) ��������: ���� è �������� ������������������������������������������������� ������������ ���������������������������� ����(�����) = ����(�̅���) ⇒ ����� = �̅��� ������������ �̅��� ∈ ker ���� ,������������������������ ����(�̅���) = 0� ��������������������������������,������������ ����′����������������������������������������à �������� ����, �������� �̅��� ≠ 0� ������������������������ ����(�̅���) ≠ ����(0�) = 0� ,������������������������ �̅��� ∉ ker���� , �������� �������������������������������������������� �̅��� = 0� �(⇐) ��������: ������������ ���� = {�����}� ���������������������������������������� ����ℎ���� ���� ������������ ������������ ������������������������������������,������������������������ ∃����� , �̅��� ∈ ���� ∶ ����� ≠ �̅��� ������������ ����(�����) = ����(�̅���) ������������������������ ����(�����)− ����(�̅���) = 0� ⇒ ����(����� − �̅���) = 0� ,�������� �������������������������������������������� ������������ ���������������������������� ����� − �̅��� = 0� ,������������������������ ����� = �̅���,�������� ��������ò è ���������������������������� �������� ������������������������ ����� ≠ �̅���,������������������������ ���� ���������������� ������������������������ ������������������������������������,������������������������ �������� ������������������������������������������������ Caratterizzazione degli epimorfismi ������������ ���� ∶ ���� → ����′ ������������ ������������������������������������������������ ���������������������������� ���� è �������� �������������������������������������������� �������� ���� ���������������� �������� �������� ���� = ����′ Inversa di un isomorfismo ������������ ���� ∶ ���� → ����′ �������� �������������������������������������������� ������������������������ ������������ℎ���� ����′������������������������������������������������ ���������������������������� ����−1 ∶ ����′ → ���� è �������� �������������������������������������������� DIMOSTRAZIONE ���� è ��������������������������������,������������������������ ������������ℎ���� ����−1 è ��������������������������������,������������������������ �������������������� ���������������������������������������� ����ℎ���� ����−1 ������������ ���������������������������� �������������������� ����,���� ∈ ���� ���� �����′, �̅���′ ∈ ����′, ������������������������ ������������ �������� ������������������������������������à ∃!����� , �̅��� ∈ ���� ∶ �����′ = ����(�����) ���� �̅���′ = ����(�̅���) ������������������������ ����� = ����−1(�����′) ���� �̅��� = ����−1(�̅���′) �������� ℎ���� ����ℎ����: ����−1(���������′ + �����̅���′) = ����−1���������(�����) + ��������(�̅���)� = ����−1�����(��������� + �����̅���)� = ��������� + �����̅��� = ��������−1(�����′) + ��������−1(�̅���′) ������������������������ ����−1 è ���������������������������� ����, ���������������������������� ������������ℎ���� ��������������������������������, è �������� ��������������������������������������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Relazioni tra proprietà di sistemi di una applicazione lineare ������������ ���� ∶ ���� → ����′ ��������′������������������������������������������������ ����������������������������, ������������ ���� = (����1, … , ��������) �������� ���������������������������� �������� ���������������������������� �������� ���� ���� ������������ ����′ = (����(����1), … ,����(��������)) �������� ���������������������������� �������� ���������������������������� �������� ����′ ������������������������ �������� ℎ���������������� �������� �������������������������������� ������������������������������������ ������������ �������� ��������������������������������à ������������ ������������ ����������������������������:

1) �������� ���� è ����������������������������������������,������������������������ ����′ è ���������������������������������������� 2) �������� ���� è ������������������������������������������������ ���� ���� è �������� ������������������������������������������������,������������������������ ����′ è ������������������������������������������������ 3) �������� ���� ������������������������ ����, ������������������������ ����′ ������������������������ �������� �������������������������������������������� �������� ���� �������� ����′ 4) �������� ���� ������������������������ ���� ���� ���� è �������� ��������������������������������������������,������������������������ ����′ ������������������������ ����′ 5) �������� ���� è ������������ ���������������� �������� ���� ���� ���� è �������� ��������������������������������������������,������������������������ ����′ è ������������ ���������������� �������� ����′

DIMOSTRAZIONE 1) �������� ���� è ����������������������������������������,������������������������ è ������������������������������������ �������������������������������� �������� ���������������������������� �������������������� �������� ���� ���������������� ������������������������������������������������ ���������������������������� ��������

���������������������������� �������� ���� ������������ ���������������������������� ������������ �������������������� ��������������������: ∃���� ∈ (����1, … ,��������) ≠ 0 ∶ ����������̅�������

����

����=1

= 0�

���������������������������� ����′������������������������������������������������ ���������������������������� ���� ���������������������������� �������� ���������������������������� �������������������� �������� ���� �������� ���������������������������� �������������������� �������� ����′, �������� ℎ���� ����ℎ����

0� = ����(0�) = ���� �����������̅�������

����

����=1

� =�������������(�̅�������) ����

����=1

������������ ���������������������������� �������� ���������������� ������������������������������������������������ ���������������������������� ���������������� ������������ ������������������������ �������� ��������������������, ������������������������ ������������ℎ���� ����′ è ���������������������������������������� 2) �������� ���� è �������� ������������������������������������������������, ������������������������ ���� �������� ��������ò �������������������������������������������� ���������������� �������� �������������������������������������������� �������� �������� ����, ������������������������ �������� ������������������������������������ ������������ �������������������������������������������� �������� ���� �������������������������������� ������������������������������������������������ �������� ������������������������������������ ������������ �������� ���������������������������������������� ��������������������������������à, �������� ���� è ����������������������������������������,����(����) è ����������������������������������������,������������������������ ������������ℎ���� ���� = ����−1 ∘ ����(����) è ����������������������������������������,������������������������ �������� ���� è ������������������������������������������������ ������������ℎ���� ����(����) è ������������������������������������������������

3) ������������ ���� = (�̅���1, … , �̅�������) �������� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� ���� ������������ �̅���′ ∈ �������� ����, ������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� �̅���′ = ����(�̅���),���������������� �̅��� ∈ ����

���������������������������� ���� ������������������������ ����, �������� ℎ���� ����ℎ���� �̅��� =����������̅�������

����

����=1

, ������������������������ �̅���′ = ����(�̅���) = ���� �����������̅�������

����

����=1

� =�������������(�̅�������) ����

����=1

, ������������������������

����′ ������������������������ �������� ���� 4) �������� ���� è �������� ��������������������������������������������, ������������������������ �������� ���� = ����′,������������������������ ������������ �������� ���������������������������������������� ��������������������������������à ����′������������������������ ����′ 5) �������� ���� è ������������ ���������������� �������� ���� ���� ���� è �������� ��������������������������������������������,������������������������ �������� ���������������������������� ������������������������������������ �������� ��������������������������������à (2) ���� (4): ������������ ���������������� è ������������������������������������������������, ������������������������ ����′ è ������������������������������������������������,�������� è ������������ℎ���� �������� ���������������������������� �������� ����������������������������������������,������������������������ ����′������������������������ ����′, �������� �������������������������������������������� ����′ è ������������ ���������������� �������� ����′

Teorema dell’equazione dimensionale �������������������� ���� ���� ����′������������ �������������������� ���������������������������������������� �������� �������� �������������������� ���� ���� ������������ ���� �������������������������������������������� �������������������������������� ������������ ���� ∶ ���� → ����′ ������������ ������������������������������������������������ ���������������������������� ������������������������ �������� �������������������������������������������� �������� ���� �������� ����′ è �������������������������������������������� �������������������������������� ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� dim���� = dim ker ���� + dim �������� ����

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

MATRICI Matrice ������������ ���� �������� ���������������������������� ������������ �������������������� ������������ ���������������������������� �������� ���������������� ���� × ���� �������� ���� è ��������′������������������������������������������������ ���� ∶ {1, … ,����} × {1, … , ����} → ���� ������������ ���������������������������� ���� è ���������������������������������������������������� �������������������������������������������� �������������������� ���������������������������� ��������,���� ����ℎ���� ���������������������������� ������������������������ �������������������������������� �������� ������������ ���������������������������� ������������ ������������ℎ���� ���� ����������������������������, ������������������������:���� = ���������,�����

���� = �

����1,1 ����1,2 ⋯ ����1,���� ����2,1 ����2,2 ⋯ ����2,���� ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ��������,1 ��������,2 ⋯ ��������,����

Trasposta di una matrice ������������ ���� ∈ ℳ����,���� �������� ���������������������������� ���� �������� ���������������� ������������������������������������ �������� ���� � �������� � �������� ���� = ���������,����� ∈ ℳ����,���� è �������������������������������� ���������������������������� ��������,���� = ��������,���� Matrice triangolare e matrice diagonale �������� ���������������������������� ���� �������� ���������������� �������������������������������������������� �������������������� �������� ������������ ���������������� ������������������������ (����, ����) ���������������� ����ℎ���� ���� < ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ��������,���� = 0 �������� ���������������������������� ���� �������� ���������������� �������������������������������������������� ���������������� �������� ������������ ���������������� ������������������������ (����, ����) ���������������� ����ℎ���� ���� > ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ��������,���� = 0 �������� ���������������������������� ���� �������� ���������������� ������������������������������������ �������� ������������ ���������������� ������������������������ (����, ����) ���������������� ����ℎ���� ���� ≠ ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ��������,���� = 0 Matrice identica ������������ ���������������� ���� ∈ ���� ������������������������������������ ������������ �������� �������� ���������������������������� �������������������������������� �������� ������������������������ ����

�������� = �

1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1

�������� ℎ���� ����ℎ���� �������� = ���������,�����,���������������� ��������,���� è �������� ���������������������������� �������� ������������������������������������ �������� è �������������������������������� ������������ì:

��������,���� = � 1 �������� ���� = ���� 0 �������� ���� ≠ ����

Prodotto righe per colonne ������������ ���� = ���������,����� ∈ ℳ����,���� ���� ������������ ���� = ���������,ℎ� ∈ ℳ����,���� ������������������������ �������� ��������ò �������������������������������� ������������ ������������������������������������������������������������ ������������ �������� ������������ ���������������������������� ����ℎ���� ������������������������ ������������ ���������������������������� ���� = ���������,ℎ� ∈ ℳ����,����

���������������� ����ℎ���� ��������,ℎ =���������,������������,ℎ

����

����=1

���������������� ���������������������������� ���� �������� ������������������������������������ �������������������������������� ������������ℎ���� ������������ ���������������������������� �������� ���� ���� ���� ���� �������� ������������������������ ������������ ���� = �������� Proprietà del prodotto righe per colonne

1) �������� �������������������������������� ������������ℎ���� ������������ ���������������������������� ������������ ���������������������������� è ������������������������������������������������ (����(���� + ����) = �������� + ��������) 2) �������� �������������������������������� ������������ℎ���� ������������ ���������������������������� ������������ ���������������������������� è �������������������������������������������� ((��������)���� = ����(��������))

Inversa di una matrice ������������ ���� ∈ ℳ����,���� ������������ ���������������������������� �������������������������������� �������� ���������������������������� ���� è �������������������������������������������� �������� ������������������������ ������������ ���������������������������� ����−1 ���������������� ����ℎ���� ��������−1 = �������� = ����−1���� �������� ������������������������, �������� ���������������������������� ����−1 è ��������������������, è �������������������� ���������������������������� ���������������������������� �������� è �������������������������������� �������������������� ������������������������ ������������������������ �������� ���� Rango di una matrice ������������ ���� ∈ ℳ����,���� �������� �������������������� �������� ���� �����(����)� è �������� ������������������������ ������������������������ ������������ �������������������������������� �������������������������������� ������������ì:

1) �������� �������� ���������������������������� è �������������������� ������������������������ ����(����) = 0 2) �������� �������� ���������������������������� ������������ è �������������������� ������������������������ ����(����) è: • �������� ���������������������������� ������������������������ �������� ������������ℎ���� ���� ���������������������������� �������������������������������������������� ������������������������������������������������ • �������� ���������������������������������������� ������������ �������������������������������������������� �������� �������� ���� �������� �������������������������������� �������������������� ������������ℎ���� ���� ���������������������������� �������� ���� • �������� ���������������������������� ������������������������ �������� �������� ������������������������ ������������ �������������������� �������� ����

