Dispense sullo Studio di Funzione, Dispense di Matematica
andrea.basco
andrea.basco
Questo è un documento Store
messo in vendita da andrea.basco
e scaricabile solo a pagamento

Dispense sullo Studio di Funzione, Dispense di Matematica

14 pagine
18Numero di visite
Descrizione
Spiegazione dei vari passaggi dello studio di funzione. Dettagli e consigli su come affrontarlo. Alcuni esempi pratici sulle principali funzioni.
3.99
Prezzo del documento
Scarica il documento
Questo documento è messo in vendita dall'utente andrea.basco: potrai scaricarlo in formato digitale subito dopo averlo acquistato! Più dettagli
Anteprima3 pagine / 14
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 14 totali
Scarica il documento
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 14 totali
Scarica il documento
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 14 totali
Scarica il documento
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 14 totali
Scarica il documento

Studio di funzione Di Andrea Baschetti

Sommario 1 Determinazione del Campo di esistenza ........................................................................................................ 3

2 Determinazione del tipo di funzione .............................................................................................................. 3

2.1 Funzioni pari ............................................................................................................................................ 3

2.2 Funzioni dispari ........................................................................................................................................ 3

2.3 Funzioni periodiche ................................................................................................................................. 3

3 Intersezione con gli assi .................................................................................................................................. 4

3.1 Intersezione con l’asse x (�� = 0) ............................................................................................................. 4

3.2 Intersezione con l’asse y (�� = 0) ............................................................................................................. 4

4 Studio del segno ............................................................................................................................................. 4

5 Valori agli estremi del campo di esistenza e determinazione degli asintoti .................................................. 4

5.1 Asintoti Verticali ...................................................................................................................................... 4

5.2 Asintoti Orizzontali .................................................................................................................................. 4

5.3 Asintoti Obliqui ........................................................................................................................................ 4

6 Derivata prima ................................................................................................................................................ 5

6.1 Crescenza e decrescenza ......................................................................................................................... 5

6.2 Determinazione dei Massimi e minimi .................................................................................................... 5

7 Derivata seconda ............................................................................................................................................ 5

7.1 Determinazione della concavità e convessità ......................................................................................... 5

7.2 Flessi ........................................................................................................................................................ 5

8 Grafico della funzione ..................................................................................................................................... 5

9 Esempi Pratici ................................................................................................................................................. 6

9.1 ���� = ��(��)��(��) ...................................................................................................................................... 6

9.1.1 Determinazione del Campo di esistenza .......................................................................................... 6

9.1.2 Determinazione del tipo di funzione ................................................................................................ 6

9.1.3 Intersezione con gli assi .................................................................................................................... 6

9.1.4 Studio del segno ............................................................................................................................... 6

9.1.5 Valori agli estremi del campo di esistenza e determinazione degli asintoti .................................... 7

9.1.6 Derivata prima .................................................................................................................................. 7

9.1.7 Derivata seconda .............................................................................................................................. 8

9.1.8 Grafico della funzione ....................................................................................................................... 8

9.2 ���� = ��x ................................................................................................................................................... 9

9.2.1 Determinazione del Campo di esistenza .......................................................................................... 9

9.2.2 Determinazione del tipo di funzione ................................................................................................ 9

9.2.3 Intersezione con gli assi .................................................................................................................... 9

9.2.4 Studio del segno ............................................................................................................................... 9

9.2.5 Valori agli estremi del campo di esistenza e determinazione degli asintoti .................................... 9

9.2.6 Derivata prima ................................................................................................................................ 10

9.2.7 Derivata seconda ............................................................................................................................ 10

9.2.8 Grafico della funzione ..................................................................................................................... 11

9.3 ���� = ln�� ................................................................................................................................................ 11

9.3.1 Determinazione del Campo di esistenza ........................................................................................ 11

9.3.2 Determinazione del tipo di funzione .............................................................................................. 12

9.3.3 Intersezione con gli assi .................................................................................................................. 12

9.3.4 Studio del segno ............................................................................................................................. 12

9.3.5 Valori agli estremi del campo di esistenza e determinazione degli asintoti .................................. 13

9.3.6 Derivata prima ................................................................................................................................ 13

9.3.7 Derivata seconda ............................................................................................................................ 14

9.3.8 Grafico della funzione ..................................................................................................................... 14

1 Determinazione del Campo di esistenza Per determinare il campo di esistenza è necessario studiare i punti in cui le funzioni non esistono.

