Metodi Statistici per il Management: Introduzione a Probabilità e Variabili Casuali, Slide di Statistica

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Metodi Statistici per il Management

Richiami di Inferenza Statistica

Simone Borra - Roberto Rocci

IndiceIndice

• Probabilità– Variabili Casuali– Metodologie dell’Inferenza Statistica 2

ProbabilitàProbabilità

Probabilità dell’unione -^ P(E^ ∪^ F) = P(E) + P(F) – P(E

∩^ F)

Probabilità^ della

negazione Probabilità^ della

negazione c - P(E) = 1- P(E) Probabilità condizionata - P(E|F) = P(E

∩^ F)/P(F)

Eventi indipendenti -^ P(E^ ∩^ F)^ =^ P(E)P(F)-^ P(E^ ∩^ F)^ =^ P(E)P(F) 4

ProbabilitàProbabilità

Esempiop Studio delle probabilità di incasso delle fatture. Codici di pagamento:PP = Puntuale, RP = Ritardato, MP = Mancato.La terna (Ω,^ ℑ,P) si può così formareLa terna (Ω,^ ℑ,P) si può così formare-^ Ω^ = {PP,RP,MP}- Come^ σ-algebra

ℑ^ la scelta più naturale e semplice, quando l’insieme

Ω^ è

finito, è di considerare per

ℑ^ l’insieme^ ℘(Ω

) delle parti di^ Ω: finito, è di considerare per

ℑ^ l insieme^ ℘(Ω

) delle parti di^ Ω: ℑ^ = { {PP},{RP},{MP},{PP,RP},{PP,MP},{RP,MP},

Ω,^ ∅^ }.

• La funzione di probabilità

P^ può essere scelta assegnando una probabilità ai tre eventi elementari che rispetti l’assioma

P (Ω)^ = 1, e le probabilità agli altri t e e e t^ e e^ e ta

c e^ spett^ ass o

a^ (^ )^ , e^

e p obab^ tà ag^

a t

eventi in modo coerente con l’assioma di additività di

P. Procediamo con una

delle possibili scelte P {PP} = 0 6^ P {RP} = 0 3

P {MP} = 0 1 Conseguentemente avremo: P {PP} = 0.6,^ P {RP} = 0.3,

P {MP} = 0.1. Conseguentemente avremo: P^ {PP,RP} = 0.6 + 0.3 = 0.9;

P^ {PP,MP} = 0.6 + 0.1 = 0.7;

P^ {RP,MP} = 0.3 +

0.1 = 0.4. Con le probabilità usuali di “contorno”

P^ {Ω) = 1,^ P^ {∅} = 0. 5

Variabili casualiVariabili

casuali

Definizioni^ U^ i bil^

l^ X^ i^ di^ di^

t^

l^ i^ i^ i^ i^

E^ di

ƒUna variabile casuale

X^ si dice^ discreta

se assume valori in un insieme

E^ di

cardinalità^ finita

o^ numerabile. La sua distribuzione di probabilità è descritta dalla^ funzione^

di^ probabilità^ (assegna

la^ probabilità^

ad^ ogni^ possibile

realizzazione).realizzazione). ƒUna variabile casuale è detta( assolutamente )

continua^ se

P c^ X^ d

d f x^ dx ( ) (^ )≤ ≤ = ∫ c

( assolutamente )

continua^ se assume valori in un intervallo deireali. Le probabilità sonoassegnate ad intervalli

f(x) assegnate^ ad intervallie non a singoli punti mediante lafunzione di densità di probabilità(^ i^ t^ h^

b bilità^ !) (ogni punto ha probabilità zero!)

a^

Xb c^ d

7

Funzione di ripartizione di

v c

Funzione

di^ ripartizione

di^ v.c.

Definizione.^ Data una variabile casuale

X , la funzione F :^ ℜ^ Æ^ [0,1],^ F

( x ) =^ P {^ X^ ≤^ x X^

-1^ } = P { X (-∞,x] }

è detta funzione di ripartizione di

X.

La funzione di ripartizione gode della seguenti proprietà: ƒ^ monotona non decrescente; ƒ^ continua a destra; ƒ^ F(-∞) = 0, F(+

Per una variabile casuale

X,^ la probabilità dell’intervallo [a,b] è data da: P {[a,b]} =^ F (b) –X^

F (a) Tale proprietà è alla base della rilevanza operativa della funzione diripartizione. 8

Valore atteso

di variabili casuali

Valore E i

atteso^ di

variabili

casuali

Esempio^ Scenario

x^ Prob (

x )^ X^

⋅^ Prob( x ) (guadagno 1000 €)

( )^

(^ )

-^ 0.^

• +^ 0.^

+^

0.^

E( x )=^ Σ^ x^ P( x )^

+^4 E( x )=^ Σ^ x^ P( x )^

+^4.

