Dispensa - Idraulica - Idrodinamica, Dispense di Idraulica. Università di Genova
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frak6619 giugno 2012

Dispensa - Idraulica - Idrodinamica, Dispense di Idraulica. Università di Genova

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Dispensa per il corso di Idraulica riguardante l'Idrodinamica
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Dispense del corso di Idrodinamica

a.a. 2011-2012

2

Introduzione

I corsi di Meccanica dei Fluidi, Idraulica, Idrodinamica intendono fornire agli studenti di diversi corsi di laurea le basi per lo studio della dinamica dei fluidi, cioé gli strumenti utili per la descrizione del moto dei fluidi e per la predizione del loro movimento conoscendo le forze esercitate su di essi. I corsi citati hanno in comune i principi fondamentali e le equazioni di base, differenziandosi per i problemi particolari analizzati in dettaglio.

Queste note hanno lo scopo di accompagnare lo studente durante i corsi di Idraulica 1 e Idrodinamica 1 offerti rispettivamente agli allievi dei corsi di laurea (di 1o livello) in ingegneria civile e ambientale e ingegneria navale della Facoltá di Ingegneria dell’Universitá di Genova. Esse sono altreśı utilizzate, tutte o in parte per i corsi di Meccanica dei fluidi 1 (CL3 in Ingegneria Chimica).

La forma di queste note é sintetica. In esse vengono riassunti i contenuti fondamentali delle lezioni svolte, cercando di seguire, per quanto possibile, la loro cronologia. Esse devono essere intese come un ausilio alla preparazione dell’esame che presuppone la frequenza al corso e un approfondimento dei temi trattati su testi facilmente reperibili nella biblioteca della Facoltá e in quella del Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni dell’Ambiente e del Territorio.

Capitolo 1

Lo schema di continuo

I fluidi, come tutta la materia, hanno una struttura discontinua essendo formati da molecole (insieme di atomi) poste a distanze grandi rispetto alle loro dimensioni e animate da elevate velocitá relative. In un punto arbitrario dello spazio non é quindi possibile definire con precisione le proprietá di un fluido (della materia) perché in tale punto potrebbe non esserci fluido (materia) o potrebbe trovarsi una particolare molecola dotata di una sua massa, di una sua velocitá ....

Figura 1.1:

Esempio: Nel punto P1, individuato dal vettore posizione xP1

1 non é possibile definire alcuna velocitá non essendo presente alcuna molecola. Nel punto P2,

1Una lettera in grassetto indica un vettore, una grandezza cioé individuata da un modulo, una direzione e un verso. Quindi v indica un vettore le cui componenti, rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano costituito dagli assi x1, x2 e x3, sono rispettivamente v1, v2 e v3.

3

4 CAPITOLO 1. LO SCHEMA DI CONTINUO

occupato all’istante in esame dalla particella B, possiamo definire la velocitá vB che tuttavia é molto diversa dalla velocitá vD presente nel punto P3 ove transita la particella D.

Ció che avviene a livello molecolare non é peró di nostro interesse. E’ pos- sibile prescindere da questo carattere discontinuo della materia, se si prende in considerazione un volume che contiene un numero elevato di molecole e si definiscono delle grandezze medie. Ad esempio possiamo definire la densitá ρ1 associata al volume V1 come il rapporto fra la massa M1 in esso contenuta e il volume stesso.

ρ1 = M1 V1

Similmente possiamo definire

ρ2 = M2 V2

e in generale

ρ1 6= ρ2

Figura 1.2:

1.0.1 La densitá in un punto

Consideriamo un punto P nello spazio individuato dal vettore posizione x = (x1, x2, x3) e un volume ∆V

′ che racchiude il punto P. Procedendo come prima possiamo associare al volume ∆V ′ una densitá ρ∆V ′ :

ρ∆V ′ = ∆M ′

∆V ′

5

Figura 1.3:

Scegliendo un altro volume ∆V ′′ otterremo un valore della densitá diverso: ρ′′∆V ′ . La densitá ρ nel punto individuato dal vettore x é definita come il limite di ρ∆V per ∆V tendente a valori piccoli (ǫ).