Operazioni elementari sulle righe di una matrice ������������ ���� ∈ ℳ����,���� ������������ ���������������������������������������� ���������������������������������������� �������������������� ������������ℎ���� �������� ���� è ������������ �������������������������������������������������������� �������� ������������ ������������ �������������������������������� ����������������:

1) ������������������������������������������������ ������������ ���������������� �������� ������������ ������������ ���������������������������� ������������ �������������������� ���� (�������� → ������������) 2) ������������������������������������ �������� �������������������� ������������ ������������ℎ���� �������� ���� �������� (�������� ↔ ��������) 3) ���������������������������������������� �������� ���������������� �������� ������������ �������� + ������������ (�������� → �������� + ������������)

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Relazione di equivalenza tra matrici �������������������� ���� ���� ���� ∈ ℳ����,���� �������� ���������������������������� ���� ���� ���� ���������������� �������������������������������������������� (���� ≡ ����) �������� ���� �������� ���������������������������� �������� ���� �������������������������������� �������� ������������������������ ������������������������ �������� ���������������������������������������� ���������������������������������������� Determinante di una matrice �������� ������������������������������������������������ �������� ������������ ���������������������������� è ������������ ������������������������������������������������ det : ��������,���� → ���� ����ℎ���� �������������������������������� �������� �������������������������������� ��������������������������������à:

1) det(��������) = 1 2) �������� �������� = �������� ������������ ��������������������ℎ���� ���� ≠ ���� ������������������������ det(����) = 0 3) �������� �������� = ������������ + ������������ ������������������������ det(����) = ���� det(����) + ���� det(����) 4) �������� �������� ������������������������������������ ������������ ������������ℎ���� �������������������� ���������������������������� ������������������������ �������� ������������������������������������������������ ������������������������ �������� ��������������������

������������������������ ��������������������������������à ���������������������������� ������������ℎ���� ������������������������������������������������ ���� ���������������������������� ���������������������������� �������������������� ���������������������������� �������� ������������������������������������������������ �������� ������������ ���������������������������� ���� ��������ò ������������������������ �������������������������������� ������������ℎ���� �������� ���������������� �������������������������������������������� �������������������������������� �������� ����������������������������

�������� ���������������������������� |����| = � ����(����)���������,����(����) ����

����=1����∈��������

, ���������������� �������� ������������������������ ����′���������������������������� �������� �������������������� �������� ������������������������������������������������ ���� ����������������′����������������������������

�������������������������������� {1, … ,����} ���� ����(����) ������������������������ �������� �������������������� �������������������� ������������������������������������������������ (+1 �������� è ����������������,−1 �������� è ����������������������������) ����������������������������:���� = 2

����2 = � ����1

�1 21 2� , ����2

�1 22 1� � |����| = �

����1,1 ����1,2 ����2,1 ����2,2� = ����(����1)����1,1����2,2 + ����(����2)����1,2����2,1 = ����1,1����2,2 − ����1,2����2,1

������������ ���������������������������� �������������������������������� �������� ������������������������ ≤ 3,������������ �������������������������������� �������� ������������������������������������������������ �������� ��������ò ������������������������������������ �������� ������������������������ �������� ������������������������:

� ����1,1 ����1,2 ����1,3 ����1,1 ����1,2 ����2,1 ����2,2 ����2,3 ����2,1 ����2,2 ����3,1 ����3,2 ����3,3 ����3,1 ����3,2

|����| = ����1,1����2,2����3,3 − ����1,1����2,3����3,2 + ����1,3����2,1����3,2 − ����1,3����2,2����3,1 + ����1,2����2,3����3,1 − ����1,2����2,1����3,3 Minore di una matrice ������������ ���� ∈ ℳ����,���� �������� ������������������������ �������������������� ���������������������������� ���� è �������� ������������������������������������������������ �������� ������������ ������������������������������������������������ �������������������������������� ���������������������������������������� �������� ���� ���������������������������������������� ������������������������ ������������ℎ���� ���� ���������������������������� �������� ���� Matrice dei cofattori (Matrice dei complementi algebrici) ������������ ���� ∈ ℳ����,���� �������� ���������������������������� ������������ ������������������������������������ �������� ���� è ������������ ���������������������������� �������������������������������� �������� ������������ �������������������������������� �������������������� ������������������������������������ ����, ���� è �������� ������������������������������������ ���� �������������������������������������������� ������������������������������������ �������� ���� �������������������������������� ���������������� ������������������������������������ ����, ����, ����ℎ���� �������� ���������������������������� ���������������������������������������������������� �������� ������������������������ �������� ���� �������������������������������� ���������������������������������������� �������� ���� − �������������������� ���������������� ���� �������� ���� − �������������������� ���������������������������� ������������ (−1)����+���� ������������������������ �������� �������������������������������������������� ������������������������������������ è �������������������������������� ������������ì: ��������,���� = (−1)����+���������(����,����)�

����������������������������:���� = � 1 2 0 1 −1 2 1 0 1

� ����3,2 = (−1)3+2 � 1 0 1 2� = −2

������������������������ �������� ���������������������������� ������������ ������������������������������������ è �������������������������������� ������������ì: ���������������� = � ����1,1 ⋯ ����1,���� ⋮ ⋱ ⋮ ��������,1 ⋯ ��������,����

Primo teorema di Laplace ������������ ���� ∈ ℳ����,���� �������� ������������������������������������������������ �������������������� ���������������������������� �������������������������������� ���� è �������� �������������������� ������������ �������������������������������� �������������������� �������������������������������� �������� ������������ �������������������� �������� ����

������������ ���� ���������������� �������������������������������������������� ������������������������������������,������������������������ |����| =���������,����

����

����=1

�(−1)����+���������(����,����)�� =���������,����

����

����=1

�(−1)����+���������(����,����)��

Secondo teorema di Laplace ������������ ���� ∈ ℳ����,����

������������ ���������������� ������������������������ (ℎ, ����) �������� ������������������������ �������������������������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� ���������,ℎ

����

����=1

�(−1)����+���������(����,����)�� =�����ℎ����

����

����=1

�(−1)����+���������(����,����)�� = 0

Teorema di Binet �������������������� ���� ���� ���� ∈ ℳ����,���� �������� ℎ���� ����ℎ���� |��������| = |����||����|

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Determinante di una matrice invertibile ������������ ���� ∈ ℳ����,����

�������� ���� è �������������������������������������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� |����| ≠ 0 ���� |����−1| = 1

|����|

DIMOSTRAZIONE |��������−1| = |��������|

������������ �������� ���������������������������� �������� �������������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� |����||����−1| = 1,������������������������ |����−1| = 1

|����|

Matrici e dipendenza lineare ������������ ���� = [����1, … ,��������] �������� ���������������������������� �������� ���������������������������� �������������������������������� ���������������������������� ���� ������������ ���� = (����1, … ,��������) ������������ ���������������������������� �������� �������� ���������������������������� ���� è ���������������������������������������� ������������������������ det���� = 0, ������������������������ �������� det���� ≠ 0 ������������������������ �������� ���������������������������� ���� è ������������������������������������������������ Teorema degli orlati ������������ ���� ∈ ℳ����,���� ���� ������������ ���� ������������ ������������������������������������������������ �������������������������������� �������� ������������������������ ���� �������� ���� ���������������� ����ℎ���� �������� ������������������������ �������������������������������������������������������� ������������ ������������ �������������������� �������� �������������������� ���� ������������������������ �������� ���� �������� ������������������������ ���� + 1 ���������������������������������������� ���� ���������������� ��������������������, ������������������������ ����(����) �������������������������������������������� ������������′������������������������ �������� ���� ������������������������ ������������������������������������������������ è �������������������������������������������� ���� ��������������������′��������������������: �������� �������������������� ������������ ������������������������ �������� ����, ������������������������ �������������������� �������� ������������������������������������������������ �������������������������������� �������� ������������������������ ���� + 1 �������������������������������� �������������������������������������������� ������������ ���������������� ���� ������������ ���������������������������� �������� ���� ������������ ������������������������������������������������ ���� ���� ���������������� ������������������������������������������������ ����, ℎ���������������� ������������������������������������������������ ��������������������,������������������������ ����(����) �������������������������������������������� ������������′������������������������ �������� ����

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Sistema lineare �������� ���������������������������� ���������������������������� è ������������ �������������������������������������������� ������������ ����������������:

� ����1,1����1 +⋯+ ����1,������������ = ����1 ⋮ ⋮ ⋮ ��������,1����1 +⋯+ ��������,������������ = ��������

���������������� ��������,���� ���������������� ���� ������������������������������������������������,�������� ���������������� ���� ���������������������������� ���������������� ���� �������� ���������������� �������� ������������������������������������

�������� ���������������������������� ���������������������������� ��������ò ������������������������ ���������������������������� ������������ℎ���� �������������������� �������������������� ���������������������������� �������� = ����, ����������������

���� = ���������,����� ���� = � ����1 ⋮ �������� � ���� = �

����1 ⋮ �������� �

�������� ���������������������������� ���������������������������� �������� ���������������� �������������������������������������������� �������� ���������������������������� ������������������������ ������������ ������������������������������������ Sistema lineare omogeneo �������� ���������������������������� ���������������������������� �������� ���������������� �������������������������������� �������� ����1 = ⋯ = �������� = 0,������������������������ �������� = 0 Matrice incompleta e matrice completa �������� ���������������������������� ���� �������� ���������������� ���������������������������������������� ���� ���������������������������� ������������ ������������������������������������������������ ������������ ���������������������������� ���������������������������� �������� ���������������������������� ����|���� �������� ���������������� ���������������������������� �������������������������������� ������������ ���������������������������� ���������������������������� Teorema di Rouché-Capelli �������� ���������������������������� ���������������������������� è �������������������������������������������� �������� ���� ���������������� �������� ����(����) = ����(����|����) DIMOSTRAZIONE �(⇐) ��������:����(����) = ����(����|����)� �������������������������������������������� ����ℎ���� �������� ����(����) < ����(����|����) ������������������������ �������� ���������������������������� ������������ è ������������������������������������������������ ������������ ����(����) = ����,������������������������ ������������ �������������������������������������������������������� ���������������������������������������� ���������������������������� �������� ���������������������������� �������� �������������������� ��������������������������������������������

����′ =

⎜ ⎛

����1,1′ ����1,2′ ⋯ ����1,����′ ⋯ ����1,����′

0 ����2,2′ ⋯ ����2,����′ ⋯ ����2,����′

0 0 ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 ��������,����′ ⋯ ��������,����′

0 0 0 0 0 0 ⎠

⎟ ⎞

����′|����′ =

⎜⎜ ⎛

����1,1′ ����1,2′ ⋯ ����1,����′ ⋯ ����1,����′ | ����1′

0 ����2,2′ ⋯ ����2,����′ ⋯ ����2,����′ | ����2′

0 0 ⋱ ⋮ ⋮ | ⋮ 0 0 0 ��������,����′ ⋯ ��������,����′ | ��������′

0 0 0 0 0 0 | ��������+1′ ⎠

⎟⎟ ⎞

�������� ����(����|����) > ���� ������������������������ �������� (���� + 1)− �������������������� ���������������� ������������������������ ������������������������ ������������������������������������: 0 + 0 +⋯+ 0 = ��������+1′ ,������������������������ �������� ���������������������������� ������������ è ��������������������������������������������,������������������������ �������� ����(����) = ����(����|����) ������������������������ �������� ���������������������������� è �������������������������������������������� �(⇒) ��������: �������� ���������������������������� ���������������������������� è ��������������������������������������������� ������������ (����1,����2, … ,��������) ������������ ������������������������������������

⎩ ⎨

⎧ ����1,1����1 +⋯+ ����1,������������ = ����1 ����2,1����1 +⋯+ ����2,������������ = ����2

