Definizioni matematiche, Domande di esame di Matematica
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Definizioni matematiche, Domande di esame di Matematica

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Definizioni matematiche dei principali concetti riguardo la funzione (campo di esistenza, iniettività, suriettività, biiettività, funzione crescente e decrescente, funzione pari e dispari, estremo inferiore e superiore, ...
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FUNZIONE Dati due insiemi non vuoti A e B si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che faccia corrispondere ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

CAMPO DI ESISTENZA Il campo d'esistenza é quell'insieme di valori che posso attribuire alla x che rendono la funzione verificata.

INIETTIVITA’ Una funzione è iniettiva se ogni elemento del codominio è immagine al massimo di un elemento del dominio

SURIETTIVITA’ Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

BIETTIVITA’ Una funzione è biiettiva se ogni elemento del codominio è immagine di uno ed un solo elemento del dominio.

FUNZIONE CRESCENTE Si dice che la funzione y = f(x) e' crescente nell' intervallo I =[a, b] se comunque presi due punti appartenenti ad I, con x1 < x2, si ha f(x1) < f(x2)

FUNZIONE DECRESCENTE Si dice che la funzione y = f(x) e' crescente nell' intervallo I =[a, b] se comunque presi due punti appartenenti ad I, con x1 < x2, si ha f(x1) > f(x2)

FUNZIONE PARI

Una funzione si dice pari se

FUNZIONE DISPARI

Una funzione si dice dispari se

ESTREMO SUPERIORE Sia E un insieme superiormente limitato. Si dice “estremo superiore” di E quel numero M, se esiste, tale che:

 x ≤ M,   ∀x є E;  ∀ >0 , è possibile trovare almeno un elemento x є E  maggiore di  (M­ )ε ε

Nel caso poi che E sia superiormente illimitato, si dice che “l’estremo superiore di E è +∞ ”

ESTREMO INFERIORE Sia E un insieme inferiormente limitato. Si dice “estremo inferiore” di E quel numero L, se esiste, tale che:

 x ≥ L,   ∀x є E;  ∀ >0 , è possibile trovare almeno un elemento x є E  minore di  (L+ )ε ε

Nel caso poi che E sia inferiormente illimitato, si dice che “l’estremo inferiore di E è ­∞ ”

INTORNO DI UN PUNTO Si chiama intorno di un numero reale xo ogni intervallo aperto ]a, b[ al quale appartiene xo.

LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE CON x x→ o Prendiamo una funzione e un punto . Diciamo che per x tendente a la

funzione f(x) tende al valore c, e scriviamo

se per ogni valore esiste un valore , che dipende dall' precedentemente scelto, tale che

ogni volta che prendo

risulta che

In simboli:

CONTINUITA’

f ( x) è continua quando risulta continua in ogni punto del suo dominio.

DISCONTINUITA’

si dice punto di discontinuità di una funzione a valori reali un punto appartenente al

dominio di nel quale la funzione non risulti continua.

A seconda del modo in cui questa condizione viene a mancare, i punti di discontinuità vengono raggruppati sotto tre famiglie, dette specie:

1. discontinuità di prima specie: il limite destro e il limite sinistro per → esistono e sono finiti, ma sono diversi tra loro (la funzione presenta un "salto" finito nel punto di ascissa )

2. discontinuità di seconda specie: almeno uno dei due limiti per → è infinito (positivo o negativo) oppure non esiste;

3. discontinuità di terza specie: esistono uguali e finiti i limiti destro e sinistro per → , ma il loro valore è diverso dal valore di nel punto .

ASINTOTO

Una retta è detta asintoto del grafico di una funzione se la distanza di un generico punto del grafico da tale retta tende a 0 quando l’ascissa o l’ordinata del punto tendono ad infinito.

Asintoto verticale; Data la funzione y= f ( x ) se si verifica che limx→ c f ( x )= si dice che la retta x=c è asintoto verticale per il grafico della funzione

Asintoto orizzontale; Data la funzione y= f (x) se si verifica che lim± ∞ f ( x )=q si dice che la

retta y=q è asintoto orizzontale del grafico della funzione  Asintoto obliquo; Data la funzione y= f ( x ) se si verifica che limx → ∞ [ f ( x )−(mx+q)]=0

Si dice che la retta y=mx+q è asintoto obliquo per il grafico della funzione

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