I casi base sono:

 ��(��) = ��(��)

��(��) è necessario imporre il denominatore diverso da 0 ��(��) ≠ 0

 ��(��) = √x ��

nel caso di n pari è necessario imporre l’argomento della radice maggiore de 0 �� ≥ 0

 ��(��) = ln⁡(��) è necessario imporre l’argomento del logaritmo strettamente maggiore di 0 �� > 0

Questi sono i casi base, è possibile trovare funzioni in cui sono presenti in maniera aggregata.

Una volta trovato il dominio di esistenza è possibile scriverlo in due modi:

1. ��. ��.= {�� ∈ ℝ|��1 ∪ …∪ ����} 2. ��. ��.= [��1, ��2] ∪ …∪⁡]����, ����[

Dove ��1 ∪ …∪ ���� sono le condizioni prese dallo studio del campo di esistenza.

��1, ��2, ����, ���� rappresentano gli estremi dei punti dove la funzione esiste, le parentesi quadre chiuse

rappresentano che quell’estremo è incluso nel dominio di esistenza, aperte che non è incluso.

Consiglio sempre di usare il secondo metodo, è più rapido nello studio degli asintoti.

I punti evidenziati sono quelli da inserire nello studio del limite agli estremi.

2 Determinazione del tipo di funzione Determinare il tipo di funzione non è un passaggio indispensabile per il disegno della funzione finale ma

aiuta nel capire se è possibile ridurre lo studio della funzione in un sottoinsieme sfruttando le simmetrie.

2.1 Funzioni pari Le funzioni pari sono funzioni simmetriche rispetto l’asse y. Basterà quindi costruire solo metà grafico e

ribaltarlo rispetto l’asse y. Cioè i valori a destra dell'origine sono uguali a quelli a sinistra.

Per verificare che sono funzioni pari è sufficiente verificare che ��(−��) = ��(��) ossia dimostrando che

cambiando di segno la �� si torna alla funzione iniziale.

2.2 Funzioni dispari Le funzioni dispari sono funzioni simmetriche rispetto l’origine. Basterà quindi costruire solo metà grafico e

poi ribaltarlo rispetto l’origine. Cioè i valori a destra dell'origine sono uguali a quelli a sinistra cambiati di

segno.

Per verificare che sono funzioni dispari è sufficiente verificare che ��(−��) = −��(��) ossia dimostrando che

cambiando di segno la �� si torna alla funzione iniziale.

2.3 Funzioni periodiche Una funzione si dice periodica se dopo un certo intervallo (periodo) si ripete. Basterà costruire un periodo e

poi ripeterlo su tutto l'asse reale.

Per verificare che sono funzioni periodiche è sufficiente verificare che ��(�� + ℎ) = ��(��) con ℎ periodo

3 Intersezione con gli assi Si tratta di calcolare le coordinate dei punti in cui la funzione incontra gli assi cartesiani.

3.1 Intersezione con l’asse x (�� = 0) E’ necessario mettere a sistema la funzione iniziale con l’asse x

{ �� = ��(��) �� = 0

Risolvendo il sistema si otterranno (se esistono) i punti di intersezione con l’asse x

3.2 Intersezione con l’asse y (�� = 0) E’ necessario mettere a sistema la funzione iniziale con l’asse y

{ �� = ��(��) �� = 0

Risolvendo il sistema si otterranno (se esistono) i punti di intersezione con l’asse y

4 Studio del segno Serve per individuare in quali parti del piano esisterà il grafico della funzione.

E’ necessario porre la funzione maggiore di zero (��(��) > 0) e trovare per quali valori di x è verificata, per

tali valori il grafico sarà sopra l'asse delle x (ascisse) mentre per valori diversi sarà sotto.

5 Valori agli estremi del campo di esistenza e determinazione degli asintoti Lo studio dei limiti serve per verificare il comportamento della funzione ai limiti del campo di esistenza (i

punti inserito nel capitolo 1). Studiando questi limiti è possibile anche trovare gli asintoti.

5.1 Asintoti Verticali Rappresentano della rette verticali passanti per il punto ���� preso dalle condizioni di esistenza.

