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Corso di Laurea: Numero di Matricola: Esame del 24 maggio 2012 Tempo consentito: 120 minuti
Corso di Finanza Professor Paolo Vitale Anno Accademico 2011- UDA, Facolt`a d’Economia
Domanda 1 [9 punti].
- Per ottenere i rendimenti attesi dei due fondi si consideri che le distribuzioni marginali di entrambi sono simmetriche attorno al valore di 0.1, che quindi corrisponde al valore atteso dei due rendimenti. Il fondo A ha inoltre una distribuzione con code meno pronuciate e quindi presenta una varianza minore. Si consideri infatti che
σ A^2 =
(0.05)^2 + (0.05)^2
× 0. 0025 = 0. 00125 ,
σ^2 B =
(0.05)^2 + (0.05)^2
× 0. 0025 = 0 .001¯ 6.
Per quanto riguarda la covarianza dei due rendimenti si consideri che una rapida ispezione della Tabella 1 mostra come le due variabili aleatorie siano indipendenti. Infatti si vede immediatamente che le probabilita congiunte sono pari al prodotto delle marginali, cioe che
Prob {r˜A = rA, r˜B = rB } = Prob {r˜A = rA} × Prob {r˜B = rB },
ovvero che
Prob {˜rA = rA | ˜rB = rB } = Prob {r˜A = rA}, Prob {r˜B = rB | r˜A = rA} = Prob {˜rB = rB }.
- Il rendimento del portafoglio p
e pari a ˜rp = wA r˜A + (1 − wA)˜rB. Dato che i due fondi presentano lo stesso rendimento atteso, per qualunque valore di wA il valore atteso di r˜p, Ep,e pari a 0.1. Inoltre, dato che i rendimenti dei due fondi sono indipendenti, la varianza del rendimento del portafoglio p `e pari a
σ p^2 = w^2 A σ^2 A + (1 − wA)^2 σ B^2 ,
cio`e una funzione non monotona del peso wA.
- Per descrivere la frontiera dei portafogli occorre individuare il portafoglio di varianza minina. Si tratta di minimizzare rispetto a wA la funzione σ p^2 = w^2 A σ^2 A + (1 − wA)^2 σ B^2. Dalla condizione del primo ordine si ha che ∂ σ^2 p ∂ wA
= 2 σ A^2 wA − 2 σ^2 B (1 − wA) = 0.
Da cui wAM V P =
σ^2 B σ^2 A + σ^2 B
Quindi la varianza del rendimento del portafoglio di varianza minina `e
σ^2 M V P = σ A^2
σ^2 B σ^2 A + σ B^2
σ A^2 σ A^2 + σ B^2
σ^2 A σ^2 B σ^2 A + σ^2 B
1 σ^2 A^ +^
1 σ B^2
= 0. 000714 ø σ A^2 , σ B^2.
In Figura 1 si ha una rappresentazione grafica della frontiera dei portafogli corrispondenti. E‘ immediato verificare che la frontiera efficiente coincide con il portafoglio di varianza minima e che tutti gli investitori avversi al rischio sceglieranno di acquistare quest’unico portafoglio efficiente.
6
E
Ep
σM V P σA σB
Figura 1: Frontiera dei portafogli nella Domanda 1.
Domanda 4 [3 punti]. Per rispondere a questo quesito occorre confrontare il valore presente dei versamenti con il valore presente della rendita perpetua. Il valore presente di €100 per dieci anni `e:
P V (versamenti) = 100
r
(1 + r)^10
Per r = 0. 05 , P V (versamenti) = €772.17.
Il valore di una rendita perpetua di €100 tra dieci anni `e:
P V (rendita) = 100
r
(1 + r)^10
Per r = 0. 05 , P V (rendita) = €1227.83. Cosı il valore presente della renditae superiore a quello dei versamenti e conviene accettare il piano di investimento.
Domanda 5 [6 punti].