ρ(x) = lim ∆V→ǫ

∆M

∆V

La dimensione del volume ǫ deve essere piccola rispetto alle dimensioni di interesse ma comunque molto maggiore della distanza media fra molecole. L’andamento di ρ in funzione di ∆V é rappresentato in figura 1.4 ove d rappresenta la distanza media fra le molecole.

Figura 1.4:

La densitá dei fluidi varia con la temperatura e la pressione a cui sono sottoposti. Tale variazione é consistente per i gas ma piuttosto debole per i liquidi. Se la densitá di un fluido non dipende dalla pressione e dalla tem- peratura, il fluido é detto incomprimibile (e indilatabile). Come si vedrá nel capitolo 5, i liquidi, se sottoposti a variazioni di pressione e di temperatura

6 CAPITOLO 1. LO SCHEMA DI CONTINUO

modeste, possono essere trattati come fluidi incomprimibili. Le dimensioni 2

della densitá sono quelle di una massa divisa per un volume

[ρ] = ML−3

e l’unitá di misura nel sistema internazionale il Kg/m3. La densitá di alcuni fluidi é riportata in una nota relativa al capitolo 5.

In modo analogo a quanto fatto per la densitá, possiamo definire qualun- que altra grandezza F di interesse, che risulterá una funzione continua della variabile x (funzione continua dello spazio). In questo modo il fluido (ma- teria) assume una struttura “continua”. Considerando che le caratteristiche del fluido (materia) dipendono anche dal tempo, in generale avremo:

F = F (x, t) = F (x1, x2, x3, t)

con

lim x→x0

F (x, t) = F (x0, t)

lim t→t0

F (x, t) = F (x, t0)

essendo F una qualunque proprietá.

2Come si vedrá meglio nel capitolo 11, la dimensione di una grandezza fisica é l’entitá che accomuna tutte le grandezze che hanno la stessa natura. Ad esempio, se si considerano il diametro di una sfera, la lunghezza di un corso d’acqua e la lunghezza di un condotto, tutte queste quantitá hanno in comune la dimensione lunghezza (L). In meccanica dei fluidi si utilizzano tre dimensioni fondamentali di base, atte cioé a descrivere le dimensioni di tutte le altre grandezze: M (massa), L (lunghezza) e T (tempo)

Capitolo 2

FORZE AGENTI SU UN CONTINUO (FLUIDO)

Le molecole che costituiscono la materia esercitano delle forze sulle molecole circostanti che vengono suddivise in due categorie:

1)forze a corto raggio

2)forze a lungo raggio

Le prime (forze a corto raggio) assumono valori significativi solo quando le molecole si trovano a distanza dell’ordine delle loro dimensioni. Le seconde (forze a lungo raggio) decadono molto lentamente e rimangono significative anche quando le molecole sono a distanze rilevanti, cioé molto maggiori delle loro dimensioni.

Utilizzando lo schema di continuo illustrato nella capitolo 1, si tiene con- to delle osservazioni sperimentali precedenti, introducendo due categorie di forze:

1)forze di superficie

2)forze di massa

Le prime (forze di superficie) sono proporzionali alla superficie considerata e sono il risultato delle forze molecolari di corto raggio. Le seconde (forze di massa) sono invece proporzionali alla massa presa in considerazione e sono il risultato delle forze molecolari di lungo raggio.

Consideriamo un volume V di un continuo (fluido) e una sua parte V’. Denotiamo rispettivamente con S e S’ le superfici che delimitano V e V’.

Attraverso una porzione piccola dS’ (a rigori infinitesima), di normale n, della superficie S’, il continuo (fluido) all’esterno S’ di esercita una forza dF (anch’essa piccola e a rigori infinitesima) sul continuo (fluido) all’interno. Se raddoppiamo dS’ la forza raddoppierá. Come detto precedentemente la forza

7

8 CAPITOLO 2. FORZE AGENTI SU UN CONTINUO (FLUIDO)

Figura 2.1:

é proporzionale alla superficie. Avremo quindi

dF = tdS

La quantitá vettoriale si dice tensione.