Per verificare che sia un asintoto orizzontale basta verificare che il lim ��→����

��(��) → ∞

5.2 Asintoti Orizzontali Rappresentano della rette orizzontali passanti per il punto ����.

Per verificare che sia un asintoto orizzontale basta verificare che il lim ��→∞ ��(��) → ����

5.3 Asintoti Obliqui Se lim ��→∞ ��(��) → ∞ potrebbe rappresentare un asintoto obliquo di formula �� = ���� + ��

Dove:

 �� = lim ��→∞

��(��)

��

 �� = lim ��→∞ (��(��) − ����)

Sarà un asintoto obliquo se e solo se m e q sono finiti.

6 Derivata prima Si calcola la derivata prima per poter poi individuare in che punti la funzione sarà crescente o decrescente

ed anche i massimi ed i minimi.

6.1 Crescenza e decrescenza Una volta calcolata la derivata ��′(��) bisogna studiare il suo segno, ��′(��) > 0. Una volta trovati i valori per

quali è verificata, per tali valori la funzione sarà crescente mentre per valori diversi sarà decrescente.

6.2 Determinazione dei Massimi e minimi ��′(��) = 0. Una volta trovati i valori per quali è verificata, essi rappresentano dove saranno i massimi o i

minimi della funzione, se appartenenti al campo di esistenza. Saranno massimi se prima la funzione è

crescente e dopo decrescente, minimi in caso contrario.

7 Derivata seconda Si calcola la derivata seconda per poter poi individuare in che punti la funzione sarà concava e convessa ed

eventuali flessi.

7.1 Determinazione della concavità e convessità Una volta calcolata la derivata ��′′(��) bisogna studiare il suo segno, ��′′(��) > 0. Una volta trovati i valori per

quali è verificata, per tali valori la funzione sarà concava mentre per valori diversi sarà convessa.

7.2 Flessi ��′′(��) = 0. Una volta trovati i valori per quali è verificata, essi rappresentano i punti dove saranno

presente dei flessi

8 Grafico della funzione Bisogna impostare un grafico in cui mettere tutti i dati trovati sviluppando i vari punti e quindi unirli con

una linea

9 Esempi Pratici

9.1 ��(��) = ��(��)

��(��)

��(��) = ⁡ �� + 2

��2 − 1

9.1.1 Determinazione del Campo di esistenza

Si tratta di una funzione del tipo ��(��) = ��(��)

��(��) è necessario imporre ��(��) ≠ 0

��2 − 1⁡ ≠ 0 → ��2 ≠ 1 → �� ≠ ±√1 → �� ≠ ±1

��. ��.= {�� ∈ ℝ|�� ≠ ±1}

��. ��.=] −∞,−1[∪] − 1,+1[∪] + 1,+∞[

9.1.2 Determinazione del tipo di funzione Nella funzione è sufficiente sostituire al posto a �� la – ��

��(−��) = ⁡ (−��) + 2

(−��)2 − 1 = −�� + 2

��2 − 1

��(−��) ≠ ��(��) e ��(−��) ≠ −��(��) di conseguenza non è né una funziona pari né dispari, cioè non ha

simmetrie.

9.1.3 Intersezione con gli assi

9.1.3.1 Intersezione con l’asse x (�� = 0)

{ �� =

��+2

��2−1

�� = 0 → { 0 = �� + 2 �� = 0

→ { �� = 2 �� = 0

→ ��(2,0)

Il punto trovato appartiene al dominio della funzione quindi è un punto di intersezione con l’asse x

9.1.3.2 Intersezione con l’asse y (x= 0)

{ �� = 0

�� = ��+2

��2−1

→ { �� = 0

�� = 2

−1

→ { �� = 0 �� = −2

→ ��(0,−2)

Il punto trovato appartiene al dominio della funzione quindi è un punto di intersezione con l’asse y

9.1.4 Studio del segno ��+2

��2−1 > 0 bisogna studiare separatamente ��(��) > 0 e ��(��) > 0 e poi unire i risultati

��(��) > 0 → �� + 2 > 0⁡ → �� > −2

��(��) > 0 → ��2 − 1 > 0⁡ → ��2 − 1 = 0 → ��2 ≠ ±1

Quindi la funziona risulterà per:

 �� < −2 negativa

 −2 < �� < −1 positiva

 −1 < �� < +1 negativa

 �� > +1 positiva

9.1.5 Valori agli estremi del campo di esistenza e determinazione degli asintoti

 lim ��→−∞

��+2

��2−1 → −∞

+∞ → ����������⁡��������������������������

Per questo tipo di F.I. è necessario raccogliere l’esponente di grado massimo:

lim ��→−∞

��+2

��2−1 ⁡→ lim

��→−∞

��(1+ 2

�� )