- Si veda la definizione sugli appunti delle lezioni, Finanza7-Handout.pdf, disponibili presso il seguente URL: http://www.unich.it/˜vitale/riservato/Finanza7-Handout.pdf.
- Nel grafico la nuvola di punti rappresenta le combinazioni di rendimento medio e beta stimato per 115 fondi comuni di investimento statunitensi nel periodo 1945-64 considerato da Jensen. La linea retta rappresenta la corrispondente security market line.
- Il grafico indica che i rendimenti medi ottenuti dai 115 fondi comuni di investimento si collocano in prossimit`a della security market line. In altre parole, questi rendimenti medio sono in linea con i valori teorici indicati dal CAPM, ovvero sono coerenti con il profilo di rischio del portafoglio selezionati dai gestori.
- Il grafico
e coerente con l’ipotesi di efficienza dei mercati in forma forte, poich´e questa esclude che la ricerca attiva di informazione da parte dei gestori dei fondi possa produrre dei rendimenti anormali, in quanto i prezzi delle attivita finanziarie gi`a incorporano tutta l’informazione, sia pubblica che privata.
Domanda 6 [6 punti]. Il rapporto P/E misura l’inverso degli utili per azioni ed `e quindi un valore superiore ad 1.
E possibile dimostrare che il prezzo corrente di un titoloe pari alla somma di due componenti: il prezzo del titolo sotto una politica di redistribuzione completa degli utili; e il valore delle opportunita di crescita. Sotto la politica di completa redistribuzione degli utili ogni anno la societa redistribuira agli azionisti tutti gli utili realizzati. Siccome la societa non espande la base produttiva, il valore di questi utili si mantiene costante nel tempo al livello corrente. Cosı, applicando la formula per le rendite perpetue costanti, si puo verificare che sotto questa politica di redistribuzione completa degli utili il valore della societae pari al rapporto tra gli utili per azione (o earning per share, EP S 1 ) ed il tasso di rendimento atteso del titolo,
EP S 1 r
Complessivamente il valore della societa sara quindi pari a:
P 0 =
EP S 1
r
+ P V GO,
dove impiegando la notazione introdotta negli appunti delle lezioni (Finanza10-Handout.pdf al seguen- te URL: http://www.unich.it/˜vitale/riservato/Finanza10-Handout.pdf), P V GO indica il valore presente
delle opportunita di crescita della societa, cioe il valore presente del flusso degli utili generati da nuovi investimenti e redistribuiti agli azionisti. Manipolando la formula precedentee possibile verificare che:
EP S 1 P 0
P/E
= r
P V GO
P 0
e quindi individuare il legame tra il rapporto P/E, le opportunita di crescita e il rendimento atteso della societa.
E necessario che la societa non presenti alcuna opportunit`a di crescita, ovvero che eventuali investimenti abbiamo un valore presente netto (Net Present Value) nullo.- Pu
o avvenire poich´e le due societa presentano diverse opportunita di crescita. In particolare la societa con il rapporto P/E pi`u alto ha migliori prospettive di crescita.
Domanda 7 [6 punti].
- Dalla formula delle rendite annue si ricava immediatamente che il prezzo iniziale dell’obbligazione
e $973.27. Dalla definizione di durata di Macaulay, D, si ha che questae pari a 2.8573. - Per un tasso di interesse di 5% il prezzo dell’obbligazione diventa $1,000. D’altra parte si consideri che secondo un’espansione del primo ordine si ha che
∆B ≈ −
D
1 + y
B ∆y,
dove y e il tasso di interesse, B il prezzo corrente dell’obbligazione e D la sua durata. Cosı,
∆B ≈ −
× (− 0 .01) × $973. 27 = $26. 24
Quindi il valore stimato per il nuovo prezzo dell’obbligazione e $973.27 + $26.24 = $999.51. La differenza tra il valore effettivo e stimatoe consequenza della curvatura della relazione di dependenza del prezzo dell’obbligazione dal tasso di interesse.