Le dimensioni della tensione t sono quelle di una forza divisa per una superficie

[t] = ML−1T−2

L’unitá di misura il Kg m−1 s−2 1 o anche il (Kg m s−2)m−2=Nm−2) denominata anche pascal (Pa). Nell’ingegneria vengono ancor oggi utilizzate unitá di misura diverse. In particolare:

- il chilogrammo forza su metro quadro

1Kgf/m 2 = 9.81N/m2 = 9.81Ps

- un’atmosfera normale

1Atm = 1, 01325105Pa

- un bar

1bar = 105Pa

1Kg indica il chilogrammo massa m indica il metro s indica il secondo N indica il newton

9

La tensione t in generale dipende dalla posizione x della superficie infini- tesima dS’, dal tempo t (non confondere t con t) e dalla normale n. In uno stesso punto e allo stesso tempo due superfici infinitesime di ugual area dS’ e diversa normale n saranno caratterizzate da valori diversi della tensione.

dF (1) = t(1)dS ′

dF (2) = t(2)dS ′′

si ha quindi t = t(x, t,n)

Figura 2.2:

La forza dF = tdS ′ descrive completamente l’azione che il continuo (flui- do) all’esterno di V esercita su quello all’interno attraverso la superficie dS’ (ASSIOMA DI CAUCHY). Volendo determinare la forza complessiva (risul- tante) che il continuo (fluido) allesterno di S’ esercita su quello all’interno é necessario:

1)suddividere la superficie S’ in parti infinitesime dS’

2)valutare su ciascuna parte la forza infinitesima dF esercitata dall’ester- no: dF = tdS ′

3)sommare tutti i contributi individuati

F =

S′ tdS ′

L’azione che il continuo contenuto in V esercita su quello posto esterna- mente, é pari a F.

10 CAPITOLO 2. FORZE AGENTI SU UN CONTINUO (FLUIDO)

La forza F = ∫

S′ tdS ′ rappresenta l’azione del continuo (fluido) all’esterno

di V’ (ma nelle immediate vicinanze di S’) sul continuo all’interno. Tuttavia altra materia esiste anche a distanze elevate (molto maggiori delle dimensioni di V’) e tali da non consentirne la rappresentazione nella figura.

Figura 2.3:

Considerando una porzione piccola dV’ (a rigori infinitesima) del volume V’, si assume che la materia molto distante da dV’ e non rappresentata in figura eserciti una forza dG sul continuo contenuto in dV’ proporzionale alla sua massa. Se raddoppiamo dV’ e quindi la massa in considerazione, la forza raddoppierá. Come detto precedentemente la forza é proporzionale alla massa. Per quanto illustrato nel capitolo 1, la massa dM contenuta in dV ’ é esprimibile come

dM = ρdV ′

avremo quindi

dG = fρdV

La quantitá vettoriale f é detta campo di forze.

Le dimensioni del campo di forze f sono quelle di una forza divisa per una massa cioé quelle di un’accelerazione.

[f ] = LT−2

L’unitá di misura di f é il m s−2. Il campo di forze f in generale dipende dalla posizione x e dal tempo t (non confondere t con t).

11

Volendo determinare la forza complessiva (risultante) che la materia lon- tana da V’ esercita sul continuo (fluido) in esso contenuto é necessario:

1)suddividere il volume V’ in parti infinitesime dV’

2)valutare su ciascuna parte la forza infinitesima dG 2 esercita dall’esterno

dG = fρdV ′

3)sommare tutti i contributi individuati

dG =

V ′ ρfdV ′

2Benché possano essere considerati diversi campi di forze, il campo di forze che verrá preso in considerazione nel corso é il campo di forze gravitazionale (f=g). Il vettore g é diretto verticalmente verso il basso e ha un valore che é lecito assumere costante e pari a 9.81 ms−2.

Capitolo 3

Fluidi in quiete

Come illustrato nel Capitolo 2, la tensione t all’interno di un continuo (flui- do) dipende non solo dalla posizione individuata dal vettore x e dal tempo t (non confondere t con t) ma anche dall’orientamento della superficie infini- tesima dS’ presa in esame.