��2(1− 1

��2 ) → i limiti di termini con �� al denominatore nel caso in cui �� → ±∞ si annullano

quindi lim ��→−∞

��

��2 → lim ��→−∞

1

�� → 0. Risulterà quindi un asintoto orizzontale.

 lim ��→−1−

��+2

��2−1 → lim ��→−1−

+1

0+ → +∞ Risulterà quindi un asintoto verticale.

 lim ��→−1+

��+2

��2−1 → lim ��→−1+

+1

0− → −∞ Risulterà quindi un asintoto verticale.

 lim ��→+1−

��+2

��2−1 → lim ��→+1−

+3

0− → −∞ Risulterà quindi un asintoto verticale.

 lim ��→+1+

��+2

��2−1 → lim ��→+1+

+3

0+ → +∞ Risulterà quindi un asintoto verticale.

 lim ��→+∞

��+2

��2−1 → +∞

+∞ → ����������⁡��������������������������

Per questo tipo di F.I. è necessario raccogliere l’esponente di grado massimo:

lim ��→+∞

��+2

��2−1 ⁡→ lim

��→+∞

��(1+ 2

�� )

��2(1− 1

��2 ) → i limiti di termini con �� al denominatore nel caso in cui �� → ±∞ si annullano

quindi lim ��→+∞

��

��2 → lim ��→+∞

1

�� → 0. Risulterà quindi un asintoto orizzontale.

9.1.6 Derivata prima

��′(��) = 1(��2−1)−(��+2)2��

(��2−1)2 = −��2−4��−1

(��2−1)2

−��2−4��−1

(��2−1)2 > 0 bisogna studiare separatamente ��(��) > 0 e ��(��) > 0 e poi unire i risultati

��(��) > 0 → −��2 − 4�� − 1 > 0⁡ → +��2 + 4�� + 1 = 0 → ��1,2 = −4±√16−4

−2 = −4±√12

2 = −4±2√3

2 = −2 ± √3

��(��) > 0 → è un quadrato quindi sarà sempre positivo → ∀�� ∈ ℝ

Quindi la funziona risulterà per:

 �� < −2 − √3 negativa cioè decrescente

 −2 − √3 < �� < −2 + √3 positiva cioè crescente

 �� > −2 + √3 negativa cioè decrescente

9.1.7 Derivata seconda

��′′(��) = (−2��−4)(��2−1)

2 −(−��2−4��−1)2(��2−1)2��

(��2−1)4 = (��2−1)[(−2��−4)(��2−1)−4��(−��2−4��−1)]

(��2−1)4 =

(��2−1)(−2��3+2��−4��2+4+4��3+16��2+4��)

(��2−1)4 =⁡ 2(��2−1)(��3+6��2+3��+2)

(��2−1)4

In questo caso valutare lo studio del segno per la concavità non è necessario, abbiamo abbastanza

informazioni per fare il grafico della funzione.

9.1.8 Grafico della funzione

9.2 ��(��) = √x ��

��(��) = ⁡√��2 − 2�� + 5

9.2.1 Determinazione del Campo di esistenza

Si tratta di una funzione del tipo ��(��) = √x ��

con indice n pari è quindi necessario imporre �� ≥ 0

��2 − 2�� + 5⁡ ≥ 0 → ��2 − 2�� + 5 = 0 → ∀�� ∈ ℝ

��. ��.= {∀�� ∈ ℝ}

��. ��.=] −∞,+∞[

9.2.2 Determinazione del tipo di funzione Nella funzione è sufficiente sostituire al posto a �� la – ��

��(−��) = ⁡√(−��)2 − 2(−��) + 5 → √��2 + 2�� + 5

��(−��) ≠ ��(��) e ��(−��) ≠ −��(��) di conseguenza non è né una funziona pari né dispari, cioè non ha

simmetrie.

9.2.3 Intersezione con gli assi

9.2.3.1 Intersezione con l’asse x (�� = 0)

{ �� = √��2 − 2�� + 5

�� = 0 → {0 = √��

2 − 2�� + 5 �� = 0

→ { 0 = ��2 − 2�� + 5

�� = 0 → { ∄�� ∈ ℛ �� = 0

Non avendo risultati non ci sono intersezioni con l’asse x

9.2.3.2 Intersezione con l’asse y (x= 0)

{ �� = 0

�� = √��2 − 2�� + 5 → { �� = 0

�� = √5 → ��(0, √5)

Il punto trovato appartiene al dominio della funzione quindi è un punto di intersezione con l’asse y.