⋮ ⋮ ⋮ ��������,1����1 +⋯+ ��������,������������ = ��������

⇒ ����1 �

����1,1 ����2,1 ⋮ ��������,1

� +⋯+ �������� �

����1,���� ����2,���� ⋮ ��������,����

� = �

����1 ����2 ⋮ ��������

� ⇒ ����1����1 +⋯+ ���������������� = ����

������������������������ ����(����) = ����(����|����) Teorema di Cramer ������������ �������� = ���� �������� ���������������������������� ���������������������������� �������������������������������� �������� ������������������������ ���� ���� ������������ |����| ≠ 0

������������������������ �������� ���������������������������� è �������������������������������������������� ���� ���������������������������� �������� ������������������������������������ ���� = �

����1 ����2 ⋮ ��������

� ���������������� �������� = �����1, … ,��������−1,����,��������+1, … ,���������

|����|

DIMOSTRAZIONE �������� = ���� ⇒ ����−1�������� = ����−1���� ⇒ ���� = ����−1���� ⇒ �������� = (����−1)��������

���������������������������� ����−1 = ������������(����)

|����| = ��������������������

|����| =

� ����1,1 ⋯ ��������,1 ⋮ ⋱ ⋮ ����1,���� ⋯ ��������,����

|����| ,�������������������������������� ������������������������������������ ����ℎ���� �������� = �

��������������������

|����| � ���� ���� =

= � 1

|����|

����

����=1

���������,������������� = � 1

|����| �(−1)����+���������(����,����)����������

����

����=1

= 1

|����| �(−1)����+�����������������(����,����)� ����

����=1

���������������� ���������������������������������������� è ������������������������ �������� ������������������������������������������������ �������������������� ���������������������������� ���� = � ����1,1 … ����1,����−1 ����1 ����1,����+1 … ����1,���� ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ��������,1 … ��������,����−1 �������� ��������,����+1 … ��������,����

������������������������, ���������������������������� �������� = �����1, … ,��������−1,����,��������+1, … ,���������, �������� ℎ���� ����ℎ���� �������� = |��������| |����|

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo ������������ �������� = 0 �������� ���������������������������� ���������������������������� �������������������������������� ���������������������������� �������� �������������������� ���������������������������� (����(����) ≤ ����) ����′���������������������������� ����0 �������������������� ������������������������������������ �������� ���������������� ���������������������������� è �������� �������������������������������������������� ���������������������������������������� �������� �������� �������� ���������������������������������������� ������������������������ �������� ������������������������ �������� ������������������������������������ ���������������� �������� �������������������� �������������������� ���������������������������� ������������ �������������������������������������������� ������������ ���������������������������� �|����0| = ���� − ����(����)� �������� �������������������� ������������������������, ������������ �������� �������������������� �������� ������������������������������������, �������� ��������ò ���������������� ����ℎ���� �������� ���������������������������� ���������������������������� ∞����−����(����) ������������������������������������ DIMOSTRAZIONE ������������������������ ������������′������������������������������������������������ ������������������������������������, �������������������������������� ���������������������������������������� �������� ���������������������������� ����|���� �������� ������������ ���������������������������� �������������������������������������������� ������������������������������������ ����′|����′ �������������������������������� ���������������������������������������� ����������������������������������������,������������������������ �������� ℎ����:

����′|����′ =

⎜⎜ ⎛

����1,1′ ����1,2′ ⋯ ����1,����′ ����1,����+1′ ⋯ ����1,����′ | ����1′

0 ����2,2′ ⋯ ����2,����′ ����2,����+1′ ⋯ ����2,����′ | ����2′

0 0 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ | ⋮ 0 0 0 ��������,����′ ��������,����+1′ ⋯ ��������,����′ | ��������′

0 0 0 0 0 0 0 | 0 ⎠

⎟⎟ ⎞

�������� ��������,����′ = 0,���������������������������� ������������ ���������������������������� �������� ���������������� ���������������� ����ℎ���� ��������,����′ ≠ 0 �������� ��������,����′ ≠ 0, ���������������������������� �������� ���� − �������������������� ������������������������������������ ������������ ���������������������������� è ��������,����′ �������� + ��������,����+1′ ��������+1 +⋯+ ��������,����′ �������� = ��������′ , �������� ��������ò �������������������������������� �������� = ���������,����′ �

−1 ���������′ − ��������,����+1′ ��������+1 −⋯− ��������,����′ ���������

�������������������������������������������� ��������+1 ������������ ����1,��������+2 ������������ ����2, … ,�������� ������������ ��������−����, ������������������������ ������������������������������������ ����ℎ���� �������� = ����(����1, … , ��������−����) ������������������������ ������������′������������������������������������ �������� ������������������������������������������������ ������������′��������������������������������,������������ �������������������� �������������������������������� �������� , �������� �������������������������������������������� �������� ����������������′������������������������������������ ���������������������������������������� ������������ ���������������������������� ��������−1 ���� �������� �������������������������������� ������������ì �������������������������������������������������������� ���������������� ���� �������������������������������� ����1 ���������������������������� ����′|����′ è ������������ ���������������������������� ��������������������������������������������, �������� ������������ �������������������� �������������������������������� ������������ �������� ������������������������ �������� ������������ℎ���� ������������ ��������������������, �������� ������������������������ ���������������� ����(����′|����′) = ����(����) = ���� �������� �������� ������������������������ �������������������� ������������������������������������ è ������������������������ ������������ �������������������� �������������������� ���������������������������� ���� ����� = ����(����)�,������������������������ �������� ���������������������������� ���������������������������� ������������ ���������������� ������������������������������������, �������� ������������������������ è �������������������������������� ����� > ����(����)�,������������������������ �������� ���������������������������� ���������������������������� �������������������������������� ������������������������������������ ������������������������ ����������������ℎé,������������ �������� ���������������������������� ����������������′������������������������������������ ������������������������������������������������, dimℝ���� = dim ker ���� + dim �������� ����, ���������������� ���� ≔ �����̅��� è ������������ ������������������������������������������������ ���������������������������� �������������������������������������������� �������������������� ���������������������������� ���� ������������������������ dim ker���� = ���� − ����(����) ����, ���������������������������� �������� ������������������������ �������������������� ������������������������������������ �������� �������� ���������������������������� ���������������������������� �������������������������������� �������������������������������� ������������ �������� ������������������������ �������� ����, ����ℎ���� è ������������ℎ���� ������������������������ ���������������� ������������������������ �������������������� ������������������������������������ �������� �����̅��� = �����, |����0| = ���� − ����(����) Sistemi lineari omogenei e sottospazi vettoriali �������� ������������������������ �������������������� ������������������������������������ �������� �������� ���������������������������� ���������������������������� �������������������������������� è �������� �������������������������������������������� ���������������������������������������� DIMOSTRAZIONE ������������ ���������������������������������������� ����ℎ���� ���������������� ������������������������ è ������������ ������������������������ ����������������������������������������, ���������������������������� ���������������������������������������� ����ℎ���� �������������������������������� �������� ���������������������������������������� �������� ������������ ������������������������ ����������������������������������������:

1) �������� ���������������������������� �������������������� è ������������������������������������ ������������������������ ������������ ���������������������������� ���������������������������� �������������������������������� 2) ���������������� ����1 ���� ����2 ���������������� ����ℎ���� ��������1 = ��������2 = 0 �������� ℎ���� ����ℎ���� ����(����1 + ����2) = ��������1 + ��������2 = 0 + 0 = 0, ������������������������ ����1 + ����2 è ������������������������������������ ������������ ���������������������������� ���������������������������� ��������������������������������

3) ���������������� ���� ���������������� ����ℎ���� �������� = 0,�������������������� �������� ������������������������������������ ���������������������������� ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ����(��������) = ������������ = ���� ∙ 0 = 0, ������������������������ �������� è ������������������������������������ ������������ ���������������������������� ���������������������������� ��������������������������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

ENDOMORFISMI Matrice del cambiamento di base ������������ ���� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� ���� �������������������� ℬ = {�̅���1, … , �̅�������} ���� ℬ′ = {�̅���1′ , … , �̅�������′ } ������������ ���������������� �������� ���������������������������� ���� ∈ ���� �������� ��������ò �������������������������������� �������������������������������� ������������������������������������������������ ���������������������������� �������� ������������������������������������������������ ������������ �������������������������������� �������������������� ����������������: �̅��� = ����1�̅���1 +⋯+ ���������̅������� = ����1′ �̅���1′ +⋯+ ��������′ �̅�������′ ������������ ���������������������������� �������� ������������ ���������������� ���� ��������′��������������������,������������ ���������������������������� �������� ℬ ���� ℬ′, �������������������������������� ���������������������������������������������������� �������������������� ������������ �������������������������������� �������� ℬ ���������������� ������������������������������������������������ ���������������������������� �������������������� �������������������������������� �������� ℬ′, ������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ����: ����1����1 +⋯+ ���������������� = ����1�����1,1�̅���1′ +⋯+ ��������,1�̅�������′ �+⋯+ �������������1,�����̅���1′ +⋯+ ��������,�����̅�������′ � = = �����1����1,1 +⋯+ ������������1,������̅���1′ +⋯+ �����1��������,1 +⋯+ ����������������,������̅�������′ ���������������������������� �����1��������,1 +⋯+ ����������������,����� = ��������′, �������� �������������������� ������������ ����������������������������,�������������������� ���������������������������� ������������ �������������������������������������������� �������� ���������������� �������� ℬ ���� ℬ′, ����ℎ���� �������������������������������� �������� �������������������������������� �������� ���������������������������������������� �������� ���� �������������������������������� ���� ℬ′ �������������������������������� �������� ������������������������ �������������������������������� ���� ℬ

����1′

����2′ ⋮ ��������′ � = �

����1,1 ����1,2 ⋯ ����1,���� ����2,1 ����2,2 ⋯ ����2,���� ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ��������,1 ��������,2 ⋯ ��������,����

��

����1 ����2 ⋮ ��������

Matrice associata all’applicazione lineare �������������������� ���� ���� ����′������������ �������������������� ����������������������������������������, ������������ ℬ = {�̅���1, … , �̅�������} ������������ ���������������� ������������ ���� ���� ������������ ℬ′ = {�̅���1′ , … , �̅�������′ } ������������ ���������������� ������������ ����′ ������������ ���� ∶ ���� → ����′ ������������ ������������������������������������������������ ���������������������������� ���� �������������������� �̅��� ∈ ���� ���� ����(�̅���) ∈ ����′ �̅��� = ����1�̅���1 +⋯+ ���������̅������� ����(�̅���) = ����(����1�̅���1 +⋯+ ���������̅�������) = ����1����(�̅���1) +⋯+ ������������(�̅�������) ���������������������������� ����(�̅���) ∈ ����′ ∀����, �������� ���������������� ������������������������������������ ���������������� ������������������������������������������������ ���������������������������� �������������������� �������������������������������� �������������������� ���������������� ℬ′: ����1����(�̅���1) +⋯+ ������������(�̅�������) = ����1�����1,1�̅���1′ +⋯+ ��������,1�̅�������′ �+⋯+ �������������1,�����̅���1′ +⋯+ ��������,�����̅�������′ � = = �����1����1,1 +⋯+��̅���1′ +⋯+ �+⋯+ ����������������,������̅�������′ ���������������������������� �����1��������,1 +⋯+ ����������������,����� = �������� , �������� �������������������� ������������ ����������������������������,�������������������� ���������������������������� ������������������������������������ ������������′������������������������������������������������ ���������������������������� ����, ����ℎ���� �������������������������������� �������� �������������������������������� �������� �������������������������������� �������������������� �������������������������������� �������� ���� �������������������������������� ������������ ����′������������������������������������������������ ���� ����′�������������������������������������������� ���� = �������� �������� ���������������� ���������������������������������������������������������������� �������� ���� ���� �������� ��������ò �������������������������������� ���������������� �������� ���������������������������� �������� ������������������������������������

����1 = ����1,1����1 +⋯+ ����1,������������ ����2 = ����2,1����1 +⋯+ ����2,������������

⋮ �������� = ��������,1����1 +⋯+ ��������,������������

������������������������ �������� ���������������������������� ���� ������������������������������������ �������� ���� �������� ��������ò �������������������������������� ������������ì:���� = ����ℬ′ ℬ (����)

Cambiamenti di riferimento ������������ ���� �������� ����− ������������������������ ���������������������������������������� ������������ ���� ∶ ���� → ����′ ������������ ������������������������������������������������ ���������������������������� ���� �������������������� ℬ1 ���� ℬ1′ ���������������� ������������ ���� ���� ℬ2 ���� ℬ2′ ���������������� ������������ ����′ ������������������������ �������� ���������������������������� ������������������������������������ ����′ ���� ���� è ������������������������������������ �������� ���� �������������������������������� ������������������������ ��������������������������������������������: ����′ = ����2−1��������1 DIMOSTRAZIONE ����ℬ = ��������ℬ′ ���������������� ���� è �������� ���������������������������� �������� ������������������������������������ �������� ℬ′ ���� ℬ ������������������������ ����−1����ℬ = ����ℬ′ ���������������� ����−1 è �������� ���������������������������� �������� ������������������������������������ �������� ℬ ���� ℬ′ ����ℬ2 = ��������ℬ1 ���������������� ���� è �������� ���������������������������� ������������������������������������ ������������

′������������������������������������������������ ���������������������������� ���� �������� ℬ1 ���� ℬ2 ���������������������������� ����ℬ = ��������ℬ′ �������� ℎ���� ����ℎ���� ����ℬ2 = ���������1����ℬ1′ � ���������������������������� ����ℬ = ��������ℬ′ �������� ℎ���� ����ℎ���� ����2����ℬ2′ = ���������1����ℬ1′ �,������������������������ ����ℬ2′ = (����2

−1��������1)����ℬ1′ ������������������������ �������� ����ℎ���������������������������� ����′ �������� ���������������������������� ������������������������������������ ������������′������������������������������������������������ ���� �������� ℬ1′ ���� ℬ2′ , �������� ℎ���� ����ℎ���� ����′ = ����2−1��������1 Cambiamenti di riferimento per endomorfismi ������������ ���� �������� ����− ������������������������ ���������������������������������������� ������������ ���� ∶ ���� → ���� �������� ������������������������������������������������ ���� �������������������� ℬ ���� ℬ′ ������������ ���������������� �������� ���� ������������������������ �������� ���������������������������� ������������������������������������ ����′ ���� ���� è ������������������������������������ �������� ���� �������������������������������� ������������������������ ��������������������������������������������: ����′ = ����−1�������� DIMOSTRAZIONE ������������������������ ���������������������������������������������������� �������� ��������������������, ���������������� ����ℎ���� �������� ������������������������ ���������������� ℬ1 = ℬ2 = ℬ ���� ℬ1′ = ℬ2′ = ℬ′

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Matrici simili (coniugate) �������������������� ���� ���� ���� ∈ ℳ����,���� �������� ���������������������������� ���� ���� ���� �������� ������������������������ ������������������������ (����~����) �������� ������������������������ ������������ ���������������������������� ���� �������������������������������������������� ���������������� ����ℎ���� ���� = ����−1�������� ���������������������������� ~ è ������������ ������������������������������������ �������� �������������������������������������������� �������� ℳ����,���� DIMOSTRAZIONE ���������������������������� ���������������������������������������� ����ℎ���� ���������������� ������������������������������������ è ����������������������������������������, ���������������������������������������� ���� ����������������������������������������

1) ��������������������������������������������à:������������ ���������������� ���������������������������� ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ���� = ����−1��������, ������������������������ ���� è ������������������������ ���� �������� ������������������������ 2) ������������������������������������: ������������ ���������������� ������������������������ �������� ���������������������������� ���� ���� ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� �������� ���� = ����−1�������� ������������������������ ���� = ������������−1 = ����−1��������,���������������� ���� = ����−1,������������������������ �������� ���� è ������������������������ �������� ����, ������������������������ ���� è ������������������������ ���� ����

3) ��������������������������������������������à: ������������ ���������������� ������������������������������������ �������� ���������������������������� ����,���� ���� ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� �������� ���� = ������������−1 ���� ���� = ������������−1 ������������������������ ���� = (��������)����(��������)−1,������������������������ �������� ���� è ������������������������ ���� ���� ���� ���� è ������������������������ ���� ����, ������������������������ ���� è ������������������������ ���� ���� Autovettori e autovalori ������������ ���� �������� ����− ������������������������ ���������������������������������������� ���� ������������ ���� ∶ ���� → ���� �������� ������������������������������������������������ �������� ���������������������������� ������������ �������������������� �̅��� ∈ ���� �������� ���������������� �������������������������������������������� �������� ���� �������� ������������������������ ������������ ���������������������������� ����,�������������������� ����������������������������������������, ���������������� ����ℎ���� ����(�̅���) = �����̅��� Rapporto autovettori-autovalori ���� ���������������� �������������������������������������������� �̅��� è ������������������������������������ �������� �������������������� ���������������������������������������� ���� DIMOSTRAZIONE �������������������� ���� ���� ���� �������������������� ���������������������������� ���������������� ����ℎ���� ����(�̅���) = �����̅��� = �����̅��� �������� ℎ���� ������������������������ ����ℎ���� (���� − ����)�̅��� = 0� ���� ������������������������, ���������������������������� �̅��� ≠ 0� , ���� − ���� ���������������� ������������������������ ������������������������ ���� ����������������,������������������������ ���� = ���� Autospazio �������� ������������������������������������������������ �������� = {�̅��� ∈ ���� ∶ ����(�̅���) = �����̅���} �������� ���������������� ���������������������������������������� ������������������������������������ ���� ����, è ���������������������������������������� �������������������� �������������������������������������������� ������������������������������������ ���� ���� ���� ������������ ���������������������������� ��������������������, �������� è �������� �������������������������������������������� ���������������������������������������� �������� ���� DIMOSTRAZIONE ���������������������������� ����(0�) = ����0� = 0� ∀���� ∈ ����,�������������������������������� ���������������� ����ℎ���� 0� ∈ �������� �������������������� ���� ���� ���� ∈ ���� ���� �̅��� ���� ����� ∈ ��������, ������������������������ ����(�̅���) = �����̅��� ���� ����(�����) = ��������� ������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ����(�����̅��� + ���������) = ��������(�̅���) + ��������(�����) = ���������̅��� + ������������� = ����(�����̅��� + ���������) ������������������������ �����̅��� + ��������� ∈ �������� Endomorfismi diagonalizzabili ����′������������������������������������������������ �������� ���������������� ���������������������������������������������������������������� �������� ������������������������ ������������ ���������������� �������������������������������� ℬ = (�̅���1, … , �̅�������) ���������������������������������������� �������� �������������������������������������������� ����′������������������������������������������������ ���� è ���������������������������������������������������������������� �������� ���� ���������������� �������� ������������������������ ������������ ���������������� �������������������������������� ℬ ���������������� ����ℎ���� �������� ���������������������������� ���� = ����ℬℬ(����) ������������������������������������ �������� ���� �������������������������������� ���� ℬ ���������������������������� ������������������������������������ Teorema di caratterizzazione degli autovalori ������������ ���� ∶ ���� → ���� �������� ������������������������������������������������ ������������ ���������������������������� ���� è �������� ���������������������������������������� �������� ���� �������� ���� ���������������� �������� |���� − ������������| = 0 DIMOSTRAZIONE ���������������������������� ���� ���������������� ������������������������ �������� ����������������������������������������,���������������� �������������������������������� �������� ���������������������������� �̅��� ������������ �������������������� ���������������� ����ℎ���� ����(�̅���) = �����̅���

������������ ���� = � ����1 ⋮ �������� � ���� ������������ ���� �������� ���������������������������� ������������������������������������ ������������′������������������������������������������������ ����

������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� �������� = �������� ⇒ �������� − �������� = 0 ⇒ �������� − ���������������� = 0 ⇒ (���� − ������������)���� = 0 ���� − ������������ è �������������������������������� ���������������� ���������������������������� �������������������������������������������������������� ���� ���������������� ���������������������������� ������������������������ �������������������������������� ℎ���� ������������������������������������ ������������ ������������������������ ������������������������ �������� ������������������������������������������������ �������������������� ���������������������������� �������������������������������������������������������� è ������������������������ ���� ����������������, ������������������������ ������������������������ |���� − ������������| = 0 |���� − ������������| è �������������������������������� ���������������� ������������������������������������ �������������������������������������������������������� ����(����),������������������������ ������������ ���������������������������������������� ���������������� ������������������������ �������� ����(����) Teorema di invarianza del polinomio caratteristico �������������������� ℬ ���� ℬ′ ������������ ���������������� �������� ���� ���� �������������������� ���� ���� ����′ �������� ���������������������������� ������������������������������������ ������������′������������������������������������������������ ���� �������������������������������� ���� ���������������� ���������������� ������������������������ ��������(����) = ��������′(����) DIMOSTRAZIONE |����′ − ������������| = 0 �������� ���� è �������� ���������������������������� �������� ������������������������������������ �������� ℬ ���� ℬ′ �������� ℎ���� ����ℎ���� ����′ = ����−1�������� ������������������������ |����−1�������� − ������������| = 0 ⇒ |����−1�������� − ����−1����������������| ⇒ |����−1(���� − ������������)����| = 0 ������������ �������� ���������������������������� �������� �������������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� |����−1||���� − ������������||����| = 0 ⇒ |���� − ������������| = 0 �������������������������������� �������� ������������������������������������ �������������������������������������������������������� è ��������′���������������������������������������� ����������������′������������������������������������������������ �������������������������������� ���������������� ���������������� ������������������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica �������� ��������������������������������������������à ������������������������������������ ��������(����) ����������������′���������������������������������������� ���� è �������� ��������������������������������������������à �������� ���� ���������������� ������������������������ �������� ����(����) �������� ��������������������������������������������à ���������������������������������������� ��������(����) ����������������′���������������������������������������� ���� è �������� ���������������������������������������� ����������������′���������������������������������������� ��������,������������������������ |��������| Teorema sulle molteplicità ������������ ���� ∶ ���� → ���� �������� ������������������������������������������������ �������� ���� è �������� ���������������������������������������� ����������������′������������������������������������������������ ���� ������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� 1 ≤ ��������(����) ≤ ��������(����) DIMOSTRAZIONE ��������(����) ≥ ���� ���������������������������� ���� è ����������������������������������������, ������������������������ �������� �������������������������������������������� �̅��� ≠ 0� ���������������� ����ℎ���� �������� ⊇ 〈�̅���〉 ⇔ |��������| ≥ |〈�̅���〉| = 1 ��������(����) ≤ ��������(����) ������������ ���� = |��������|, ������������ �������� = 〈�̅���1, … , �̅�������〉 ���� ������������ ℬ = {�̅���1, … , �̅������� ,���������+1, … ,���������}

�������� ���������������������������� ���� = ����ℬℬ(����) ������������������������������������ ���� ���� ������������à ������������ì ��������������������������������:���� =

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛

���� 0 0 ⋯ 0 | 0 ���� 0 ⋯ 0 | 0 0 ���� ⋯ 0 | ���� ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | 0 0 0 ⋯ ���� | − − − − − + −

���� | ���� ⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞

�������� �������������������� ������������������������ ������������à ������������ ���������������������������� �������������������������������� �������� ������������������������ ����, �������� ���������������������������� ���� ∈ ℳ����,����−���� , �������� ���������������������������� ���� ∈ ℳ����−����,����−���� ���� �������� ���������������������������� ���� ������������à ������������ ���������������������������� �������������������� ����������������ℎé è �������������������������������� �������������������� �������������������������������� �������������������� �������������������������������������������� �������� �������� ������������ ������������������������������������������������ ���������������� ������������������������������������ ����������������������������������������, ������������������������ ������������������������ ���� ����������������

������������������������ ����(����) = |���� − ������������| =

���� − ���� 0 0 ⋯ 0 | 0 ���� − ���� 0 ⋯ 0 | 0 0 ���� − ���� ⋯ 0 | ���� ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | 0 0 0 ⋯ ���� − ���� | − − − − − + −

���� | ���� − ������������−����

= (���� − ����)����|���� − ������������−����|

������������������������ ���� è ������������ ������������������������ �������� ����(����) �������� ��������������������������������������������à ������������������������ ����,������������������������ ��������(����) ≤ ��������(����) Autovettori associati ad autovalori distinti ������������ ���� ∶ ���� → ���� �������� ������������������������������������������������ ������������������������ ������������ �������������������������������������������� ������������������������������������ �������� ���������������������������������������� �������������������������������� ���������������� �������������������������������������������� ������������������������������������������������ DIMOSTRAZIONE ������������ �������� �������������������� �������������������������������������������� ����′������������������������������������ è ��������������������,������������������������ �������������������������������� ������������ ������������ ���� ���������������������������������������� ������������ ������������������������������������ ������������ �̅���1 �������������������������������������������� ������������������������������������ ���� ����1 ���� ������������ �̅���2 �������������������������������������������� ������������������������������������ ���� ����2 ������������������������ ����′������������������������������������ �������� ������������������������ ������������ì: ����1 ≠ ����2 ⇒ �̅���1 ���� �̅���2 ���������������� �������������������������������������������� ������������������������������������������������ ������������ ��������������������������������������������, ���������������������������������������� ������������ ���������������������������� ����ℎ���� ������������ ������������ ������������ì, ������������������������ �̅���1 = �����̅���2 ���������������������������� ���� è �������� ������������������������������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ����(�̅���1) = ����1�̅���1 ���� ����(�����̅���2) = ��������(�̅���2) = ��������2�̅���2 = ����2�̅���1 ������������������������ ����1�̅���1 = ����2�̅���1 ⇒ ����1�̅���1 − ����2�̅���1 = 0� ⇒ (����1 − ����2)�̅���1 = 0� ⇒ ����1 = ����2,�������� ��������ò �������������������������������������������� ����′���������������������������� ������������������������ �������������������������������� ������������������������������������ ������������ �������� �������������������� ������������������������������������ �������������������� ����1, … , �������� ���� ���������������������������������������� �������������������������������� ���� �������������������� �̅���1, … , �̅������� ���� �������������������������������������������������������� �������������������������������������������� �������������������������������� ���������������������������������������� ����ℎ���� ���������������� �������������������������������������������� ���������������� �������������������������������������������� ������������������������������������������������

������������������������ ����������̅�������

����

����=1

= 0� �������� ���� ���������������� �������� �������������������� ������������ ���������������������������� ���������������� ��������������������

������������ ��������������������������������������������, ������������������������ℎ���������������� ���� �������� ������������ ������������������������:���� �����������̅�������

����

����=1

� = ����(0�) ⇒�������������(�̅�������) ����

����=1

= 0� ⇒������������������̅�������

����

����=1

= 0�

������������ ������������������������������������ℎ���������������� �������������������������������� ���� ������������������������ �������� ����������̅�������

����

����=1

= 0� ������������ ����1 ���� ������������������������������������ ����ℎ���� �������������1�̅�������

����

����=1

= 0�

���������������������������������������� ������������������������ ���� ������������������������ �������� ���������������������������� ����ℎ���� ���������(�������� − ����1)�̅�������

����

����=2

= 0�

������������ ���������������������������� ������������������������������������, ����������������ℎé �̅���2, … , �̅������� ���������������� �������������������������������������������� ������������������������������������������������,����2 = ⋯ = �������� = 0 ������������������������ �������� ������������������������ ���������������� �������������������������������������������� ����ℎ���� ����1�̅���1 = 0�, ������������������������ ����1 = 0, ������������������������ �������������������� ������������ ���������������������������� ���������������� ��������������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Teorema di diagonalizzabilità ������������ ���� ∶ ���� → ���� �������� ������������������������������������������������ �������� ���������������������������� ���� = ����ℬℬ(����) ������������������������ �������� �������������������������������� ������������������������������������������������ ���������������� ��������������������������������������������:

1) ���� è ���������������������������������������������������������������� 2)∑ ��������(��������)��������=1 = ∑ ��������(��������)��������=1 = ���� ���� ���������������������������� ��������(��������) = ��������(��������) ∀����,���������������� ���� è ������������������������ �������� |���� − ��������| 3) �������� ������������������������ ���� ���������������������������� ������������ ���������������� �������� �������������������������������������������� �������� ����

DIMOSTRAZIONE �(����) ⇒ (����)�

���� ���������������������������� ������������ ���������������� �������� �������������������������������������������� ������������ ������������ ����′ =

⎜ ⎛

����1 0 0 ⋯ 0 0 ����1 0 ⋯ 0 0 0 ����2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ ��������⎠

⎟ ⎞

,������������������������ �������� ���������������� ���� �������������������������������������������� ����

�������� �������������������������������������������� ���� ����������������������������������������, ������������������������ ���������(��������) ����

����=1

=���������(��������) ����

����=1

= ����

���������������������������� ���������������������������������������� ����ℎ���� �������� ��������(��������) = ���� ������������������������ ������������ℎ���� ��������(��������) = ���� ������������ ��������������������������������������������, ���������������������������������������� �������� �������������������� ������������ ������������������������������������ �������������������������������������������������������� �������������������� ���������������������������� ����′ ���������������� ��������(����1) = 2

����(����′ − ����1��������) = ����

⎜ ⎛

����1 − ����1 0 0 ⋯ 0 0 ����1 − ����1 0 ⋯ 0 0 0 ����2 − ����1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ �������� − ����1⎠

⎟ ⎞

= ����

⎜ ⎛

0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 ����2 − ����1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ �������� − ����1⎠

⎟ ⎞

= ���� − 2

��������(����1) = ���� − ����(����′ − ����1��������) = ���� − (���� − 2) = 2 ���������������� ��������(����2) = 1

����(����′ − ����2��������) = ����

⎜ ⎛

����1 − ����2 0 0 ⋯ 0 0 ����1 − ����2 0 ⋯ 0 0 0 ����2 − ����2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ �������� − ����2⎠

⎟ ⎞

= ����

⎜ ⎛

����1 − ����2 0 0 ⋯ 0 0 ����1 − ����2 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ �������� − ����2⎠

⎟ ⎞

=

= ���� − 1 ��������(����2) = ���� − ����(����′ − ����2��������) = ���� − (���� − 1) = 1 ���������������� ��������(��������) = ���� ��������(��������) = ���� − ����(����′ − ����������������) = ���� − (���� − ����) = ���� ������������������������ �������� ℎ���� ����ℎ���� ��������(��������) = ��������(��������) ∀���� �(����) ⇒ (����)�

�����������������(��������) ����

����=1

=���������(��������) ����

����=1

= ���� ������������������������ �������� =�������������

����

����=1

���� ℬ = {�̅���1, … , �̅�������},������������������������ ���� ���������������������������� ������������ ���������������� ��������

�������������������������������������������� �(����) ⇒ (����)� ������������ ℬ = {�̅���1, … , �̅�������} �������� ���������������� �������� �������������������������������������������� �������� ����

������������������������ �������� ���������������������������� ������������������������������������ ������������′������������������������������������������������ ���� �������� ������������������������ ������������ì: ����ℬℬ(����) = �

����1 0 ⋯ 0 0 ����2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ ��������

���������������� ����ℎ���� ���������������� ���������������������������� è ������������������������������������,���� è ����������������������������������������������������������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI Applicazione bilineare e forma bilineare �������������������� ����,���� ���� ���� ����− �������������������� ���������������������������������������� ��������′������������������������������������������������ ���� ∶ ���� ×���� → ���� �������� ���������������� ������������������������������������ �������� ∀����,���� ∈ ℝ,∀�̅���1, �̅���2 ∈ ����,∀�����1,�����2 ∈ ���� �������� ℎ���� ����ℎ����:

1) ����(�����̅���1 + �����̅���2,�����1) = ��������(�̅���1,�����1) + ��������(�̅���2,�����1) 2) ����(�̅���1,���������1 + ��������2) = ��������(�̅���1,�����1) + ��������(�̅���1,�����2)

�������� ���������������� �������������������� ������������������������������������ �������� ���� ��������′������������������������������������������������ ���������������������������� ���� ∶ ���� × ���� → ���� Matrice associata all’applicazione bilineare �������������������� ℬ1 = {�̅���1, … , �̅�������} ���������������� ������������ ���� ���� ℬ2 = �����1̅, … ,�����̅���� ���������������� ������������ ���� �̅��� ∈ ���� ⇒ �̅��� = ����1�̅���1 +⋯+ ���������̅������� ����� ∈ ���� ⇒ ����� = ����1����1̅ +⋯+ �������������̅���

�������������������� ��������,���� = ������̅������� ,�����̅���� ���� ���� = ���������,�����, �������������������� �̅��� = � ����1 ⋮ �������� � ���� ����� = �

����1 ⋮ �������� �

�������� ℎ���� ����ℎ���� ����(�̅���,�����) = ���������1�̅���1 +⋯+ ���������̅�������, ����1����1̅ +⋯+ �������������̅���� = ����1����1������̅���1, ����1̅�+⋯+ ����1��������������̅���1,�����̅����+ +����2����1������̅���2, ����1̅�+⋯+ ����2��������������̅���2, �����̅����+⋯+ ������������1������̅�������,����1̅�+⋯+ ����������������������̅�������,�����̅���� =

= (����1 ⋯ ��������)����

� ����1 ⋮ �������� � = �������� ��������

���������������� ���� �������� ����ℎ���������������� ���������������������������� ������������������������������������ ������������′������������������������������������������������ ������������������������������������ ���� �������� ������������������������ ������������ℎ���� �������������������� �������������������� ����ℬ2ℬ1 (����) Cambiamenti di riferimento per forme bilineari ������������ ���� �������� ����− ������������������������ ����������������������������������������, ������������ ���� ∶ ���� × ���� → ���� ������������ �������������������� ������������������������������������ �������� ���� ���� �������������������� ℬ ���� ℬ′ ���������������� ������������ ����

������������ �̅��� = � ����1 ⋮ �������� � ℬ

= � ����1′ ⋮ ��������′ � ℬ′

���� ����� = � ����1 ⋮ �������� � ℬ

= � ����1′ ⋮ ��������′ � ℬ′

������������������������ �������� ���������������������������� ������������������������������������ ����′ ���� ���� è ������������������������������������ �������� ���� �������������������������������� ������������������������ ��������������������������������������������: ����′ = �������� �������� DIMOSTRAZIONE ����ℬ = ��������ℬ′ ���������������� ���� è �������� ���������������������������� �������� ������������������������������������ �������� ℬ′ ���� ℬ ����ℬ = ��������ℬ′ ���������������� ���� è �������� ���������������������������� �������� ������������������������������������ �������� ℬ′ ���� ℬ ����(�̅���,�����) = �������� �������� = �������� ℬ��������ℬ = (��������ℬ′)

���� ����(��������ℬ′) = ����ℬ′ ���� � �������� �������������ℬ′

������������������������ �������� ����ℎ���������������������������� ����′ �������� ���������������������������� ������������������������������������ ���������������� �������������������� ������������������������������������ ����, �������� ℎ���� ����ℎ���� ����′ = �������� �������� Relazione di congruenza �������������������� ���� ���� ���� ∈ ℳ����,���� �������� ���������������������������� ���� ���� ���� �������� ������������������������ ���������������������������������������� �������� ������������������������ ������������ ���������������������������� ���� �������������������������������������������� ���������������� ����ℎ���� �������� �������� = ���� Forma bilineare simmetrica e forma bilineare alternante ������������ ���� ∶ ���� × ���� → ���� ������������ �������������������� ������������������������������������ �������� ���� ���� �������������������� �̅��� ���� ����� ∈ ���� �������� ����(�̅���,�����) = ����(����� , �̅���) ������������������������ ���� �������� ���������������� �������������������� ������������������������������������ ����������������������������������������,������������������������ �������������������������������� ���������������������������� �������� ���� �������� ����(�̅���,�����) = −����(����� , �̅���) ������������������������ ���� �������� ���������������� �������������������� ������������������������������������ ����������������������������������������,������������������������ �������������������������������������������������������� ����′���������������������������� �������������������� �������������������� ������������������������������������ �������� ���� è ������������������������ ���������������� �������������������� ���������������������������� ����������������′���������������������������� �������������������� �������������������� ������������������������������������ℎ����

���� ����������������′���������������������������� �������������������� �������������������� ���������������������������������������� �������� ���� �����(�̅���,�����) = 1 2 �����(�̅���,�����) + ����(����� , �̅���)�+

1 2 �����(�̅���,�����)− ����(����� , �̅���)��

Prodotto scalare non degenere ������������ ���� ∶ ���� × ���� → ���� �������� �������������������������������� ���������������������������� �������� ���� ���� �������������������� �̅��� ���� ����� ∈ ���� �������� �������������������������������� ���������������������������� ���� �������� ���������������� ������������ �������������������������������� �������� ����(�̅���,�����) = 0 ∀�̅��� ∈ ���� ⇒ ����� = 0 Vettore isotropo ������������ ���� ∶ ���� × ���� → ���� �������� �������������������������������� ���������������������������� �������� ���� ���� ������������ �̅��� ∈ ���� �������� ���������������������������� ������������ �������������������� �������� ���������������������������� �̅��� �������� ���������������� �������������������������������� �������� ����(�̅���, �̅���) = 0 Vettori ortogonali e paralleli ������������ ���� ∶ ���� × ���� → ���� ������������ �������������������� ������������������������������������ ���������������������������������������� �������� ���� ���� �������������������� �̅��� ���� ����� ∈ ���� �������� ���������������� ����ℎ���� �̅��� ���� ����� ���������������� ���������������������������������������� (�̅��� ⊥ �����) �������� ����(�̅���,�����) = 0 �������� ���������������� ����ℎ���� �̅��� ���� ����� ���������������� ������������������������������������ (�̅��� ∥ �����) �������� �̅��� = ��������� (�̅��� ∝ �����) �������� ���� ⊆ ����,������������������������ �̅��� ⊥ ���� �������� �̅��� ⊥ ����� ∀����� ∈ ���� ����⊥ è �������� �������������������������������������������� ������������ ���������������������������� ���������������������������������������� ���� ���� (����⊥ = {�̅��� ∈ ���� ∶ �̅��� ⊥ ����})

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Forma quadratica ������������ ���� ∶ ���� × ���� → ���� ������������ �������������������� ������������������������������������ ���������������������������������������� ����′������������������������������������������������ ���� ∶ ���� → ���� ���������������� ����ℎ���� ����(����) = ����(����, ����) �������� ���������������� �������������������� ���������������������������������������� �������� ���� �������� ���� è �������������������� ������������������������ �������� ���� ����(���� + ����) = ����(���� + ����,���� + ����) = ����(����, ����) + ����(����,����) + ����(����,����) + ����(����,����) = ����(����) + 2����(����,����) + ����(����)⇒

����(����,����) = ����(����, ����)− ����(����)− ����(����)

2

Teorema delle matrici associate reali ������������ ���� = ����ℬℬ (����) ������������ ���������������������������� ������������������������������������ ���������������������������������������� �������������������� ������������������������ �������� ���������������������������������������� �������� �������������������������������� ����������������������������������������:

1) �������� ����1 ≠ ����2, ������������ ����1 �������������������������������������������� �������� ����1 ���� ����2 �������������������������������������������� �������� ����2,������������������������ ����1���� ��������2 = 0 2) �������� ���� è ���������������������������������������� �������� ���� ������������������������ ���� è ��������������������

DIMOSTRAZIONE 1) ���������������������������� ����1 è �������������������������������������������� �������� ����1, �������� ℎ���� ����ℎ���� ��������1 = ����1����1 ⇒ ����2���� ��������1 = ����1 ����2���� ����1 ���������������������������� ����2 è �������������������������������������������� �������� ����2,��������2 = ����2����2 ⇒ ����1���� ��������2 = ����2 ����1���� ����2 ⇒ ����2���� �������� ����1 = ����2 ����2���� ����1 ���� è ����������������������������������������, ������������������������ ����2���� ��������1 = ����2 ����2���� ����1 ���������������������������� �������� ���������������������������������������� �������� ���������������������������� ����ℎ���� 0 = (����1 − ����2) ����2���� ����1 �������� ����1 ≠ ����2 ������������ ����������������������������,������������������������ ����2���� ����1 = 0

2) ���������������������������� ���� è ���������������������������������������� �������� ����,�������� = �������� ⇒ ����∗�������� = ��������∗����, ���������������� ����∗ è �������� ������������������������������������ ������������������������������������ �������� ���� ���������������������������� �������� ���������������������������� ������������������������������������ �������� �������� = �������� �������� ℎ���� ����ℎ���� ����∗����∗ = ����∗����∗ ���� è ����������������������������������������, ������������������������ ����∗���� = ����∗����∗ ⇒ ����∗�������� = ����∗����∗���� ���������������������������� �������� ���������������������������������������� �������� ���������������������������� ����ℎ���� 0 = (���� − ����∗)����∗���� ⇒ ���� = ����∗,������������������������ ���� è ��������������������

Prodotto scalare definito positivo ������������ ���� ∶ ���� × ���� → ���� �������� �������������������������������� ���������������������������� �������� ���� �������� �������������������������������� ���������������������������� ���� �������� ���������������� ������������������������������������������������ �������������������������������� �������� ����(�̅���, �̅���) ≥ 0 ∀�̅��� ∈ ���� �������� �������������������������������� ���������������������������� ���� �������� ���������������� �������������������������������� �������������������������������� �������� ����(�̅���, �̅���) > 0 ∀�̅��� ∈ ���� Spazio vettoriale euclideo ������������ ������������������������ ���������������������������������������� �������������������������������� è ������������ ������������������������ (����,����),���������������� ���� è �������� ���� − ������������������������ ���������������������������������������� �������� ���� è �������� �������������������������������� ���������������������������� �������������������������������� �������������������������������� �������� ���� (����(����,����) = ���� ∙ ���� = 〈����,����〉) Disuguaglianza di Schwarz (�̅��� ∙ �����)2 ≤ (�̅��� ∙ �̅���)(����� ∙ �����) ���������������������������� ‖�̅���‖ = �̅��� ∙ �̅��� (�������������������� �������� �̅���) ���� |�̅���| = √�̅��� ∙ �̅��� (����������������ℎ���������������� ���� ������������������������ �������� �̅���), �������� ℎ���� ����ℎ���� (�̅��� ∙ �����)2 ≤ ‖�̅���‖ ∙ ‖�����‖ ������������������������ |�̅��� ∙ �����| ≤ |�̅���| ∙ |�����| Teorema sulla lunghezza del vettore ∀�̅���,����� ∈ ���� ���� ∀���� ∈ ℝ �������� ℎ���� ����ℎ����:

1) |�̅���| ≥ 0 2) |�̅���| = 0⇔ �̅��� = 0� 3) |�����̅���| = |����||�̅���| 4) |�̅��� +�����| ≤ |�̅���| + |�����|

Sistema ortogonale e sistema ortonormale �������� ���������������������������� ���� �������� ���������������� ���������������������������������������� �������� �̅������� ∙ �̅������� = 0 ������������ ���������������� ������������������������ (����, ����) �������� ������������������������ �������������������������������� �������� ���������������������������� ���� �������� ���������������� �������������������������������������������� �������� �̅������� ∙ �̅������� = ��������,���� ������������ ���������������� ������������������������ (����, ����) �������� ������������������������ �������������������������������� Matrice ortogonale ������������ ���������������������������� �������������������������������������������� ���� �������� ���������������� ���������������������������������������� �������� �������� ������������ ������������������������������������ �������������������������������� ������������ �������� ������������ ����������������������������,������������������������ �������� ���� �������� = �������� ���� = �������� = ��������−1 = ����−1���� Proiezioni ortogonali di un vettore ������������ ���� ������������ ������������������������ ���������������������������������������� �������������������������������� ���� �������������������� �̅��� ���� ����� ∈ ����

�������� ���������������������������� �̅���∥����� �������� ���������������� ���������������������������������������� ���������������������������������������� �������� �̅��� �������� ����� ���� �������� ���������������������������� ������������ì: �̅���∥����� = �̅��� ∙ ����� ‖�����‖

����� = ����(�̅���,�����) ����(����� ,�����)

�����

�������� ���������������������������� �̅���⊥����� �������� ���������������� ���������������������������������������� ���������������������������������������� �������� �̅��� �������������������������������� ���� ����� ���� �������� ���������������������������� ���������������������������������������� �̅���∥����� ���� �̅��� ������������������������ ���������������������������� �������� �������������������������������� ���������������������������� �������� �̅���⊥����� ���� ����� �������� �������������������������������� �������������������������������� ����������������, ���������������������������� �������� ����������������������������:

����(�̅���⊥����� ,�����) = ���� ��̅��� − ����(�̅���,�����) ����(����� ,�����)

����� ,������ = ����(�̅���,�����)− ����(�̅���,�����) ����(����� ,�����)

����(����� ,�����) = ����(�̅���,�����)− ����(�̅���,�����) = 0

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Algoritmo di Gram-Schmidt �������� ������������������������������������������������ �������� ���������������������������������������������������������������������������� �������� ���������������� − ��������ℎ���������������� �������������������������������� �������� ������������������������������������ ������������ ���������������� �������������������������������������������� ���� ���������������������������� �������� ������������ ���������������� ������������������������������������, ������������������������ �������������������������������� �������� ���������������������������� �������� ������������ ���������������� ℬ = (�̅���1, … , �̅�������) ���� ������������ ���������������� ℬ′ = (�����1, … ,���������) ∶ ��������� ⊥ ��������� ∀���� ≠ ���� ���� ������������ ���� ������������ ���������������� ℬ′′ = (����1̅, … , �����̅���) ∶ ��������� ∙ ��������� = ��������,���� ∀���� ≠ ����

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⎧

�����1 = �̅���1

�����2 = �̅���2 − �̅���2 ∙ �����1 ‖�����1‖

�����1

�����3 = �̅���3 − �̅���3 ∙ �����1 ‖�����1‖

�����1 − �̅���3 ∙ �����2 ‖�����2‖

�����2 ⋮

��������� = �̅������� −� �̅������� ∙ ��������� ‖���������‖

���������

����−1

����=1

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⎧����1̅ =

�����1 |�����1|

����2̅ = �����2

|�����2|

����3̅ = �����3

|�����3| ⋮

�����̅��� = ���������

|���������|

Teorema spettrale (Caso dimensione finita e matrice reale) ������������ ���� ������������ ���������������������������� ���������������������������� �������������������� �������� ���������������������������������������� ���� ���� ������������ ���� ∶ ℝ���� → ℝ���� �������� �������������������� ������������������������������������ ���������������������������������������� �������������������������������������������������������� �������� ���� �������������������� ���������������� �������������������������������� �������� ���� è ���������������������������������������� ������������������������ ��������ò ������������������������ �������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������� ���������������������������� ������������ ���������������������������� ���������������������������������������� ���� ������������������������ ���� = ����−1�������� = �������� �������� DIMOSTRAZIONE �(⇒) ��������: �������� ���������������������������� ���� è ����������������������������������������� �������������������������������������������� ����ℎ���� ���� ��������ò ������������������������ �������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������� ������������ ������������������������������������ �������� ���� ���������������� ������������������������������������:���� = 1 ⇒ ���� = (����) ���� = (1) ���� = (1)(����)(1) ���������������������������� ������������������������������������: �������� ���������������������������� è ���������������� ������������ ���������������� ���������������������������� ���������������������������������������� �������� ���������������������������������������� ���� − 1 ���������������������������� ���� è ����������������������������������������, ���������������������������� �������� ���������������������������������������� �������������������� ����,������������������������ ������������ℎ���� �������� ������������ �������������������������������������������� �̅��� �������� �������������������� 1 ������������ ���� = 〈�̅���〉⊥,������������������������ �������� �������������������������������������������� ���������������������������������������� �������� �̅���, ����ℎ���� ������������ �������� ���������������������������� ������������ �������������������������������������������� ���������������������������������������� ℎ���� ���������������������������������������� ���� − 1, ������������������������ ℝ���� = 〈�̅���〉⨁���� �������������������������������� ������������������������������������ ���������������������������� ����′������������������������������������ �������� ����������������− ��������ℎ���������������� ������������ ���������������� �������������������������������������������� ℬ = {�̅���,�����1, … ,���������−1} ������������ ���� = 〈�����1,�����2, … ,���������−1〉 ∶ ��������� ∙ ��������� = ��������,���� ∀���� ≠ ����

������������������������ �������� ���������������������������� ������������������������������������ ���� �������������������� ���������������� ℬ è ����ℬ = �

���� 0 ⋯ 0 0 ����1,1 ⋯ ����1,����−1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ��������−1,1 ⋯ ��������−1,����−1

� = �

���� 0 ⋯ 0 0 ⋮ ���� 0

����ℬ è ���������������������������������������� �������� ���� �������� ������������������������ �������������������������������� ������������ ������������ ���������������������������� �������� ������������������������������������ ����������������������������������������,������������������������ ����ℬ è ����������������������������������������,�������� �������������������������������������������� ������������ℎ���� ���� è ����������������������������������������, �������� ������������������������ �������������������������������� �������� ����ℬ ������������ ���������������������������� ������������������������������������ ���� è �������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������,������������������������ �������� ���������������������������� è ���������������������������������������� �(⇐) ��������: �������� ���������������������������� ���� ��������ò ������������������������ �������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������� �������� �������� ���������������������������� ���� è ���������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������, ������������������������������������ ����ℎ���� ������������������������ ������������ ���������������������������� ���������������������������������������� ���� ���������������� ����ℎ���� ���� = �������� �������� ⇒ �������� = �������� �������� ����,�������� ���������������������������� ���� è ������������ ���������������������������� ������������������������������������ ����� = �������� ��������� ℎ���� ����ℎ���� ���� = �������� �������� ����, ������������������������ ���� = �������� ,������������������������ �������� ���������������������������� ���� è ����������������������������������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

SPAZI AFFINI Spazio affine ������������ ���� �������� ����− ������������������������ ����������������������������������������, ������������ ���� �������� ���������������������������� ������������ �������������������� ���� ������������ ���� ∶ ���� × ���� → ���� ������������ ������������������������������������������������ �������� �������������������� (����,����, ����) �������� ���������������� ������������������������ ������������������������ ������������ �������������������� ���� �������� �������������������������������� �������� �������������������������������� ����������������������������������������:

1) ∀���� ∈ ���� ∀�̅��� ∈ ���� ∃!���� ∈ ���� ∶ ����(����,����) = �̅��� 2) ∀����,����,���� ∈ ���� ����(����,����) + ����(����,����) = ����(����,����)

Sottospazio affine ������������ ���� ⊆ ���� , ������������ ���� ≤ ���� ���� ������������ ����′: ����× ���� → ���� ������������ ������������������������������������������������ �������� �������� �������������������� (����,����, ����′) è ������������ ������������������������ ������������������������,������������������������ ���� �������� ���������������� �������������������������������������������� ������������������������ �������� ���� ���� �������� �������������������������������������������� ���������������������������������������� ���� �������� ���� �������� ���������������� �������������������������������������������� ������������������������������������ �������� ���� �������� dim���� = 0,���� �������� ������������������������ ���� �������� �������������������� ���� �������� ������������ �������������������������������������������� ������������������������������������ ���� è �������� ������������������������ ���������������������������������������� ������������������������ �������� dim���� = 1,���� �������� ���������������� �������������������� ������������������������ ���� �������� ������������ �������������������������������������������� ������������������������������������ ���� �������� ���������������� ���������������������������������������� �������������������� �������������������� �������� dim���� = 2,���� �������� ���������������� �������������������� ������������������������ ���� �������� ������������ �������������������������������������������� ������������������������������������ ���� �������� ���������������� ������������������������������������ ������������ �������������������� �������� dim���� = ���� − 1,���� �������� ���������������� ������������������������������������ ������������������������ Coordinate omogenee �������� �������������������������������� �������������������� ���� �������� �������� �������������������� ��������ò ������������������������ ���������������������������������������������������� �������������������������������� ���������������������������������������� ������������������������ �����(����, ����)� ������������������������ �������������������������������� ���������������������������������������� �������������������������������� �����(����1,����2 ,����3)�

�������� ������������������������ �������� ���������������������������������������� �������� �������������������������������� �������������������������������������������� ���� ������������ ����1 ����3

���� ���� ������������ ����2 ����3

, ������������������������ ������������ �������������������� ���� �������� ����������������������������������������

������������������������ ����:�������� + ��������+ ���� = 0 ���������������������������� ��������1 + ��������2 + ��������3 = 0 ���������������� ���������������������������������������� ���������������� �������������������������������� ���� ���������������� �������� �������� ���������������������������� �������� ��������������������������������������������������������à (����(����,����) = ����(��������1, ��������2, ��������3)∀���� ∈ ℝ) �������� �������������������� ������������������������������������ �������������������� �������������������� ���� è ����∞(����,−����, 0), �������� �������������������� ����ℎ���� �������������������������������� �������������������� ���� �������������������� �������������������������������� è ����3 = 0 Spazio affine euclideo ������������ (����,����,����) ������������ ������������������������ ������������������������ �������������������� �������� ���� è ������������ ������������������������ ���������������������������������������� �������������������������������� (������������������������ �������� �������������������������������� ����������������������������) ������������������������ ���� è ������������ ������������������������ ������������������������ �������������������������������� Condizione di appartenenza di un punto a una retta nel piano euclideo ������������ ���� ������������ �������������������� ������������ �������������������� �������������������������������� �������������������������������� ������������ �������������������� ���� = (����0, ����0) ���� ������������ ���������������������������� �̅��� = (����,����) ∈ ����, ���������������� ���� è �������� ���������������������������������������� �������� ���������������������������������������� 1 �������������������������������� �������� �̅���,������������������������ ���� ∈ ���� �������� �������������������� ���� ������������������������������������������������ �������� �������������������� ������������������������ �������� ���������������� ������������������������������������������������ ���������������� �������������������� ���� �������� ���� ���������������� �������� �������� ���������������������������� �������������⃗ ���������������������������������������� ���� ����,������������������������ è ���������������������������������������������������� ���� �̅��� ��������������⃗ ∝ �̅����,������������������������ ������������������������ ������������ ���������������������������� ���� ∈ ���� ���������������� ����ℎ����

� ���� − ����0 = ������������ − ����0 = �������� ⇒ � ���� = �������� + ����0���� = �������� + ����0

, ����ℎ���� è �������������������� ������������������������������������ �������������������������������������������� �������������������� �������������������� ���� ������������ �������������������� ��������������������������������

������������ �������������������� ���������������������������������������� ��������������������������������ℎ���� �������� ������������������������ ���� ���������������� �������������������� ��������������������������������������������: � ���� = ���� − ����0 ����

���� = ���� − ����0 ����

⇒ ���� − ����0 ����

= ���� − ����0 ����

, ����ℎ����

è �������������������� ������������������������������������ ���� ������������������������ �������������������� �������������������� ���� ������������ �������������������� �������������������������������� ���������������������������������������������������� �������� ���������������������������� ����ℎ���� �������� − �������� + (��������0 − ��������0) = 0 ���������������������������� ���� = ����,���� = −���� ���� ���� = ��������0 − ��������0, �������� ���������������������������� �������� + ��������+ ���� = 0, ����ℎ���� è �������������������� ������������������������������������ ���������������������������������������� �������������������� �������������������� ���� ������������ �������������������� �������������������������������� Posizione reciproca di due rette nel piano ������������ ���� ������������ �������������������� ������������ �������������������� �������������������������������� �������� ������������������������������������ ����1���� + ����1���� + ����1 = 0 ���� ������������ ���� ������������ �������������������� ������������ �������������������� �������������������������������� �������� ������������������������������������ ����2���� + ����2���� + ����2 = 0

����′������������������������������������������������ ���� ∩ ���� è �������� �������������������� ���������������������������������������������������� ������������ ���������������������������� �����1���� + ����1���� + ����1 = 0����2���� + ����2���� + ����2 = 0

�������������������� ���� ���� ����|���� ������������������������������������������������������������ �������� ���������������������������� ���������������������������������������� ���� �������������������������������� ������������ ����������������������������

���� = �����1 ����1����2 ����2 � ����|���� = �����1 ����1 | −����1����2 ����2 | −����2

�������� |����| ≠ 0,������������������������ �̅������� ���� �̅������� ���������������� �������������������������������������������� ������������������������������������������������ ���� ����(����) = 2, ������������������������ �������� ���������������������������� ���������������������������� ��������′�������������������� ������������������������������������, ����ℎ���� �������������������������������� ������������ �������� �������������������� ����′������������������������������������ ������������ ���� ���� ���� �������� |����| = 0,������������������������ �̅������� ���� �̅������� ���������������� ���������������������������������������������������� ���� ����(����) = 1,������������������������ �������� ���������������������������� è �������������������������������������������� �������� ���� ���������������� �������� ����(����|����) = 1,������������������������ ������������������������ ���������������������������� ∞1 ������������������������������������ ���� �������� �������������������� ���� ���� ���� ����������������������������������������,����������������������������������������, �������� ����(����|����) = 2, �������� ���������������������������� ������������ ���������������������������� ������������������������������������ ���� �������� �������������������� ���� ���� ���� ���������������� ������������������������������������

� ����(����) = 2 ⇒ �������������������� ������������������������������������ ⇒ ������������������������ ���������������������������� �������� ��������������������

����(����) = 1 ⇒ ����� (����|����) = 2 ⇒ �������������������� ������������������������������������ ⇒ ������������������������ ������������������������������������ �������� ��������������������

����(����|����) = 1 ⇒ �������������������� ��������������������������������������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Distanza punto-retta nel piano euclideo ������������ ���� ������������ �������������������� ������������ �������������������� �������������������������������� �������� ������������������������������������ �������� + ��������+ ���� = 0, ������������ ���� = (����0, ����0) �������� �������������������� ������������ �������������������� �������������������������������� ������������ ������������������������������������������������ �������� ���� ���� ������������ ���� = (����1, ����1) �������� �������������������� ������������������������������������������������ ���������������� �������������������� ����

�������� �������������������������������� ������������ �������� �������������������� ���� ���� �������� �������������������� ���� è �������������������������������� �������������������� ���������������������������� ����(����, ����) = |��������0 + ��������0 + ����|

√����2 + ����2

DIMOSTRAZIONE

����(����, ����) = |��������| = ��������������⃗ ∙ �̅���⊥����� = �(����1 − ����0, ����1 − ����0) ∙ � ����

√����2 + ����2 ,

���� √����2 + ����2

�� = |����(����1 − ����0) + ����(����1 − ����0)|

√����2 + ����2 =

= |��������1 − ��������0 + ��������1 − ��������0|

√����2 + ����2

���������������� ����ℎ���� ���� ∈ ����, ��������1 + ��������1 + ���� = 0 ⇒ |��������1 − ��������0 + ��������1 − ��������0|

√����2 + ����2 =

|−��������0 − ��������0 − ����|

√����2 + ����2 =

|��������0 + ��������0 + ����|

√����2 + ����2

Distanza tra rette parallele nel piano euclideo ������������ ���� ������������ �������������������� ������������ �������������������� �������������������������������� �������� ������������������������������������ �������� + ��������+ ����1 = 0 ���� ������������ ���� ������������ �������������������� ������������ �������������������� �������������������������������� �������� ������������������������������������ �������� + ��������+ ����2 = 0 ������������������������������������ ���� ����

�������� �������������������������������� ������������ �������� ������������ �������������������� è �������������������������������� �������������������� ���������������������������� ����(����, ����) = |����2 − ����1|

√����2 + ����2

DIMOSTRAZIONE

������������������������������������ �������� �������������������� ����1 ∈ ���� ���� ���������������������������������������� �������� �������������������������������� ������������ ���� ���� �������� �������������������� ����:����(����, ����) = |��������0 + ��������0 + ����2|

√����2 + ����2

���������������������������� ���� ∈ ���� �������� ℎ���� ����ℎ���� ��������0 + ��������0 + ����1 = 0, ������������������������ |����2 − ����1|

√����2 + ����2

Condizione di appartenenza di un punto a una piano nello spazio euclideo ������������ ���� �������� �������������������� �������������������� ������������������������ �������������������������������� �������������������������������� ������������ �������������������� ���� = (����0,����0, ����0) ���� ������������ ���������������������������� �̅��� = (����1,����1,����1) ���� ����� = (����2,����2,����2) ∈ ����,���������������� ���� è �������� ���������������������������������������� �������� ���������������������������������������� 2 �������������������������������� �������� �̅��� ���� ����� ,������������������������ ���� ∈ ���� �������� �������������������� ���� ������������������������������������������������ ���������������� ������������������������ �������������������������������� �������� ���������������� ������������������������������������������������ �������� �������������������� ���� �������� ���� ���������������� �������� �������� ���������������������������� �������������⃗ ���������������������������������������� ���� ����,������������������������ �������� �������������������������������� ������������ ���������������������������� ����1, ����2 ∈ ���� ���������������� ����ℎ���� �������������⃗ = ����1�̅��� + ����2����� ,������������������������

� ���� − ����0 = ����1����1 + ����2����2 ���� − ����0 = ����1����1 + ����2����2 ���� − ����0 = ����1����1 + ����2����2

⇒ � ���� = ����1����1 + ����2����2 + ����0 ���� = ����1����1 + ����2����2 + ����0 ���� = ����1����1 + ����2����2 + ����0

, ����ℎ���� è �������������������� ������������������������������������ �������������������������������������������� ������������ �������������������� ���� ��������������������

������������������������ ��������������������������������

���������������������������� �������� ���������������������������� ��������������⃗ , �̅���,������ ���������������� ������������������������������������ ����������������������������������������,������������������������ � ���� − ����0 ���� − ����0 ���� − ����0 ����1 ����1 ����1 ����2 ����2 ����2

� = 0

���������������������������������������� �������� �������������������������������� �������� ���������������������������� �������� ���������������������������� ����ℎ���� �������� + �������� + �������� + ���� = 0, ����ℎ���� è �������������������� ������������������������������������ ���������������������������������������� ������������ �������������������� ���� �������������������� ������������������������ ��������������������������������

����� = � ����1 ����1 ����2 ����2� , ���� = − �

����1 ����1 ����2 ����2

� , ���� = �����1 ����1����2 ����2 � ,���� = − �

����0 ����0 ����0 ����1 ����1 ����1 ����2 ����2 ����2

��

Posizione reciproca di due piani nello spazio ������������ ����1 �������� �������������������� �������������������� ������������������������ �������������������������������� �������� ������������������������������������ ����1���� + ����1���� + ����1���� + ����1 = 0 ���� ������������ ����2 �������� �������������������� �������������������� ������������������������ �������������������������������� �������� ������������������������������������ ����2���� + ����2���� + ����2���� + ����2 = 0

����′������������������������������������������������ ����1 ∩ ����2 è �������� �������������������� ���������������������������������������������������� ������������ ���������������������������� � ����1���� + ����1���� + ����1���� + ����1 = 0 ����2���� + ����2���� + ����2���� + ����2 = 0

�������������������� ���� ���� ����|���� ������������������������������������������������������������ �������� ���������������������������� ���������������������������������������� ���� �������������������������������� ������������ ����������������������������

���� = �����1 ����1 ����1����2 ����2 ����2 � ����|���� = �����1 ����1 ����1 | −����1����2 ����2 ����2 | −����2

�������� |����| ≠ 0,������������������������ ����(����) = 2, ������������������������ �������� ���������������������������� ���������������������������� ∞1 ������������������������������������, ����ℎ���� �������������������������������������������� ���������������� �������������������� �������������������������������� ����������������′������������������������������������������������ �������� ����1 ���� ����2 �������� |����| = 0,������������������������ ����(����) = 1, ������������������������ �������� ���������������������������� è �������������������������������������������� �������� ���� ���������������� �������� ����(����|����) = 1, ������������������������ ������������������������ ���������������������������� ∞2 ������������������������������������ ���� ���� �������������������� ����1 ���� ����2 ����������������������������������������,����������������������������������������, �������� ����(����|����) = 2, �������� ���������������������������� ������������ ���������������������������� ������������������������������������ ���� ���� �������������������� ����1 ���� ����2 ���������������� ������������������������������������

� ����(����) = 2 ⇒ �������������������� ������������������������������������ ⇒ ������������������������ ���������������������������� �������� ��������������������

����(����) = 1 ⇒ ����� (����|����) = 2 ⇒ �������������������� ������������������������������������ ⇒ ������������������������ ������������������������������������ �������� ��������������������

����(����|����) = 1 ⇒ �������������������� ��������������������������������������������

Definizione Teorema senza dimostrazione Teorema con dimostrazione

Posizione reciproca di tre piani nello spazio ������������ ����1 �������� �������������������� �������������������� ������������������������ �������������������������������� �������� ������������������������������������ ����1���� + ����1���� + ����1���� + ����1 = 0, ������������ ����2 �������� �������������������� �������������������� ������������������������ �������������������������������� �������� ������������������������������������ ����2���� + ����2���� + ����2���� + ����2 = 0 ���� ������������ ����3 �������� �������������������� �������������������� ������������������������ �������������������������������� �������� ������������������������������������ ����3���� + ����3���� + ����3���� + ����3 = 0

����′������������������������������������������������ ����1 ∩ ����2 ∩ ����3 è �������� �������������������� ���������������������������������������������������� ������������ ���������������������������� � ����1���� + ����1���� + ����1���� + ����1 = 0 ����2���� + ����2���� + ����2���� + ����2 = 0 ����3���� + ����3���� + ����3���� + ����3 = 0

�������������������� ���� ���� ����|���� ������������������������������������������������������������ �������� ���������������������������� ���������������������������������������� ���� �������������������������������� ������������ ����������������������������

���� = � ����1 ����1 ����1 ����2 ����2 ����2 ����3 ����3 ����3

� ����|���� = � ����1 ����1 ����1 | −����1 ����2 ����2 ����2 | −����2 ����3 ����3 ����3 | −����3

⎩ ⎪⎪ ⎨

⎪⎪ ⎧

����(����) = 3 ⇒ ����(����|����) = 3 ⇒ ���� ������������ �������������������� �������� �������������������������������������������� �������� �������� �������������������� ⇒ ������������������������ ���������������������������� �������� ��������������������

����(����) = 2 ⇒ � ����(����|����) = 3 ⇒ ������������ �������������������� �������� �������������������������������������������� �������� ������������ �������������������� ���� �������� �������������������� è ������������������������������������ ���������������� �������������������� ⇒

⇒ ������������������������ ������������������������������������ �������� �������������������� ����(����|����) = 2 ⇒ �������� �������������������� è ������������������������������������������������ ���������������������������� �������������������� �������������������� ������������ ⇒ ������������������������ ���������������������������� �������� ��������������������

����(����) = 1 ⇒ ����� (����|����) = 2 ⇒ ���� ������������ �������������������� ���������������� ������������������������������������ ⇒ ������������������������ ������������������������������������ �������� ��������������������

����(����|����) = 1 ⇒ ���� ������������ �������������������� ����������������������������������������

Condizione di appartenenza di un punto a una retta nello spazio euclideo ������������ ���� ������������ �������������������� �������������������� ������������������������ �������������������������������� �������������������������������� ������������ �������������������� ���� = (����0,����0, ����0) ���� ������������ ���������������������������� �̅��� = (����,����,����) ∈ ����, ���������������� ���� è �������� ���������������������������������������� �������� ���������������������������������������� 1 �������������������������������� �������� �̅���,������������������������ ���� ∈ ���� �������� �������������������� ���� ������������������������������������������������ ���������������� ������������������������ �������������������������������� �������� ���������������� ������������������������������������������������ ���������������� �������������������� ���� �������� ���� ���������������� �������� �������� ���������������������������� �������������⃗ ���������������������������������������� ���� ����,������������������������ è ���������������������������������������������������� ���� �̅��� ��������������⃗ ∝ �̅����,������������������������ ������������������������ ������������ ���������������������������� ���� ∈ ���� ���������������� ����ℎ����

� ���� − ����0 = �������� ���� − ����0 = �������� ���� − ����0 = ��������

⇒ � ���� = �������� + ����0 ���� = �������� + ����0 ���� = �������� + ����0

, ����ℎ���� è �������������������� ������������������������������������ �������������������������������������������� �������������������� �������������������� ���� �������������������� ������������������������ ��������������������������������

������������ ���������������������������������������� ��������������������������������ℎ���� �������� ������������������������ ���� ���������������� �������������������� ��������������������������������������������:

⎩ ⎪ ⎨

⎪ ⎧���� =

���� − ����0 ����

���� = ���� − ����0 ����

���� = ���� − ����0 ����

⇒ ���� − ����0 ����

= ���� − ����0 ����

= ���� − ����0 ����

����ℎ���� è �������������������� ������������������������������������ ���� ������������������������ �������������������� �������������������� ���� �������������������� ������������������������ ��������������������������������

���������������� ������������������������������������ �������� ��������ò �������������������������������� ������������ℎ���� ���������������� ������������������������������������������������ �������� ������������ ��������������������: � ����1: ���� − ����0 ����

= ���� − ����0 ����

����2: ���� − ����0 ����

= ���� − ����0 ����

�������������������������������������������� �������� ������������������������������������ ���������������������������������������� �������� ℎ���� ����ℎ���� �����1:����1���� + ����1���� + ����1���� + ����1 = 0����2: ����2���� + ����2���� + ����2���� + ����2 = 0

Posizione reciproca di due rette nello spazio

������������ ���� ������������ �������������������� �������������������������������� ������������ ���������������������������� �����1���� + ����1���� + ����1���� + ����1 = 0����2���� + ����2���� + ����2���� + ����2 = 0 ���� ������������ ���� ������������ �������������������� �������������������������������� ������������ ����������������������������

�����3���� + ����3���� + ����3���� + ����3 = 0����4���� + ����4���� + ����4���� + ����4 = 0

����′������������������������������������������������ ���� ∩ ���� è �������� �������������������� ���������������������������������������������������� ������������ ���������������������������� �

����1���� + ����1���� + ����1���� + ����1 = 0 ����2���� + ����2���� + ����2���� + ����2 = 0 ����3���� + ����3���� + ����3���� + ����3 = 0 ����4���� + ����4���� + ����4���� + ����4 = 0

�������������������� ���� ���� ����|���� ������������������������������������������������������������ �������� ���������������������������� ���������������������������������������� ���� �������������������������������� ������������ ����������������������������

���� = �

����1 ����1 ����1 ����2 ����2 ����2 ����3 ����3 ����3 ����4 ����4 ����4

� ����|���� = �

����1 ����1 ����1 | −����1 ����2 ����2 ����2 | −����2 ����3 ����3 ����3 | −����3 ����4 ����4 ����4 | −����4

⎩ ⎨

⎧ ����(����) = 3 ⇒ � ����(����|����) = 4 ⇒ �������������������� ��������ℎ���������������� ����(����|����) = 3 ⇒ �������������������� ������������������������������������

����(����) = 2 ⇒ � ����(����|����) = 3 ⇒ �������������������� ������������������������������������ ����(����|����) = 2 ⇒ �������������������� ��������������������������������������������

non sono stati rilasciati commenti
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 30 totali
Scarica il documento