In generale

t = t(x, t,n)

• Nei fluidi in quiete, tuttavia, la tensione assume una forma particolar- mente semplice (ASSIOMA DI EULERO). In particolare t risulta sempre ortogonale alla superficie in considerazione e diretta verso la superficie.

t = −pn

Figura 3.1:

12

3.1. L’EQUAZIONE INTEGRALE DELLA STATICA 13

La quantitá scalare p si dice pressione.

• Le dimensioni della pressione sono uguali a quelle della tensione ([p]=ML−1T−2) cośı come le unitá di misura (si ricordi che la normale é adimensionale).

• La pressione p in generale dipende dalla posizione x e dal tempo t (non confondere t con t)

p = p(x, t)

3.1 L’EQUAZIONE INTEGRALE DELLA STA-

TICA

Consideriamo un volume di fluido V e una sua porzione arbitraria V’. Per il principio della quantitá di moto (la derivata della quantitá di moto di una massa in movimento rispetto al tempo é uguale alla risultante delle forze esercitate sulla massa dall’esterno), la risultante delle forze che l’esterno esercita su V’ deve annullarsi. Infatti in un fluido in quiete la quantitá di moto é sempre nulla, essendo nulla la velocitá. Per quanto esposto nel capitolo 2, la risultante R delle forze esercitate dall’esterno su V’ sará

R =

S′ tdS ′ +

V ′ ρfdV ′

o, tenendo conto che t=-pn

R = − ∫

S′ pndS ′ +

V ′ ρfdV ′

Deve quindi risultare

R = 0 oppure

S′ pndS ′ =

V ′ ρfdV ′

L’equazione precedente é detta equazione integrale della statica e deve valere qualunque volume V’.

14 CAPITOLO 3. FLUIDI IN QUIETE

Figura 3.2:

3.2 L’EQUAZIONE PUNTUALE DELLA STA-

TICA

L’equazione della statica in forma integrale puó essere trasformata utilizzan- do il teorema del gradiente 1 che porge

S′ (pn)dS ′ =

V ′ ∇pdV ′

si ottiene quindi

V ′ (∇p− ρf )dV ′ = 0

Considerando che l’equazione della statica in forma integrale vale qua- lunque porzione V’ di V si consideri, l’equazione precedente puó essere sod- disfatta solo se si annulla la funzione integranda; se cioé

∇p = ρf L’equazione precedente, detta equazione puntuale della statica, é

un’equazione vettoriale che corrisponde a tre equazioni scalari

∂p

∂x1 = ρf1;

∂p

∂x2 = ρf2;

∂p

∂x3 = ρf3.

1Questo risultato segue banalmente osservando che pn = pI · n (dove I é la matrice identitá) e applicando il teorema di Gauss (detto anche teorema della divergenza)

S

(pI) · ndS = ∫

V

∇ · (pI)dV = ∫

V

∇pdV

3.2. L’EQUAZIONE PUNTUALE DELLA STATICA 15

Essa descrive come cambia nello spazio la pressione p. Tale equazione puó essere integrata una volta noto il campo di forze f e l’equazione di stato che lega la densitá allo stato del fluido.

Capitolo 4

FLUIDI IN QUIETE: LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO A DENSITA COSTANTE SOGGETTO AL CAMPO DI FORZE GRAVITAZIONALE

In molte circostanze, discusse nel capitolo 5, la densitá di un fluido puó essere considerata costante. Qualora il campo di forze sia quello gravitazionale, é possibile integrare facilmente l’equazione puntuale della statica e ottenere la distribuzione spaziale della pressione.

Esempio:

Consideriamo il fluido, all’interno del contenitore in figura 4.1, supposto di densitá costante ρ. Il campo di forze sia quello gravitazionale e laccelerazione sia diretta verticalmente verso il basso. L’equazione puntuale della statica porge

∂p

∂x1 = 0;

∂p

∂x2 = −ρg; ∂p

∂x3 = 0.

e impone quindi che la pressione non dipenda né da x1 né da x3: la pressione costante su un piano orizzontale.