9.2.4 Studio del segno

Per studiare il segno della funzione dobbiamo risolvere la disequazione ��(��) ≥ 0, cioè √��2 − 2�� + 5 ≥ 0

Ma qui non è necessario, perché una radice ad indice pari è per definizione non negativa ed in particolare è

nulla solo se il radicando è nullo. Quindi è positiva per tutto l’insieme di definizione.

9.2.5 Valori agli estremi del campo di esistenza e determinazione degli asintoti

 lim ��→−∞

√��2 − 2�� + 5 → √∞+∞ → √∞ → ∞

In questo caso potrebbe essere un asintoto obliquo, per verificarlo:

 �� = lim ��→±∞

��(��)

�� = lim ��→±∞

√��2−2��+5

�� = lim ��→±∞

√��2(1− 2

�� + 5

��2 )

�� = lim ��→±∞

��

�� = ±1

 �� = lim ��→−∞

(��(��) − ����) = lim ��→−∞

√��2 − 2�� + 5 − �� per calcolare il limite effettuiamo una

razionalizzazione al contrario lim ��→±∞

(√��2 − 2�� + 5 ± ��) ( √��2−2��+5+��

√��2−2��+5+�� ) = lim

��→±∞

��2−2��+5−��2

√��2−2��+5+�� =

lim ��→−∞

−2��+5

√��2−2��+5+�� Valutando solo gli infiniti di ordine principale otteniamo lim

��→−∞

−��

√��2+�� =

lim ��→±∞

−��

2�� = ∓

1

2

Dato che “m” e “q” esistono e sono finiti abbiamo un asintoto obliquo di equazione:

lim ��→−∞

→ �� = −�� + 1

2

lim ��→+∞

→ �� = �� − 1

2

9.2.6 Derivata prima

��′(��) = ( 1

2√��2−2��+5 )(2�� − 2) =

��−1

√��2−2��+5

��−1

√��2−2��+5 > 0 bisogna studiare separatamente ��(��) > 0 e ��(��) > 0 e poi unire i risultati

��(��) > 0 → �� − 1 > 0⁡ → �� > 1

��(��) > 0 → come detto prima, una radice ad indice pari è per definizione non negativa ed in particolare è

nulla solo se il radicando è nullo. Quindi è positiva per tutto l’insieme di definizione → ∀�� ∈ ℝ

Quindi la funziona risulterà per:

 �� < 1 negativa cioè decrescente

 �� > 1positiva cioè crescente

9.2.7 Derivata seconda

��′′(��) = √��2−2��+5−(��−1)(

��−1

√��2−2��+5 )

��2−2��+5

In questo caso valutare lo studio del segno per la concavità non è necessario, abbiamo abbastanza

informazioni per fare il grafico della funzione.

9.2.8 Grafico della funzione

9.3 ��(��) = ln(��)

��(��) = ln( ��−2

��2−1 )

9.3.1 Determinazione del Campo di esistenza Si tratta di una funzione del tipo ��(��) = ln(��) quindi è necessario imporre �� > 0

��−2

��2−1 > 0 Dobbiamo studiare quindi il segno del frazione.

��(��) > 0 → �� − 2 > 0⁡ → �� > 2

��(��) > 0 →⁡��2 − 1 > 0 →⁡��2 − 1 = 0 → ��1,2 = ±1

��. ��.= {−1 < �� < +1⁡ ∪ �� > +2}

��. ��.=] − 1,+1[∪] + 2,+∞[

9.3.2 Determinazione del tipo di funzione Nella funzione è sufficiente sostituire al posto a �� la – ��

��(−��) = ⁡ ln( (−��) − 2

(−��)2 − 1 ) → ln(

−�� − 2

��2 − 1 )

��(−��) ≠ ��(��) e ��(−��) ≠ −��(��) di conseguenza non è né una funziona pari né dispari, cioè non ha

simmetrie.

9.3.3 Intersezione con gli assi

9.3.3.1 Intersezione con l’asse x (�� = 0)

{ �� = ln(

��−2

��2−1 )

�� = 0 → { 0 = ln(

��−2

��2−1 )

�� = 0 → {

��−2

��2−1 = 1

�� = 0 → { �� − 2 = ��2 − 1 �� = 0

→{ ��2 − �� + 1 = 0 �� = 0

→∄�� ∈ ℝ

Non avendo risultati non ci sono intersezioni con l’asse x

9.3.3.2 Intersezione con l’asse y (x= 0)

{ �� = 0

�� = ln( ��−2

��2−1 ) → {

�� = 0

�� = ln ( −2

−1 ) = ln⁡(2) → ��(0, ln⁡(2))

Il punto trovato appartiene al dominio della funzione quindi è un punto di intersezione con l’asse y.