10

Varianza

di variabili casuali

Varianza

di^ variabili

casuali

D fi^ i iDefinizione È detta^ varianza

, e si indica con

(^2) σ, il valore atteso del

quadrato dello scostamento della variabile casuale dallaquadrato dello scostamento della variabile casuale dallasua media^ μ

(^2) , σ= E( X - μ) 2 : (^2) ƒ σ=^ Σ( x - x^ (^2) μ)P( X = x ) se la v.c. è

discreta; ∞+^22 ƒ σ= ∫

se la v.c. è^ continua. (^2) ( )μ− dxxfx )(∫ ∞− 11

Variabili

casuali notevoli

Variabili

casuali^

notevoli Discrete

• Binomiale : numero di successi in

n^ prove

• Poisson : numero di eventi nel tempo• Binomiale^ negativa

: numero di tentativi per il primo successo Binomiale^ negativa

: numero di tentativi per il primo successo^ Continue ƒ Gaussiana : distribuzione utile per molti fenomeni ƒ Lognormale : come sopra, in finanza per i livelli di prezzo ƒ Uniforme : utilizzata per descrivere la massima incertezza ƒ Gamma : per fenomeni a valor positivi ƒ Beta : per fenomeni con supporto un intervallo (Es. un tasso percentualealeatorio) ƒ Esponenziale : per descrivere il tempo tra due eventi (nascite, morti, arrivi, ..) 13

Statistica

descrittiva

e^ inferenza

STATISTICA: strumento conoscitivo atto ad analizzarein termini quantitativi un fenomeno collettivo

.

q • Statistica descrittiva:

Insieme di metodologie atte a descrivere riassumere le caratteristiche delladescrivere, riassumere le caratteristiche delladistribuzione di una o più variabili statistiche. L’obiettivoviene perseguito rilevando le variabili di interesse su dip^ g un collettivo (popolazione).• Statistica inferenziale:

Ha gli stessi obiettivi della Statistica^ inferenziale:

Ha^ gli stessi obiettivi della statistica descrittiva ma tenta di perseguirli rilevando solouna “parte” della popolazione. La “parte” (campione) viene scelta casualmente. Questo implica (vantaggio)l’uso dello strumento matematico del calcolo delleb bilità probabilità. 14

Le metodologie dell

’inferenza

Le^ Proprietà auspicabili per uno stimatore metodologie

dell inferenza

ƒ^ Correttezza

o^ non distorsione^ E( T ) =^ θ ⇔ n

D( T ) = E( Tn

) -^ θ = 0 n

ƒ^ Efficienza

(errore quadratico medio minimo) EQM( T^ )^ E(

(^2) T )V( T^ )^ [D( T^ )]

2

EQM( T )^ = E( n

(^2) T – θ)= V( n T )^ + [D( T )] nn

2

ƒ^ Consistenza

debole Consistenza

debole Lim P {| T –^ θ^ | > n^ n^

δ} = 0 per ogni

δ^ >0.

ƒ Consistenza in media quadratica

( implica quella debole

Lim^ EQM( T

)^ = 0 16

LimEQM( Tn^

)^ 0. n

Le metodologie dell

’inferenza

Le^ metodologie

dell inferenza

Strategie^ per

la^ costruzione

di^ stimatori Strategie^ per

la^ costruzione

di^ stimatori ƒ^ Analogia Le^ stime^ sono^

calcolate^ sul^ campione

trattandolo^ in^

modo^ “analogo”

alla

popolazione. ƒ^ Metodo^ dei

momenti Metodo^ dei

momenti Le stime sono calcolate uguagliando i momenti della popolazione (media,varianza, etc.) con quelli del campione. ƒ^ Massima verosimiglianza Le stime sono calcolate massimizzando la probabilità di ottenere il campioneselezionato Generalmente il metodo fornisce stimatori asintoticamente normaliselezionato. Generalmente il metodo fornisce stimatori asintoticamente normalied efficienti. 17

Test^ Z

-^ Ipotesi nulla H

:^ ϑ=ϑ 0 0 Quando non altrimenti specificato, assumeremo che i parametri possanoassumere qualsiasi valore reale. L’ipotesi alternativa è quindi sempresemplicemente la negazione dell’ipotesi nulla.• Statistica testz^ =^ oss^

/(Std. Err. ) ~

N (0,1) se H^0

vera ˆ^ ( )ϑ−ϑ^0

ˆϑ

-^ Regola di rifiuto (probabilità di errore del primo tipo pari ad

α) | z^ | > zoss^ α/2oss^ α/

-^ P-value

2Pr{ Z^ > | z^ |}{^ |^ |}oss^ oss^ E’ la probabilità di osservare un valore “più estremo” di quello osservatocalcolato assumendo H

vera Varia tra 0 e 1 e può essere interpretato 0 calcolato^ assumendo H 19

vera. Varia tra 0 e 1 e può essere interpretato 0 come un indice di coerenza tra dati e ipotesi nulla.

Le metodologie dell

’inferenza

Le^ metodologie

dell inferenza

Intervalli di confidenza Lo stimatore del parametro

ϑ, in quanto variabile casuale, produce stime con un margine di errore. Al fine di fornire un idea circa questo margine,è utile ricercare per il parametro

ϑ^ un^ intervallo

. Tale intervallo è

funzione dei dati campionari e quindi aleatorio. Detto

I tale intervallo, siϑ^

chiede dunque che sia verificata la proprietà P{

ϑ ∈^ I }^ ≥^ c. La costanteϑ

c

è detta livello di confidenza.Di solito i livelli richiesti per

c^ sono 95%, 99%, e 99.9%. La costruzione dell’intervallo^

di^ confidenza,

generalmente

parte^ da^ uno

stimatore ,^ g^

p

opportuno^ T .n Un intervallo di confidenza si può definire

ottimale^ se^

a parità di

Un intervallo di confidenza si può definire

ottimale^ se, a parità di

confidenza, risulta ragionevolmente “

piccolo” 20