La seconda equazione si trasforma in un’equazione alle derivate ordinarie che puó essere facilmente integrata

16

17

Figura 4.1:

∂p

∂x2 = −ρg =⇒ p = −ρgx2 + c1 = −γx2 + c1

La pressione aumenta linearmente all’aumentare della profonditá. Il va- lore della costante c1 puó essere determinato solo se é nota la pressione in un punto. Il prodotto γ = ρg é detto peso specifico e le sue dimensioni sono quelle di una forza divisa per un volume

[γ] = ML−3LT−2 = ML−2T−2

L’unitá di misura é il N m−3. Nell’ingegneria viene talvolta utilizzato il chilogrammo forza su metro cubo.

1Kgfm −3 = 9.81Nm−3

Con riferimento agli assi in figura, denotiamo con p0 la pressione nel pia- no che risulta essere l’interfaccia fra due fluidi. Non consideriamo per il momento il fluido sovrastante, che possiamo pensare essere aria, e focalizzia- mo l’attenzione su quello sottostante di peso specifico γ. Al fine di analizzare un caso reale possiamo pensare questultimo come acqua. Si ha dunque

p = p0 − γz Essendo ρ 1 pari a 1000 Kg/m3 ed essendo p0 pari alla pressione atmosfe-

1La densitá ρ dell’acqua, che in generale dipende dalla pressione e dalla temperatura (vedi capitolo 5), in molti casi puó essere assunta costante e pari a 1000 Kg/m3. Il peso specifico γ risulta quindi pari a 9810 N/m3. Talvolta γ viene espresso in chilogrammi forza su metro cubo. In questo caso si ha γ = 1000Kgf/m

3.

18CAPITOLO 4. FLUIDI IN QUIETE: LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO

Figura 4.2:

rica cioé circa 1.013 105 Pa, l’andamento della pressione é quello riportato in figura. La pressione raddoppia ad una profonditá di circa 10m mentre divie- ne 3 p0 a una profonditá di circa 20m e cośı via. Dal grafico risulta evidente quanto giá detto in precedenza e sintetizzato dalla formula: la pressione au- menta in modo lineare con la profonditá. La distribuzione della pressione in un fluido incomprimibile in quiete é idrostatica.

Figura 4.3:

Per motivi che saranno chiari nel seguito, introduciamo la quantitá

h = z + p

γ

19

detta carico piezometrico. Le dimensioni del carico piezometrico sono quelle di una lunghezza

[h] = L

e quindi la sua unitá di misura é il metro (m). In un fluido in quiete h risulta costante. Si ha infatti:

h = z + c1 − γz

γ =

c1 γ .

Figura 4.4:

Il carico piezometrico h rappresenta l’energia meccanica posseduta dal fluido per unitá di peso. Essa si compone di energia potenziale per unitá di peso (z) ed energia di pressione per unitá di peso (p/γ).

L’equazione della statica per un fluido a densitá costante soggetto al campo di forze gravitazionale

dp

dz = −ρg = −γ

porge anche

20CAPITOLO 4. FLUIDI IN QUIETE: LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO

pA − pB = −γ (zA − zB) Cioé la differenza di pressione fra due punti é pari a γ per la differenza di

quota. Chiaramente il punto a quota piú bassa ha la pressione maggiore.

Capitolo 5

L’equazione di stato

• Per i cosidetti fluidi termodinamici, lo stato del fluido (le sue caratteri- stiche) dipende da due variabili, dette variabili di stato. Le due variabili di stato possono essere scelte arbitrariamente, essendo tutte le altre caratteri- stiche del fluido legate alle due scelte da equazioni dette “equazioni di stato”. Spesso come variabili di stato vengono scelte:

1)la pressione p

2)la temperatura T

si ha quindi:

ρ = ρ (p, T )

che é l equazione di stato che lega la densitá alla pressione e alla tempe- ratura. L’equazione evidenzia che variando la pressione e/o la temperatura varia la densitá del fluido. Ogni fluido é caratterizzato da una diversa equa- zione; cioé la sua densitá puó variare in modo piú o meno significativo al variare della pressione e della temperatura.

• In forma differenziale l’equazione di stato puó essere scritta nella forma:

dρ =

(

∂ρ

∂p

)

dp+

(

∂ρ

∂T

)

dT.

L’equazione precedente puó essere riscritta introducendo il coefficiente di comprimibilitá isotermo e quello di dilatabilitá isobaro.