9.3.4 Studio del segno Per studiare il segno della funzione dobbiamo analizzare l’argomento del logaritmo, quindi:

- 0 < ��−2

��2−1 < 1 → la funzione è negativa

- ��−2

��2−1 = 1 → la funzione vale zero

- ��−2

��2−1 > 1 → la funzione è positiva →

−��2+��−1

��2−1 > 0

��(��) > 0 → ∄�� ∈ ℝ → il numeratore è sempre negativo

��(��) > 0 →⁡��2 − 1 > 0 →⁡��2 − 1 = 0 → ��1,2 = ±1

Quindi il logaritmo sarà:

−1 < �� < +1 → positivo

�� > 2 → negativo

9.3.5 Valori agli estremi del campo di esistenza e determinazione degli asintoti

 lim ��→−1−

ln( ��−2

��2−1 ) → lim

��→−1− ln( −3

0− ) = +∞ Risulterà quindi un asintoto verticale.

 lim ��→+1+

ln( ��−2

��2−1 ) → lim

��→+1+ ln( −1

0− ) = +∞ Risulterà quindi un asintoto verticale.

 lim ��→+2+

ln( 0+

3 ) → lim

��→+2+ ln(0) = −∞ Risulterà quindi un asintoto verticale.

 lim ��→+∞

ln( ��−2

��2−1 ) → lim

��→+∞ ln( +∞

+∞ ) → ����������⁡��������������������������

Per questo tipo di F.I. è necessario raccogliere l’esponente di grado massimo:

lim ��→+∞

ln( ��−2

��2−1 ) ⁡→ lim

��→+∞ ln(

��(1− 2

�� )

��2(1− 1

��2 ) ) → i limiti di termini con �� al denominatore nel caso in cui �� → ±∞ si

annullano quindi lim ��→+∞

ln( ��

��2 ) → lim

��→+∞ ln (

1

�� ) → lim

��→+∞ ln (

1

+∞ ) = −∞.

In questo caso potrebbe essere un asintoto obliquo, per verificarlo:

 �� = lim ��→+∞

��(��)

�� = lim ��→+∞

ln( ��−2

��2−1 )

�� = +∞

+∞ → ����������⁡�������������������������� → ��������������⁡����⁡��′�������������� →

lim ��→+∞

( ��2−1

��−2 )( 1(��2−1)−(��−2)(2��)

(��2−1)2 )

1 = lim ��→+∞

( −��2+4��−1

(��−2)(��2−1)2 )

1 = 0

Dato che “m” è nullo non abbiamo un asintoto obliquo.

9.3.6 Derivata prima

��′(��) = ( ��2−1

��−2 )( 1(��2−1)−(��−2)(2��)

(��2−1)2 ) = (

−��2+4��−1

(��−2)(��2−1)2 )

−��2+4��−1

(��−2)(��2−1)2 > 0 bisogna studiare separatamente ��(��) > 0 e ��(��) > 0 e poi unire i risultati

��(��) > 0 → −��2 + 4�� − 1 > 0⁡ → −��2 + 4�� − 1 = 0 → ��1,2 = 2 ± √3

��(��) > 0 → il termine (��2 − 1)2 è un quadrato e per definizione sempre positiva, basta quindi studiare il

segno di → �� − 2 > 0 → �� > 2

Quindi la funziona risulterà per:

 −1 < �� < −2 + √3 negativa cioè decrescente

 −2 + √3 < �� < 1 positiva cioè crescente

 �� > 2 negativa cioè decrescente

9.3.7 Derivata seconda

��′′(��) = (−2��+4)(��−2)(��2−1)

2 −(−��2+4��−1)(5��4−8��3−6��2−8��+1)

[(��−2)(��2−1)2]2 = 3��6−20��5+27��4−8��3+41��2−4��−7

[(��−2)(��2−1)2]2

In questo caso valutare lo studio del segno per la concavità non è necessario, abbiamo abbastanza

informazioni per fare il grafico della funzione.

9.3.8 Grafico della funzione

non sono stati rilasciati commenti
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 14 totali
Scarica il documento