- Coefficiente di comprimibilitá isotermo:

21

22 CAPITOLO 5. L’EQUAZIONE DI STATO

ǫ−1 = 1

ρ

(

∂ρ

∂p

)

- Coefficiente di dilatabilitá isobaro:

α = −1 ρ

(

∂ρ

∂T

)

L’equazione diviene

dρ = ρ (

ǫ−1dp− αdT )

.

• Essendo proprietá del fluido, ǫ e α a loro volta dipendono da p e T. Tuttavia se le variazioni di p e T non sono elevate, ǫ e α possono essere con- siderati costanti e pari a ǫ0 e α0.

Segue

ρ = ǫ−10 dp− α0dT

ln

(

ρ

ρ0

)

= ǫ−10 (p− p0)− α0 (T − T0)

ρ = ρ0e ǫ−10 (p−p0)−α0(T−T0)

ove ρ0 é la densitá alla pressione p0 e alla temperatura T0. L’equazione precedente puó essere considerata come equazione di stato in

quelle situazioni in cui le variazioni di p e T non sono rilevanti. Per valori della pressione e della temperatura pari a quelli ambientali (es.:

p=1,013 105 Pa, T= 20o C), i valori di ǫ0 e α0 per l’acqua sono molto grandi e molto piccoli rispettivamente (ǫ0 = 2.178 10

9N/m2, α0 = 20.66 10 −5K−1 ).

Per variazioni di pressione piccole rispetto a ǫ0 e per variazioni di temperatura piccole rispetto a α−10 , é possibile approssimare e

ǫ−10 (p−p0)−α0(T−T0) con 1 e considerare il valore di ρ costante e pari a ρ0.

Considerazioni analoghe possono essere fatte anche per altri fluidi tenen- do presente che per assumere ρ ∼= ρo é necessario che siano piccole (molto minori di 1) le quantitá (p− p0) /ǫ0 e α0 (T − T0).

23

• Esistono altre forme di equazione di stato, valide per fluidi o casi par- ticolari. Ad esempio per un gas perfetto che subisce una trasformazione isoterma l equazione di stato diviene

p

ρ =

p0 ρ0

essendo p0 e ρ0 la pressione e la densit di riferimento. 1

1A temperatura T=15o C e pressione p=1.013 105 Pa si ha: Densitá dell’acqua uguale a 9.99 102 Kg/m3

Densitá dell’olio lubrificante uguale a 8.67 102 Kg/m3

Densitá dell’aria uguale a 1.22 Kg/m3

Densitá del mercurio uguale a 1.36 104 Kg/m3

Capitolo 6

LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN GAS PERFETTO A TEMPERATURA COSTANTE SOGGETTO AL CAMPO DI FORZE GRAVITAZIONALE

L equazione puntuale della statica impone

dp

dz = −ρg

Utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti a temperatura costante (capitolo 5), si ottiene:

dp

dz = −pρ0

p0 g

dp

p = −ρ0g

p0 dz = −γ0

p0 dz

ln

(

p

p0

)

= −γ0 p0

(z − z0)

24

25

p = p0e −

γ0(z−z0) p0

Se consideriamo aria a una temperatura di 15oC e assumiamo p0 pari a 1.013 105 Pa con z0=0, il valore di γ0 risulta pari a 11.2 N/m

3. La figura riporta l andamento di p e di ρ con la quota.

Figura 6.1:

Se tuttavia le variazioni di quota sono modeste (per esempio se z − z0 é inferiore a 100 m.), la quantitá γ0 (z − z0) /p0 risulta molto minore di uno (γ (z − z0) /p0 = 1.1 10−2 per z−z0 = 100 m) e sia la pressione che la densitá possono essere assunte costanti. Infatti per valori piccoli di γ0 (z − z0) /p0 si puó scrivere

p ∼= p0 [

1− γ0 (z − z0) p0

+ 1

2

(

γ (z − z0) p0

)2

+ ...

]

. Quindi se (z − z0) é pari a 100 m o inferiore, p puó essere assunta pari

a p0 con un errore di ordine 10 −2 o minore. E per questo motivo che nei

problemi che noi affronteremo, in cui le variazioni di quota sono modeste, riterremo la pressione atmosferica costante con la quota.

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